Distribusi t dan F

1. Distribusi t dan F
Pengajar:
Dr. Asep Ikin Sugandi, M.Pd.
Dr. Rippi Maya, M.Pd.
Pertemuan Ke-13
16 Mei 2020
STATISTIKA
MATEMATIK
S2

2. MATERI
YANG
AKAN
DIBAHAS
Beberapa Teknik Distribusi
A. Distribusi t
B. Distribusi F
C. Distribusi Rataan dan Varians
Sampel

3. A. Distribusi t
Definisi:
Jika Y dan Z adalah peubah acak bebas, di mana Y mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan 𝜈 dan 𝑍~ 0,1 ,maka
𝑇 =
𝑍
𝑌
𝑛
dikatakan mempunyai distribusi (Student) t dengan derajat kebebasan 𝜈.
Notasinya: 𝑇~𝑇𝜈.
3

4. Definisi:FungsiDensitas t
Peubah acak T dikatakanberdistribusi tjika dan hanya jika fungsi densitasnyaberbentuk:
𝑘1 𝑡 =
Γ
𝜈 + 1
2
𝜋𝜈.Γ
𝜈
2
. 1 +
𝑡2
𝜈
−
𝜈+1
2
, −∞ < 𝑡 < ∞.
Keterangan:
- Peubah acak X yang berdistribusit disebutjuga peubah acak t.
- Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi t adalah 𝑡(𝜈), artinya peubah acak X
berdistribusit dengan derajat kebebasan𝜈 = 𝑛 − 1.
- Peubah acak X yang berdistribusi t dengan derajat kebebasan 𝝂 bisa juga ditulis sebagai
𝑋~𝑡 𝜈 .
4

5. Teorema:
Jika 𝑋 dan 𝑆2 adalah rata-ratadan varians dari sampel acak berukuran n dari populasi
berdistribusi normal dengan rataan 𝜇 dan varians 𝜎2, maka
𝑇 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan 𝑛 − 1 .
5

6. Rataandanvariansdari distribusit adalah:
1. 𝐸 𝑇 = 0.
2. 𝑉𝑎𝑟 𝑇 =
𝑟
𝑟−2
.
6
Gambar 1. Kurva distribusi t dengan derajat kebebasan 𝝂.
Gambar 2. Sifat simetri dari distribusi t
𝛼

7. Contoh1:
Nilai t dengan derajat kebebasan 𝜈 = 14, yang membuat luas di sebelah kiri nilai t sebesar
0,025 dan luas di sebelah kanan nilai t sebesar0,975 adalah
𝑡0,975 = −𝑡0,025 = −2,145.
Contoh2:
Misalkanpeubah acak T mengikuti distribusit dengan derajat kebebasan 𝜈 = 7.
a) Hitung𝑃 𝑇 ≤ −1,415
b) Hitung𝑃(−1,895 < 𝑇 < 1,415)
7

8. Jawab:
a) Karena sifatsimetri dari distribusi t, maka 𝑃 𝑇 ≤ −1,415 = 𝑃 𝑇 > 1,415 .
Dari tabel distribusi tdiperoleh nilai peluang
𝑃 𝑇 ≤ −1,415 = 𝑃 𝑇 > 1,415 = 0,10.
b). 𝑃 −1,895 < 𝑇 < 1,415 = 𝑃 𝑇 < 1,415 − 𝑃 𝑇 < −1,895
= 𝑃 𝑇 < 1,415 − 𝑃(𝑇 > 1,895
= 0,90 − 0,05 = 0,85.
8

9. Contoh3:
Cari nilai k yang memenuhi 𝑃 𝑘 < 𝑇 < −1,761 = 0,045 untuk sampel acak berukuran15
yang diambildari suatu distribusinormal.
Jawab:
Perhatikanbahwaderajat kebebasan𝜈 = 15 − 1 = 14.
𝑃 𝑘 < 𝑇 < −1,761 = 𝑃 𝑇 < −1,761 − 𝑃 𝑇 < 𝑘
= 𝑃 𝑇 ≥ 1,761 − 𝑃 𝑇 < 𝑘
= 0,05 − 𝑃 𝑇 < 𝑘 = 0,045
Jadi 𝑃 𝑇 < 𝑘 = 0,05 − 0,045 = 0,005.
Dari tabel distribusi tdiketahui bahwanilai 𝑘 = −2,997.
9

10. Contoh4:
Periode kehamilan manusia, periode waktu antara konsepsi dan persalinan, adalah sekitar 40
minggu (280 hari), diukur dari hari pertama periode menstruasi terakhir ibu. Untuk bayi cukup
bulan yang baru lahir, panjang bayi yang sesuai untuk usia kehamilan Ibu, diasumsikan
berdistribusi normal dengan rata-rata = 50 cm dan standar deviasi = 1,25 cm. Hitunglah
peluang bahwa sampel acak dari 20 bayi yang lahir pada waktunya, mempunyai rata-rata
panjang lebih besar dari 52,5 cm.
Jawab:
MisalkanX adalah panjang (diukurdalam cm) bayi yang baru lahir sesuai waktunya.
Maka 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2/𝑛) = 𝑁(50,1.56/20 .
10

11. 𝑃 𝑋 > 52,5 = 𝑃 𝑡 >
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
= 𝑃 𝑡 >
52,5 − 50
1,25/ 20
= 𝑃 𝑡 > 8,94 ≈ 0.
Artinya, peluangnya dapat diabaikan.
Perlu dicatat bahwa 𝑃 𝑋 > 52,5 ≈ 0 tidak berarti bahwa peluang panjang bayi baru lahir lebih
besar dari 52,5 cm adalah nol. Kenyataannya, dengan derajat kebebasan 19, diperoleh
peluangnya sebesar 𝑃 𝑋 > 52,5 = 𝑃 𝑡 >
52,5−50
1,25
= 𝑃 𝑡 > 2 ≈ 0,025.
11

12. B. Distribusi F
Definisi:
Misalkan U dan V adalah peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈1 dan 𝜈2. Jika U
dan V bebas, maka
𝐹 =
𝑈/𝜈1
𝑉/𝜈2
dikatakan mempunyai distribusi F dengan 𝜈1 merupakan derajat kebebasan pembilang dan 𝜈2
merupakan derajat kebebasan penyebut.
Notasinya: 𝑋~𝐹(𝜈1, 𝜈2).
,
12

13. Definisi: Fungsi Densitas F
Peubah acak F dikatakan berdistribusi F jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
𝑘1 𝑓 =
Γ
𝜈1 + 𝜈2
2
.
𝜈1
𝜈2
𝜈1/2
Γ
𝜈1
2
. Γ
𝜈2
2
. 𝑓
𝜈1
2
−1
. 1 +
𝜈1
𝜈2
𝑓
−
𝜈1+𝜈2
2
, 0 < 𝑓 < ∞
0, untuk 𝑓 lainny𝑎
Rataan dan varians:
1. 𝐸 𝐹 =
𝜈2
𝜈2−2
dan
2. 𝑉𝑎𝑟 𝐹 =
2𝜈2
2 𝜈2+𝜈1−2
𝜈1 𝜈2−2 2 𝜈2−4
13

14. 14
Gambar 3. Grafik Distribusi F Gambar 4. Titik kritis 𝒇𝜶 pada distribusi F

15. Teorema:
Misalkan dua peubah acak berukuran 𝜈1 dan 𝜈2, diambil dari dua populasi berdistribusi
normal dengan varians masing-masing 𝜎1
2 dan 𝜎2
2. Jika varians dari sampel acaknya
diberikan oleh 𝑆1
2 dan 𝑆2
2, maka statistik
𝐹 =
𝑆1
2
/𝜎1
2
𝑆2
2/𝜎2
2 =
𝜎2
2
𝑆1
2
𝜎1
2𝑆2
2
mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang 𝜈1 − 1 dan derajat
kebebasan penyebut 𝜈2 − 1 .
15

16. Contoh 5:
Misalkanpeubah acak F berdistribusiF dengan derajat kebebasanpembilang 𝜈1 dan derajat
kebebasanpenyebut 𝜈2.
a). Untuk 𝜈1 = 7 dan 𝜈2 = 8, tentukan nilai a yang memenuhi 𝑃 𝐹 ≤ 𝑎 = 0,95.
b) Untuk 𝜈1 = 5 dan 𝜈2 =3, hitung𝑃 𝐹 ≥ 9,01 .
Jawab:
a) Diketahui 𝑃 𝐹 ≤ 𝑎 = 1 − 𝑃 𝐹 > 𝑎 = 0,95.
𝑃 𝐹 > 𝑎 = 1 − 0,95 = 0.05.
Dari tabel distribusi F diperoleh nilai 𝑎 = 3,50.
b) Dari tabel distribusiF diperoleh nilai 𝑃 𝐹 ≥ 9,01 = 0,05
16

17. Contoh 6:
Misalkan 𝑆1
2 menyatakan varians sampel untuk sampel acak berukuran 10 dari Populasi I dan
misalkan 𝑆2
2 menyatakan varian sampel untuk sampel acak berukuran 8 dari Populasi II.
Varians Populasi I diasumsikan tiga kali varians Populasi II. Carilah dua bilangan a dan b
sedemikansehingga 𝑃 𝑎 ≤
𝑆1
2
𝑆2
2 ≤ 𝑏 = 0,90, dengan mengasumsikan𝑆1
2
bebas dari 𝑆2
2
.
Jawab:
Dari soal di atas, diasumsikan𝜎1
2 = 3𝜎2
2 dengan𝜈1 = 10 dan 𝜈2 = 8.
Dapat ditulis
𝑆1
2
/𝜎1
2
𝑆2
2/𝜎2
2 =
𝑆1
2
/3𝜎2
2
𝑆2
2/𝜎2
2 =
𝑆1
2
3𝑆2
2 ,
17

18. mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang 𝜈1 − 1 = 9 dan derajat
kebebasanpenyebut 𝜈2 − 1 = 7.
Dengan menggunakan tabel distribusiF diperoleh 𝐹0,05 9,7 = 3,68.
Untuk mencari 𝐹0,95 sedemikiansehingga
𝑃
𝑆1
2
3𝑆2
2 < 𝐹0,95 = 0,05,
diuraikandengancara berikut:
𝑃
𝑆1
2
3𝑆2
2 < 𝐹0,95 = 𝑃
3𝑆2
2
𝑆1
2 >
1
𝐹0,95
= 0,05.
18

19. Dengan melihat tabel distribusi F dengan 𝜈1 = 7 dan 𝜈2 = 9, diperoleh
1
𝐹0,95 7,9
= 3,29 atau 𝐹0,95 7,9 =
1
3,29
= 0,304.
𝑃 0,304 ≤
𝑆1
2
3𝑆2
2 ≤ 3,68 = 𝑃 0,912 ≤
𝑆1
2
𝑆2
2 ≤ 11,04 = 0,90.
Jadi 𝑎 = 0,912 dan 𝑏 = 11,04.
19

20. C. Distribusi Rataan dan Varians Sampel
Distribusi Rataan Sampel:
Jika X1, X2,X3, . . ., Xn adalah sampel acak yang berdistribusi N(µ; σ2), maka peubah acak
𝑋~𝑁 𝜇;
𝜎2
𝑛
.
Distribusi Varians Sampel:
Jika X1, X2,X3, . . ., Xn adalah sampel acak yang berdistribusi N(µ; σ2), maka peubah acak
𝑛−1 𝑆2
𝜎2
~𝜒2 𝑛 − 1 .
20

21. Daftar Pustaka
Herrhyanto, N. & Gantini, T. (2016). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.
Ramachandran, K.M. & Tsokos, C.P. (2009). Mathematical Statistics with Applications.
Burlington, MA: ElsevierAcademic Press.
Walpole, R.E. & Myers, R.H. (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.
Bandung:Penerbit ITB.
21