Vektor eigen dari matriks simetris selalu membentuk himpunan orthogonal. Jika matriks simetris memiliki n nilai eigen yang berbeda, maka himpunan semua vektor eigen tersebut akan membentuk himpunan orthogonal. Himpunan vektor eigen dapat diubah menjadi himpunan orthonormal dengan membagi masing-masing vektor eigen oleh normanya. Vektor-vektor baru yang terbentuk tetap merupakan vektor eigen dari matriks

1. VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Berny Pebo Tomasouw
(Jumat, 23 Januari 2015)
Matriks simetriks merupakan matriks yang spesial, sehingga sangat menarik untuk
dibahas. Matriks ini selalu muncul dalam masalah Matematika terapan ataupun masalah
dalam bidang lainnya. Sifat-sifat yang dimiliki matriks simetris juga istimewa.
Jika pada tulisan sebelumnya saya telah membahas nilai eigen dari matriks simetris
maka dalam tulisan ini saya akan membahas tentang vektor eigennya. Fakta yang diperoleh
adalah vektor-vektor eigennya akan saling orthogonal.
A. PENGANTAR
Saya akan mulai dengan beberapa definisi dan fakta lain yang akan sangat
membantu dalam memahami tulisan ini.
Definisi 1
Diberikan , n
v w , maka
a. Panjang vektor v (disebut juga norma v) didefinisikan dengan persamaan
2 2 2
1 2 nv v v v   
b. Hasil kali titik (dot product) antara vektor v dan w didefinisikan dengan
1 1 2 2 n nv w v w v w v w    
Jika saya memandang vektor v sebagai matriks kolom, yakni
1
2
n
v
v
v
v
 
 
 
 
 
 

. Berdasarkan definisi
di atas, maka dapat saya peroleh
 
1
2
1 2
1 1 2 2
T
n
n
n n
w
w
v w v v v
w
v w v w v w
v w
 
 
 
 
 
 
   





Jadi bentuk lain dari hasil kali titik v w adalah T
v w.
Definisi 2
Vektor , n
v w dikatakan saling orthogonal (dinotasikan dengan v w ) jika berlaku
0T
v w  .
Definisi 3
Diberikan n
S   dengan  1 2, , , nS x x x  . Himpunan S dikatakan orthogonal jika setiap
vektor yang berbeda di S saling orthogonal. Dengan kata lain,
0T
i jx x  , untuk setiap i j .

2. Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan Definisi 3 di atas.
Contoh 1
a. Jika     1,1 , 1,1S   maka himpunan S orthogonal.
b. Jika       1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1S  maka himpunan S juga orthogonal.
Definisi 4
Diberikan n
S   dengan  1 2, , , nS x x x  . Himpunan S dikatakan orthonormal jika
i. S adalah himpunan orthogonal.
ii. Setiap vektor di S memiliki norma 1. Dengan kata lain,
  1i ix S x   .
Contoh 1 bagian b. di di atas merupakan contoh himpunan orthonormal. Sedangkan bagian a.
bukan merupakan himpunan orthonormal karena norma dari vektor  1 1,1x  tidak sama
dengan satu. Untuk merubah himpunan ini menjadi himpunan orthonormal maka saya
gunakan cara berikut :
i. Hitung norma dari masing-masing vektor.
ii. Bentuk vektor baru dengan cara membagi masing-masing vektor tersebut dengan
normanya.
Ingat bahwa bahwa untuk sebarang vektor v maka dapat dibentuk vektor baru yakni,
1
x v
v

yang sejajar dengan vektor v serta norma vektor tersebut sama dengan 1.
Contoh 2
Diberikan     1,1 , 1,1S   . Misalkan  1 1,1x  dan  2 1,1x   sehingga
1 2x  dan 2 2x  .
Jadi bisa dibentuk vektor yang baru yakni
1 1
,
2 2
 
 
 
dan
1 1
,
2 2
 
 
 
.
Selanjutnya, bisa dicek sendiri bahwa himpunan
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
S
    
     
    
merupakan
himpunan orthonormal.
Agar lebih yakin bahwa vektor yang baru tetap saling orthogonal maka saya berikan Teorema
berikut.
Teorema 1
Diberikan sebarang dua vektor , n
v w yang tak nol dan saling orthogonal. Jika dibentuk
vektor-vektor baru, yakni
1
x v
v
 dan
1
y w
w

maka vektor ini tetap saling orthogonal.

3. Bukti :
Cukup ditunjukkan bahwa 0T
x y  .
 
 
1 1
1 1
1 1
1 1
0
0
T
T
T
T
x y v w
v w
v w
v w
v w
v w
v w
   
       
   
   
       
   
 
   
 
 
   
 

Pada baris ketiga persamaan di atas, saya gunakan fakta bahwa v dan w saling orthogonal.
Selanjutnya, telah saya tunjukkan bahwa 0T
x y  maka terbukti bahwa x dan y juga saling
orthogonal
Berdasarkan Contoh 1 dan 2 maka saya dapat katakan bahwa sebarang himpunan orthogonal
dapat diubah menjadi himpunan orthonormal.
Terkahir saya ingatkan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks.
Definisi 4.
Diberikan matriks  nA M  . Skalar  disebut nilai eigen dari matriks A, jika
terdapat vektor tak-nol x sedemikian sehingga berlaku
Ax x (1)
Biasanya, vektor x disebut vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen  .
B. PEMBAHASAN
Saya akan langsung membahas Teorema tentang vektor eigen dan ditutup dengan
contoh yang berkaitan.
Teorema 2
Diberikan  nA M  adalah matriks simetris.
Jika A memiliki n vektor eigen yang berbeda maka himpunan semua vektor eigen dari A
adalah himpunan orthogonal.
Bukti :
Saya akan misalkan terlebih dahulu bahwa 1 2, , , nx x x merupakan vektor eigen dari A yang
masing-masing berkorespondensi dengan nilai eigen 1 2, , , n   .
Karena A memiliki n nilai eigen yang berbeda maka berlaku i j  untuk setiap i j .
Selanjutnya saya bentuk himpunan  1 2, , , nS x x x  yaitu himpunan semua vektor eigen
dari A. Tugas saya adalah menunjukkan bahwa himpunan S orthogonal.

4. Ambil sebarang ,i jx x S dengan i j .
Cukup ditunjukkan bahwa 0T
i jx x  .
Jelas bahwa ix dan jx adalah vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen i dan
j , sehingga dapat ditulis
i i iAx x dan j j jAx x .
Yang pertama saya gunakan persamaan i i iAx x sehingga bisa diperoleh
   
   
   
i i i
T T
j i j i i
T T
j i j i i
T TT T
j i j i i
T TT T T T T
i j i i j
T T T
i j i i j
Ax x
x Ax x x
x Ax x x
x Ax x x
x A x x x
x A x x x












 T T
i j i i jx Ax x x (i)
Untuk hasil terakhir, saya gunakan fakta bahwa A simetris sehingga T
A A .
Yang kedua saya gunakan persamaan j j jAx x sehingga bisa diperoleh
   
j j j
T T
i j i j j
Ax x
x Ax x x




 T T
i j j i jx Ax x x (ii)
Selanjutnya persamaan (i) dikurangkan dengan persamaan (ii) sehingga diperoleh
   T T T T
i j i j i i j j i jx Ax x Ax x x x x   
  0 T
i j i jx x   atau    0T
i j i jx x   .
Catat bahwa karena i j maka i j  atau 0i j   , sehingga persamaan
   0T
i j i jx x   hanya dipenuhi jika 0T
i jx x  .
Telah saya tunjukkan bahwa untuk sebarang dua vektor yang dipilih dari himpunan S ternyata
hasil kali titiknya sama dengan nol. Jadi terbukti bahwa S orthogonal.
Lebih lanjut, saya bisa membentuk himpunan orthonormal dari himpunan S yakni
1 2
1 2
, , , n
n
xx x
T
x x x
  
  
  
 .
Pertanyaan yang bisa muncul :
Apakah vektor-vektor 1 2
1 2
, , , n
n
xx x
x x x
 juga tetap merupakan vektor eigen dari matriks A?
Jawabannnya adalah ya!
Berikut ini buktinya.

5. Saya misalkan 1
1
x
v
x
 dan saya akan tunjukkan bahwa v merupakan vektor eigen yang
berkorespondensi dengan nilai eigen 1 sedemikian sehingga berlaku 1Av v .
 
 
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
x
Av A
x
Ax
x
x
x
x
x
v



 
   
 




Saya telah berhasil tunjukkan bahwa 1Av v .
Untuk vektor-vektor 2
2
, , n
n
xx
x x
 dapat dilakukan dengan cara yang sama.
Contoh 3
Diberikan matriks sebuah matriks simetriks
0 1
1 0
A
 
  
 
.
Dengan sedikit menghitung, saya peroleh bahwa nilai eigen dari matriks ini adalah 1 dan -1.
Untuk nilai eigen 1  diperoleh vektor eigen
1
1
 
 
 
, sedangkan untuk nilai eigen 1  
diperoleh
1
1
 
 
 
.
Saya bentuk himpunan dari dua vektor ini yakni     1,1 , 1,1S   .
Jelas bahwa S orthogonal.
Sedangkan himpunan orthonormalnya adalah
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
T
    
     
    
.
C. PENUTUP
Mohon maaf jika terdapat kekurangan ataupun kekeliruan. Saran dan kritik dapat
dikirim ke email saya : bernypebo@yahoo.co.id