Урок математики "Синус и косинус разности аргументов"

1. Цели: вывести формулы синуса и косинуса разности, вырабатывать умение и навыки
применять их, выполняя тригонометрические преобразования.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания
2. Устная работа
1. Вычислите:
а) sin 10° cos20° + cos10°sin 20°;
б) cos 18°cos12° − sin 18°sin 12°;
в) sin40° cos5° + cos40°sin 5°;
г) cos7° cos38° − sin 7° sin 38°.
(Ответ: а)
1
2
; б)
√3
2
; в)
√2
2
; г)
√2
2
.)
2. а) cos
𝜋
3
cos
𝜋
6
− sin
𝜋
3
sin
𝜋
6
;
б) sin
𝜋
3
cos
𝜋
6
+ cos
𝜋
3
sin
𝜋
6
;
в) sin
3𝜋
4
cos
𝜋
4
+ cos
3𝜋
4
sin
𝜋
4
.
(Ответ: а) 0; б) 1; в) 0.)
3. а) (cos18°cos7° − sin 18° sin7°)2
+ (sin 19°cos6° + cos19° sin 6°)2
;
б) sin (
𝜋
4
+ 𝛼) cos(
𝜋
4
− 𝛼) + cos(
𝜋
4
+ 𝛼) sin (
𝜋
4
− 𝛼);
в) cos(45° + 𝛼)cos(45° − 𝛼) − sin(45° + 𝛼)sin(45° − 𝛼).
(Ответы: а) 1; б) 1; в) 0.)
3. Изучение нового материала
Выполняя № 415, выведем формулы синуса и косинуса разности:
а) sin(𝛼 − 𝛽) = sin(𝛼 + (−𝛽)) = sin 𝛼 cos(−𝛽) + cos 𝛼 sin(−𝛽) =
= sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼sin 𝛽.
б) cos(𝛼 − 𝛽) = cos(𝛼 + (−𝛽)) = cos 𝛼cos(−𝛽) − sin 𝛼 sin(−𝛽) =
= cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽.
sin( 𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − cos 𝑥 sin 𝑦
cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
4. Тренировочные упражнения
№ 419
б) √3 cos 𝛼 − 2cos(𝛼 −
𝜋
6
) = √3cos 𝛼 − 2 (cos𝛼 cos
𝜋
6
+ sin 𝛼 sin
𝜋
6
) =
= √3cos 𝛼 − √3cos 𝛼 − sin 𝛼 = − sin 𝛼
г) √2sin (𝛼 −
𝜋
4
) − sin 𝛼 = √2(sin 𝛼 cos
𝜋
4
− cos 𝛼 sin
𝜋
4
) − sin 𝛼 =
= sin 𝛼 − cos 𝛼 − sin 𝛼 = −cos 𝛼
№ 423

2. а)
√3
2
cos 𝑥 −
1
2
sin 𝑥 = sin
𝜋
3
cos 𝑥 − cos
𝜋
3
sin 𝑥 = sin (
𝜋
3
− 𝑥) .
№ 427
б)cos 15° = cos(45°− 30°) = cos45 °cos30° + sin 45° sin30 ° =
=
√2
2
∙
√3
2
+
√2
2
∙
1
2
=
√6+√2
4
а) sin 15° = sin(45° − 30 °) = sin 45°cos30° − cos45° sin 30° =
=
√2
2
∙
√3
2
−
√2
2
∙
1
2
=
√6−√2
4
.
№ 428
а) sin 77° cos17° − sin 13° cos73° = sin(90° − 13°)cos(90° − 73°) −
− sin 13°cos73° = (sin 90° cos13° − cos 90° sin13 °) ∙ (cos90° cos73° +
+ sin 90°sin 73°) − sin 13 °cos73 ° = cos13°sin 73° − sin 13° cos73° =
= sin(73° − 13°) = sin 60° =
√3
2
.
№432
sin 𝑡 =
5
13
;
𝜋
2
< 𝑡 < 𝜋, cos 𝑡 = −√1 −
25
169
= −
12
13
.
а) sin (
𝜋
3
− 𝑡) = sin
𝜋
3
cos 𝑡 − cos
𝜋
3
sin 𝑡 =
√3
2
∙ (−
12
13
) −
1
2
∙
5
13
= −
12√3+5
26
;
б) cos (𝑡 −
𝜋
2
) = cos 𝑡 cos
𝜋
2
+ sin 𝑡 sin
𝜋
2
= sin 𝑡 =
5
13
.
5. Итог урока
Домашнее задание
§22. № 419(а), 423(б), 428(б), 433.