Розвязання трикутників

2. • повторити та узагальнити основні теоретичні
знання про трикутник,
• підготувати учнів до контрольної роботи шляхом
розв’язування задач різного рівня;
• перевірити якість засвоєння теорем синусів та
косинусів та вміння застосовувати дані теореми
при розв’язанні задач;
• активізувати роботу учнів, відпрацьовувати
вміння робити логічні висновки;
• формувати навички дослідницької роботи;
• виховувати критичне ставлення до своєї роботи,
а також вміння оцінювати свої знання.

3. 1. Будь уважним.
2. Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
3. Шукай нові способи розв’язування проблеми.
4. Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
5. Будь наполегливим і не бійся помилитися.
6. Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
7. Будь упевнений у своїх здібностях.

4. Теорема косинусів
a2 = b2 + c2 – 2bccosα;
b2 = a2 + c2 – 2accosβ;
с2 = a2 + b2 – 2abcosγ
Теорема синусів
R
  
C
c
B
b
A
a
2
sin sin sin
Теорема про суму кутів трикутника
α + β + γ = 180°

5. Квадрат сторони трикутника дорівнює
сумі квадратів двох інших сторін «±»
подвоєний добуток однієї з них на
проекцію другої. Знак «+» беремо тоді,
коли протилежний кут …, а знак «-»,
коли…

7. Розв'язування трикутників
1. Дано: а, α, β. Знайти: b, с, γ.
Розв'язання
1) γ = 180° - (α + β);
2)
a b
 ;
sin sin 

 sin

sin

a
b ;
3)
a с
 ;
sin sin

 sin

sin

a
с

8. Задача 2.
Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути - 45° і 75°.
А
С
В
Знайти сторону протилежну до
кута 45°.
Розв’язання.
Нехай АС=10 см,
А  45,С  75,
ВС – сторона яка лежить проти
кута 45°.
Використовуючи теорему синусів маємо:
BC
sin 45
=
AC
B
sin
;
B = 180  45  75  60;
.
10 6
3
BC 

9. 2. Дано: а, b, γ. Знайти: с, α, β.
Розв'язання
1) c = a b 2abcosC 2 2   ;
2)
с a
 ;
sin sin
a 
с

sin
sin

 ;
3) β = 180° - (α + γ)

10. 3. Дано: а, b, α.
Знайти: с, β, γ.
Розв'язання
1)
a b
 ;
sin sin 
b 
a

sin
sin

 ;
2) γ = 180° - (α + β);
3)
с a
 ;
sin sin

 sin

sin

a
с

11. Задача 1.
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°.
Знайдіть третю сторону трикутника.
А
С
В
5см
м
7см
Розв’язання.
Нехай АС=5см, АВ=7см, А  60 .
Використовуючи теорему косинусів
маємо:
ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cosА.
ВС ² = 25 + 49 - 2·5·7·
1
2
= 39.
ВС = 39 .
Відповідь:
39

12. 4. Дано: а, b, с. Знайти: α, β, γ.
Розв'язання
1) a2 = b2 + c2 – 2bccosα;
b c a
bc
2
cos
2 2 2  
 
2)
a b
 ;
sin sin 
b 
a

sin
sin

 ;
3) γ = 180° - (α + β)

13. Задача 3.
Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута,
який лежить проти більшої сторони.
Розв’язання.
Нехай АС=6 см, СВ=8 см,
АВ=9 см.
Використовуючи теорему
косинусів маємо:
АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cos  С;
81 = 36 + 64 - 268 cosС ;
96 cosС =19;
cosС =
19
96
.
Відповідь:
19
96
.
А
С
8см
В
6см
м
9см

14. Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки ,
якщо АС=50м, кут САВ= 80°, кут АСВ=72° (мал.1)
мал.1

15. Розв’язання:
АС
sin В
=
АВ
sin С
,
50
0,4695
=
АВ
0,9511
,
АВ =
50∙0,9511
0,4695
;
АВ = 101,29 м
Відповідь: 101,29 м.

16. Знайти х:
Відповідь: х=1.
2
х
В
С
А

17. Знайти х:
Відповідь: х= 13.
5
х
А С

18. Знайти х:
Відповідь: х=10 2.
В
10 х
А С

24. А В
С Д
В
АД2 + ВС2 = 2 АВ2 + ВС2

25. В С Розв'язання
О
А Д
Продовжимо медіану АО на її довжину.
Отримаємо АО = ОС та за властивістю медіани
ВО=ОД. За ознакою паралелограма: чотирикутник
АВСД - паралелограм. Використовуючи
властивість діагоналей паралелограма,
запишемо:
АС2 + ВД2 = 2 АВ2 + ВС2 .
Нехай АО = х см, то АС = 2х см.
Так як АВ = 6 см,ВД = 9 см та АД = 12 см,то
4х2 + 92 = 2 62 + 122 ,
2х = 3 31см.
Значить, АС = 3 31см. Отже, АО = 1,5 31см.
Відповідь: 1,5 31см.

26. Сторона трикутника дорівнює 26 см,а
медіани, проведені до двох інших сторін
дорівнюють 15 см та 30 см. Знайдіть третю
сторону трикутника
Відповідь: 10 21см

27. Знайти радіус кола, описаного навколо
трикутника, одна сторона якого
дорівнює 15 см, а протилежний
стороні кут - 150°.
Розв'язання
За наслідком з теореми синусів
а
запишемо:
sin ∝
= 2R.
Так як α =150°, то
sin 150° = sin 180° − 30° = sin 30°.
sin 30° =
1
2
15
1
2
2R=
; R = 15 см.
Відповідь: 15 см.
Знайти сторону трикутника, якщо
радіус кола описаного навколо
трикутника дорівнює 8 см , а кут,
протилежний цій стороні, дорівнює
120°.
Відповідь: 8 3см.

28. 1. Яка з наведених формул неправильна?
А Б В Г
퐬퐢퐧 ퟗퟎ −∝
=퐜퐨퐬 ∝
퐜퐨퐬 ퟗퟎ −∝
= 퐬퐢퐧 ∝
퐬퐢퐧(ퟏퟖퟎ − 휶)
= 퐬퐢퐧 ∝
퐜퐨퐬 ퟏퟖퟎ−∝
= 퐜퐨퐬 ∝

29. 2. Який з наведених виразів
має від′ємне значення?
А Б В Г
퐬퐢퐧 ퟒ
퐜퐨퐬 ퟏퟎퟒ
퐬퐢퐧 ퟏퟎퟒ
tg4°

30. 3. У трикутнику АВС АС = 4 см, ВС = 3 см, ∠С =120°.
Знайдіть довжину сторони АВ.
А Б В Г
ퟑퟕ см ퟏퟑсм ퟒ ퟑсм ퟓ ퟐсм

31. 4. У трикутнику АВС ∠А = 45 , ∠В = 60 , ВС = 2 ퟐсм.
Знайдіть довжину сторони АС.
А Б В Г
ퟑ ퟐсм ퟐ ퟑсм ퟓ см 6 см

32. 5. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 4 см, 6 см.
Знайди довжину медіани,
проведеної до найбільшої сторони.
А Б В Г
ퟒ ퟐсм 4 см 2 ퟐсм
2см

33. 6. Площа круга, описаного навколо трикутника АВС,
дорівнює ퟒퟖ 흅 смퟐ.
Знайди довжину сторони ВС, якщо ∠ А = 120°.
А Б В Г
12 см 8 см ퟓ ퟔсм ퟑ ퟒсм