8_gdz_geom_m.pdf

§ 1.ЧОТИРИКУТНИКИ
р
яз
ІС
ос
с;;
м
Q
О»
го
1
т
> .
о .
5
' с
о
З
2
Q.
CSJ
м
1 . Ч о т и р и к у т н и к
т а й о г о е л е м е н т и
В п рави
4. Ф іг у р и , зобр а ж ен і на р и с у н к а х а,
д, е, ж , — ч о т и р и к ут н и к и .
5. О п у к л і ч о т и р и к у т н и к и : M K EF,
STOP, RQLN.
Н е о п у к л і ч о т и р и к у т н и к и ; ABCD,
X Y Z V .
6. 1 )М ,К ,С ,А ;
2 ) М К , КС, СА, AM ; к
3 )М , К; К, С; C,A;A,N;
4 )М , С; К, А-,
5 ) К М , КС; СК,
СА; AM , АС; М К,
МА;
6) МК, АС; AM, КС;
1 )М С ,А К .
7. О с к іл ь к и су м а к у т ів ч о т и р и к у т
н и ка д ор ів н ю є 36 0°, тод і ч етв ер ти й к у т
дор івн ю є:
36 0° - (7 8 ° + 89 ° + 9 3 °) = 360° - 26 0° =
= 100°.
Відповідь: 100°.
8. О с к іл ь к и у ч о т и р и к у т н и к а всі
к у т и за у м о в о ю р ів н і м іж со бою і їх
су м а д о р ів н ю є 3 6 0 °, т о д і к о ж е н к у т
д ор ів н ю є 360° : 4 = 90°.
Відповідь; 90°.
9. ZA + ZB + ZC + ZD =
= 3 6 0 ° за т е о р е м о ю
п ро с у м у к у т ів
ч о т и р и к ут н и к а .
ZA + ZD + ZC =
= 360° - ZB
ZA + ZD + ZC =
3 6 0 ° - 1 5 0 ° = 210°.
За ум ов ою ZA = Z C = Z D .
О тж е, ZA = ZC=^ZD = 210° : З = 70°.
Відповідь; ZA = ZC = ZD = 70°.
10 . Нехай Z1 = х°, тоді Z2 = 2х°,
Z 3 = (ж + 2 0 )°, а Z4 = ( x - 4 0 )°.
С ум а к у т ів ч о т и р и к у т н и к а д ор івн ю є {х
+ 2 Х + Х + 2 0 + Х - 4 0 )° або за теор ем ою
про с у м у к у т ів ч о т и р и к у т н и к а 360°.
М а єм о р ів н я н н я :
х + 2х + х + 20 + х - 40 = 360,
5 х - 20 = 360,
5х = 380,
ж = 76.
О тж е, Z 1 = 76°, Z 2 = 76° 2 = 152°,
Z 3 = 76° + 20° = 96°,
Z 4 = 7 6 ° - 4 0 ° = 36°.
Відповідь: 76°; 152°; 96°; 36°.
11. Н е х а й Z 1 = 2х°, т о д і Z 2 = Зх
Z 3 = 10д:°, а Z 4 = 21х°. С ум а к у т ів чо
т и р и к у т н и к а д ор ів н ю є (2х -t- Зд: -І- 10л: +
-І- 2 1 * )° або за теор ем ою п ро с у м у кутів
ч о т и р и к у т н и к а 360°.
М а єм о р ів н я н н я ;
2д:-І-Зд:-І-10л: + 2ІЖ = 360.
36л: = 360,
х = 10.
О тж е, Z 1 = 10° • 2 = 20°
Z 2 = 10° • 3 = 30° -
Z 3 = 10° ■ 10 = 100°
Z 4 = 10° 21 = 210°
У ц ь о м у ч о т и р и к у т н и к у один к у т б іл ь
ш и й за 18 0°. О тж е, д а н и й ч о т и р и к у т
н и к не о п у к л и й .
Відповідь: 20°; 30°; 100°; 210°. Н е оп ук
л и й .
12. Н е х а й Z 1 = 4л:°, т о д і Z 2 = 5.г°,
4л:-н5хн-7л:
Z 3 = 7л:°, а Z 4 = - гр адусів.
С ум а к у т ів ч о т и р и к у т н и к а д ор івн ю є
4л:-І-5л:-І-7л:
4x-^bx + lx-v- а бо за т ео
р ем ою про с у м у к у т ів ч о т и р и к ут н и к а
360°.
4 л:-І-5л:-І-7л:-I-
4 * + 5л: 4-7л:
= 360 .
16л:-І-8л: = 360,
24л: = 360,
л := 15.
О тж е, Z 1 = 15° • 4 = 6 0 °, Z 2 =
= 15° ■ 5 = 7 5 °, Z 3 = 15° ■ 7 = 105°
6 0 ° -н75°-1-105°
Z 4 = - = 120°.
У д а н о м у ч о т и р и к у т н и к у всі к у т и м ен
ш і н іж р о зго р н у ти й к у т . О тж е, цей ч о
т и р и к у т н и к о п у к л и й .
відповідь: 60°; 75°; 105°; 120°. О пуклий.
13. 1) Н е м о ж е. С ум а к у т ів ч о т и р и '
к у т н и к а буд е м ен ш е 360°.

2 ) H e м ож е. С ум а к у т ів ч о т и р и к ут н и к а
буд е б іл ь ш е 360°.
3 ) М о ж е . У п р я м о к у тн и к а і квадрата.
N Р
J L
п Г
М
4 ) Н е м ож е. С ум а к у т ів ч о т и р и к ут н и к а
буд е м ен ш е 360°.
5 ) Н е м ож е. С ум а к у т ів ч о т и р и к ут н и к а
В
г г
б у д е б іл ь ш е 360°.
6 ) М о ж е.
У ч о т и р и к у т н и к у
ABCD ZA = ZB =
9 0 °, ZD — гостр и й , А D
ZC — т уп и й .
14. Н е х а й одн а ст о р о н а ч о т и р и к у т
н и к а д ор івн ю є X CM, т о д і д р у га - х см ,
о
т р ет я —
2 з
см , або — X см , а чет-
З
верта — см .
П е р и м е т р ч о т и р и к у т н и к а д о р ів н ю є
2 1 З ^
х + ^ х + —х + —х см , або (з а ум ов ою
3 3 2
ч /
з а д а ч і) 63 см .
7д: = 126,
л := 18.
О т ж е, од н а ст ор он а
га — 1 8 -= = 12
З
(с м ).
18 см , д р у-
т р ет я — 1 8 - і = 6
О
-1 8 1 = 27 (с м ).
(с м ), четвер та
Відповідь: 18 см ; 12 см ; 6 см ; 27 см .
1 5 . Н ех ай одна сторона чотирик утника
д ор ів н ю є X см , т о д і д р уга — (д: - 2 ) см ,
тр ет я — (д; + 6 ) см , а четвер та — Зх см.
П е р и м е т р ч о т и р и к у т н и к а д о р ів н ю є
( Х + Х - 2 + Х + 6 + Зх) см або за ум овою
за д а ч і 64 см .
х + д : - 2 + ж + 6 + Зл: = 64.
6х + 4 = 64,
6х = 60,
х= 1 0 .
О т ж е, одн а ст ор он а 10 см , д р у га —
1 0 - 2 = 8 (с м ), тр етя — 10 + 6 = 16 (с м ),
четвер та — 10 • З = ЗО (с м ).
Відповідь: 10 см ; 8 см ; 16 см ; ЗО см.
1 6 . У AABD і ACBD: AB = ВС і ZABD
= ZCBD за ум овою , BD — с п іл ь н а ст о
р он а. в С
А D
Т о д і AABD - ACBD за двом а стор онам и
і к у т о м м іж ним и .
О тж е, A D = CD.
17. У AMOK і
APON: МО = РО,
OK = ON за
ум ов ою ,
ZM O K = М К
= ZPO N я к в ер т и к а л ь н і.
Т о д і AMOK = APON за двом а стор он ам и
і к у т о м м іж н и м и .
О тж е, N P = М К = 6 см .
Відповідь: 6 см .
18. У ANMP і ANKP N M = NK, N P =
= PK за у м о - N , К
в о ю , N P —
с п іл ь н а сторо-
V l 5 0 °
Т о д і ANM P = ANKP м P
за тр ьом а стор он ам и.
О тж е, Z K ^ Z M = 100°.
19. У Д А В С
і ACDA: АС —
с п іл ь н а ст о
р он а, ZB A C = ^
= ZDCA,
ZBCA = ZDAC за ум ов ою .
Т о д і ААВС = ACDA за стор он ою і двом а
п р и л е гл и м и д о н е ї к у т а м и .
О тж е, AB = CD = 8 CM,
ВС = AD = 10 см .
Р =АВ + ВС + CD + AD
Р = 8 + 10 -I- 8 -h 10 = 36 (с м ).
1
Р
2
ос
о .
ш
го
I
т
ё :
. 5
с
о
3
ос
о .
f c
&
л
C4J

го
ОС
с:
т
CL
<u
го
1
т
. 5
с
о
3
2
а.
20. l ) y A A C ß : Z A + Z ß + Z C = 1 8 0 “ 3a
теорем ою про с у м у к утів Q
тр и к у т н и к а .
Z C = 1 8 0 °
- (ZA + ZB),
/.С = 18 0° -
- (4 4 ° + 5 6 °) =
-=80°.
У А Л О В :
гОАВ = ZCAB = і •44° = 22°,
6 А
ZOBA = і ZCBA = і •56° = 28°
2 2
(о с к іл ь к и AK 1 ВМ за ум овою
б іс ек т р и с и ).
/.ОАВ + ZABO + Z A O B = 180°
Z A O B = 180° - (Z O A B + ZABO) =
= 180° - (2 2 ° + 28 °) = 180° - 50° = 130°
/.МОК і ZAOB — в е р т и к а л ь н і. Т о д і
ZM O K = ZAOB = 130°.
УААКС:
ZCAK + ZACK + ZAKC = 180°
ZAKC = 180° - (ZACK + ZCAK) =
= 180° - (2 2 ° + 8 0 °) = 180° - 102° = 78°.
У ч о т и р и к у т н и к у МОКС:
ZCMO + ZM C K + ZCKO + ZM O K =
= 360°
ZCMO = 3 6 0 ° - (ZM C K + ZCKO +
+ ZM O K ) = 360° - (8 0 ° + 78° + 13 0°) =
= 36 0° - 288° = 72°
2 ) У ч о т и р и к у т н и к у Л О В С :
ZCAO + ZAOB + ZOBC + ZACB = 360°
ZAOB = 36 0° - {ZCAO + ZOBC +
+ ZACB) = 36 0° - (2 2 ° + 28 ° + 8 0 °) =
= 360° - 130° = 230°
Відповідь: 1) Z M = 72°; ZC = 80°;
Z K =78°; Z 0 = 130°:
2 ) Z A = 22°; Z O = 23 0°; Z B = 28°;
Z C = 80°.
21, 1) У Д АС В : Z A + Z C + Z B = 180°
Z C = 180° - (Z A + ZB ) „
Z C = 1 8 0 ° - (3 6 ° + 72°) =
= 180° - 1 0 8 °= 72°
ZCFB = ZCEA =
= 90°, о с к іл ь к и
A E iB F -
висоти AACB
за ум овою .
У
ч о т и р и к у т н и к у CFHE:
ZFCE + ZCFH + ZFHE + ZHEC = 360°
Z F H E = 3 6 0 ° - (ZFCE + ZCFE +
+ Z H E C ) = 360° - (7 2 ° + 90 ° + 9 0 °) =
= 36 0° - 25 2° = 108°.
У ДАЕС: ZCAE + ZAEC + ZECA = 180°,
ZCAE = 180° - (Z A E C + ZECA) =
= 180° - (9 0 ° + 7 2 ° )= 18°.
У Ci.CFB- ZCFB + ZFBC + ZBCF = 180°,
ZFBC = 180° - (ZCFB + ZBCF) =
= 180° - (9 0 ° + 7 2 °) = 18°.
2 ) У ч о т и р и к у т н и к у ACBH:
ZCAH + ZAHB + ZHBC + ZBCA = 360°,
ZAHB = 360° - (ZCAH + ZHBC + ZBCA)
ZA H B = 36 0° - (1 8 ° + 18° + 7 2 °) =
= 3 6 0 ° - 108° = 2 5 2 °.
Відповідь: 1) CFHE: ZC = 72°;
Z F = 90 °; Z H = 108°; ZE = 90°.
2) ACBH: ZA = 18°; Z C = 72°;
Z B = 18°; Z H = 252°.
2 2 . ABCD — д а н и й ч о т и р и к у т н и к ,
BD — д іа го н а л ь .
За ум о в о ю зад а ч і:
= см .
Р з с в = 36 см ,
Р + Р =
ABD BCD г,
= A B + A D + BD + D C + О
+ СВ + BD = AB + AD + DC +
+ СВ + 2BD = Pj^gcD + 2S-D-
О тж е, 2BD = + Р^^^ -
Р + Р - Р
В Д = ^ЛЯСР
BD =
6 4 + 3 6 - 8 0
= 10 (с м ).
23. Н е м о ж у т ь , о с к іл ь к и д о в ж и
на б у д ь -я к о ї стор он и ч о т и р и к у т н и к а
м ен ш а су м и д ов ж и н т р ьох ін ш и х й ого
стор ін .
24. Н е х а й ABCD — д а н и й ч о т и р и
к у т н и к , у я к о м у ZA = ZC = 90 °, BE і
DF — б іс ек т р и с и к у т ів В і D.

Д ов ед ем о , щ о BE II DF.
С ум а кутів о п у к лого чотирикутника до
р ів н ю є 36 0°. Т о д і Z.B + /.D = 36 0° -
- 1 8 0 °= 180°.
Я к щ о в о п у к л о м у ч о т и р и к у т н и к у одна
пара п р о т и л е ж н и х к у т ів рівна м іж с о
бою , то і д р уга пара п р о ти ле ж н и х к у т ів
т а к о ж рівна м іж собою .
Т о д і Z ß = Z D = 1 8 0 °: 2 = 90°. BE і D F -
б іс ек т р и с и к у т ів в і D.
Т о м у ZFBE = і ZABF = 4 90° = 45°,
2 2
ОР = ^ВО,
О с к іл ь к и В С 1CD і A D II CD, т
оВС AD,
/.BFE = ZD EF я к в н у тр іш н і р ізн осто-
р о н н і п ри ВС IIAD і с іч н ій FE.
У ABEF ZBEF = 180° - (ZFBE + ZBFE).
У ^iDEF ZDFE = 180° - (ZFDE + ZDEF).
З від си ZBEF = ZDFE.
ZB EF = ZDFE — в н у т р іш н і р ізн осто-
р о н н і к у т и при п р я м и х BE, FD і с іч н ій
FE і о с к іл ь к и вони р ів н і, то BE |
|FD за
о зн а к о ю п а р а л е л ь н о с т і п р я м и х .
25. M N P K — д а н и й ч от и р и к у т н и к .
M E і PF — б і
сек т р и си к у т ів
N M K і N P K
о т ж е, M E II PF.
П роведем о п р я
м у EF.
EF — січ н а при п а р а л е л ь н и х п р я м и х
M E і PF.
ZM E F = ZPFE я к в н у тр іш н і різн осто-
р о н н і к у т и при M E II FP і с іч н ій EF.
О тж е, ZFE P = ZE FM , EF — с п іл ь н а
стор он а.
tsMFE = APEF за стор он ою і двом а п р и
л е г л и м и до н еї к у т а м и .
З р ів н о ст і т р и к у т н и к ів в и п ли в а є, щ о
ZE M F = ZFPE.
Т о д і у ч о т и р и к у т н и к у Z N M K =
ZK PN .
У Ш Ы Е і APKF-.
M E = FP, Z N M E = ZKPF,
Z N E M = ZKFP.
О тж е, AMNE = APKF за др угою ознакою
рівн ості т и р к утн и к ів .
Т о д і ZM N E = ZPKF.
26. Д ано:
П о б у д у в а т и ; ч о т и р и к у т н и к ABCD, у
я к о м у AD = а, AB = Ь, ВС = с, DC = d,
ZBAD = а.
П обуд ов а
1 . П о б у д у є м о
д о в іл ь н у п р я м у і
п озн а ч и м о на н ій
т о ч к у А .
2. П о б у д у єм о
Z A , ZA = a.
3. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом А і р а д іу
сом а. Т о ч к у п ер ети н у з і стор он ою к ута
А п озн ач и м о D.
4. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом А і р а д іу
сом Ь. В — т оч к а п ер ети н у к о л а з д р у
го ю стор он ою к у та .
5. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом В і р а д іу
сом с. П о б у д у є м о к о л о з ц ен тр ом D і
р а д іу со м d. С — т о ч к а п ер ед и н у д в ох
к іл .
Ч о т и р и к у т н и к ABCD — ш у к а н и й , о с
к іл ь к и у н ь о го ZA = а, AD = а, AB = ft,
ВС = с, CD = d за побудовою .
27. Д а н о: а _______
П обуд ов а
П о б у д у в а т и : ч о т и р и к у т н и к ABCD, у
я к о г о A D = а, AB = ft, ВС = с, CD - п, BD
= d^,AC = d^.
1. П о б у д у є м о
AABD за т р ь о
м а с т о р о н а м и :
AD = a,A B = b,
BD = d^.
2. П обудуємо ко
л о з ц ен тр ом А
3. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом в і Д = е.
4. П обуд уєм о к о л о з центром D і Д = п.
С — точ к а п ер ети н у ц и х к іл .

го
с;
го
a
ш
<
го
X
т
. 5
с
о
3
о .
ь
Ч о т и р и к у т н и к ABCD — ш у к а н и й , о с
к іл ь к и у нього AD = а, AB = ft, ВС = с,
CD = п, BD = d j, AC = d j за побудовою .
28. Д ан о:
а
я к о м у A D = а, AB = ft, ß C = с, CD - п,
BD = d.
П обудова
AABD за трьом а
с т о р о н а м и : AD
^ a ,A B = b,B D
= d.
к о л о з центром
В і Д = с.
3. П обу д у єм о к о л о з центром D R = n .
С — точ к а п ер ети н у ц и х к іл . З ’ єд н аєм о
т о ч к у С з т о ч к а м и В і D. О тр и м а єм о
ш у к а н и й ч о т и р и к у т н и к А В С І), о с к іл ь
к и у н ь ого AD = а, AB = Ь, ВС = с, CD =
п, BD = d за п обудовою .
29. Д ан о:
с + d
C
M
я к о м у ВС = а,АВ = Ь, ZABC = ß, ZBAD
= a,A D + DC = c + d.
П обудова
1. П о б у д у є
м о ААВС
за двом а
стор он ам и
і к у т о м м іж
ними: A B = 6,
BC = a,ZB =
ААВС за стор он ою , п р и л е г л о м у к у т у і
су м і д вох ін ш и х й ого ст о р ін . (У AACD
в ід ом а стор он а АС, ZDAC = ZBAD -
ZBAC і сум а стор ін AD і DC.)
Ч о ти р и к у тн и к ABCD — ш у к а н и й , ос
к іл ь к и у нього ВС = а, AB - Ь, ZABC = ß,
ZBAD = а, AD + DC = с + dsa побудовою .
1 1 0 °
Готуємось до вивчення
нової теми
3 0 . Z1, Z 4 ; Z2, Z 3 — в н у тр іш н і різ-
н остор он н і к ути
Z1, Z3; Z2, Z4 — вн ут
р іш н і о д н о с т о р о н н і
к у т и . 3 ^ 4 Ь
1) Я к щ о Z 1 = Z 4 , то
а II ft.
2 ) Я к щ о Z I = 20°, Z З = 170°, то а, Ь не
п а р а лельн і, о ск іль к и 20° + 170° = 190° *
* 180°.
Відповідь: 1) п а р а л е л ь н і; 2 ) не п а р а
л е л ь н і. в С
31. ZC, ZD — в н у
т р іш н і о д н о с т о
р о н н і к у т и п р и
п р я м и х ВС, AD і
с іч н ій CD. д
О с к іл ь к и їх су м а
дор івн ю є 110° + 70° = 180°, то ВС |A D .
Відповідь-. ВС IIA D .
32. ZA і ZB — в н у тр іш н і односторонні
к у т и при п р я м и х ВС, AD і с іч н ій A ß .
О с к іл ь к и їх с у м а В С
дорівню є 90° -І- 90° =
= 180°, то ВС IIA D .
ZB і ZC - в н у т р і
ш н і о д н о с т о р о н н і
к у т и при п р я м и х
A ß , CD і с іч н ій ВС.
О с к іл ь к и їх су м а
[ Т
t L
D
100°
не д о р ів н ю є 180°
(9 0 ° -t- 100° = 1 9 0 °), то п р я м і A ß і CD
не п а р а л е л ь н і.
Відповідь: ВС і A D п а р а л е л ь н і; A ß і CD
не п а р а л е л ь н і. В С
33. VAABDiACDB:
ВС =AD за умовою,
BD — сп ільн а сто
рона, А D
ZADB = ZCDB за ум овою .
Т о д і AABD = ACDB за двом а стор он ам и
О тж е, A B = С В і ZABD = ZCDB.
ZABD і ZCDB — в н у т р іш н і р ізн осто-
рон н і к у т и при п р я м и х A B , CD і с іч н ій
BD. О с к іл ь к и вони р ів н і, то A ß | CD.
Відповідь: AB = CD-, AB |
|CD.
34. AB II DK за у м о в о ю , ZABD і
ZBDK — в н у тр іш н і одн о стор он н і к ути

0 ри п а р а л е л ь н и х п р я м и х AB, D K і с іч
н ій ВС, т о м у їх су м а д ор ів н ю є 180°.
AABD + гВ П К = 180°
/ЛВО = 180° - ZBDK
ZABV = 180° - 116° = 64°
О с к іл ь к и ВК - б і
сек тр и са ZABC, то
ZABK = ZDBK =
А
= 32°.
У AKBD:
ZBKD + ZKDB + ZKBD = 180°
ZBKD = 180° - (ZK D B + ZKBD)
ZBKD = 180° - (1 1 6 ° 4- 3 2 °) =
= 180° - 148° = 32 °.
2. Паралелограм.
Властивості паралелограма
В п р а в и
37. а II Ь І с, d І п за ум ов ою .
У т в о р и л о с я 2 п а р а лело гр а м а .
d п
38. В е ли ч и н и к у т ів п озн ач ен о н еп р а
в и л ь н о на р и с у н к а х а, в.
Д о в ж и н а в ід р із к ів п о зн а ч е н а н еп р а
в и л ь н о на р и с у н к а х а, г.
39. 1 )Р = 2(а + ЬУ,
Р = 2 (1 4 -(-8 ) = 44 (о м );
44 см > 40 см .
Н е в и ста ч и ть.
2 ) Р = 2 (1 6 -І-4 ) = 40 (с м );
40 см = 40 см .
В и стач и ть.
3 ) Р = 2 (1 2 -І-6 ) = 36 (с м ):
36 см < 40 см ;
В и стачи ть.
Відповідь: 1) не в и ст а ч и ть ; 2 ) в и ста
ч и т ь ; 3 ) ви стачи ть.
40. 1 ) Н е х а й одна стор он а п а р а л е л о
гр а м а д ор ів н ю є X см , т о д і д р у га ( х +
+ 1 2 ) см . П е р и м е т р п а р а л е л о гр а м а
д ор ів н ю є 2(х + X + 12) см , або, за у м о
вою за д а ч і, 112 см .
2(х + х + 12 ) = 112.
2 х+ 12 = 56,
2х = 44,
ж = 22.
О тж е, одна стор он а 22 см , т о д і д р уга
22 -f- 12 = 34 (см ).
2 ) Н е х а й одн а стор он а п а р а лело гр а м а
д ор івн ю є 5х см , т о д і д р уга — 9х см . П е
р и м етр п а р а лело гр а м а д ор ів н ю є 2{5х +
+ 9х) см , або, за ум овою , задачі 112 см.
2{5х + 9л:) = 112.
14л: = 56,
х = 4.
О тж е, одна стор он а 4 • 5 = 20 см , т о д і
д р у га 4 • 9 = 36 (с м ).
Відповідь: 1) 22 см; 34 см; 2 ) 20 см; 36 см.
41. Н ех а й одна сторона п а р а лелограм а
д ор івн ю є X см , т о д і д р уга — 5х см . П е
р и м етр п а р а л е л о гр а м а д ор ів н ю є 2(х -I-
+ 5х) см , або, за у м о в о ю за д а ч і, 96 см .
2{х + 5х) = 96.
6д: = 48,
х = 8.
О т ж е, одна ст ор он а 8 см , т о д і д р у га
8 5 = 40 (см ).
Відповідь: 8 см ; 40 см .
42. CD = AB я к ^ ^
п р о т и л е ж н і с т о
рони п а р а л е л о г
рам а.
Т о м у CD= А D
- A B = 6 CM.
За в ла сти в істю д іа го н а л е й п а р а лело -
гр ам а АО = ОС = ^ = Щ = Ъ (с м ).
BO = OD =" ^ = 1 = 4 (с м ).
Рр д д = CO + OD + CD;
P c o D = 5 + 4 -Ь 6 = 1 5 (c m ).
Відповідь: 1 5 см .
43. ZC = ZA
iZ B = ZD я к
п р о т и л е ж н і
к у т и п а р а ле
л о г р а м а , тод і
ZC = 70°.

со
Z A + Z ß + Z C + Z D = 360°,
ZB + AD = 360° - (Z A + Z C ),
ZB + ZD = 360° - (7 0 ° + 7 0 °) = 220°,
ZB = ZD = 220° : 2 = 110°.
Відповідь: ZB = 110°; Z C = 70°;
Z D = 1 1 0 ° . с
44. у ч о т и р и к у т н и
к у ADKP: D K II АР,
AD II KP за ум овою , ^ .
т од і ADKP — п а
р а л е л о г р а м за
о зн ач ен н я м .
У п а р а л е л о гр а
ма п р о т и ле ж н і к у т и р ів н і.
Z K = ZA = 35 °, ZD = ZP.
Z A + ZD + Z K + Z P = 3 6 0 °.
ZD = Z P = (3 6 0 ° - (Z A -I- Z K )) : 2,
ZD = ZP = (36 0° - (35 ° + 3 5 ° )): 2 = 145°.
Відповідь: ZD = 145°; Z K = 35 °;
Zi> = 145°.
В с
45. V ^ABD:
ZA + ZB +
+ ZD = 18 0°.
Z A = 18 0° -
- (ZB -t- ZD ), ^ ^
Z A = 180° - (6 8 ° -I- 4 7 °) = 180° - 115° =
= 65 °.
ZBAD = ZBCD = 65°, о с к іл ь к и це п р о
т и л е ж н і к у т и п а р а лело гр а м а .
ZCBD і ZADB-, ZCDB і Z A B D — в н у т
р іш н і р ізн остор он н і к у т и при п а р а л е л ь
н и х п р я м и х ВС, AD і с іч н ій BD. Т о м у
ZCBD = ZADB = 47 °, ZCDB = ZABD =
= 68°.
ZABC = ZABD + ZDBC,
Z A B C = 6 8 ° -Ь 47 ° = 115°.
Z A D C = ZADB + ZCDB,
Z A D C = 47 ° -Ь 6 8 ° = 115°.
Відповідь: ZA = ZC = 65 '
= 115°.
46. у п а р а л е л о - ®
грам а п р о ти ле ж н і
с т о р о н и п а р а - / 32“
л е л ь н і. Т о м у
ВС IIAD. А D
ZBAC = ZDCA = 32 °, о с к іл ь к и це в н у т
р іш н і р ізн о с то р о н н і к у т и при ВС II AD
і с іч н ій А С .
ZBCD і ZCDA — в н у тр іш н і одн остор он
н і к ути при ВС І AD і с іч н ій CD.
ZB = ZD =
Т о д і:
ZBCD + ZCDA = 18 0°.
ZCDA = 180° - ZBCD,
Z C D A = 180° - 56° = 12 4°.
У AADC:
ZCAD -(- ZADC + ZACD = 180°.
ZCAD = 180° - (ZADC + ZACD),
Z C A D = 1 8 0 ° - (3 2 ° - H 2 4 ° ) = 1 8 0 ° - 156° =
= 2 4 °.
Відповідь: ZCAD = 24 °; ZADC = 124°.
47. ABCD — п а р а л е л о г р а м ,
S C IIA D в
ZABC і ZBAD —
в н у т р іш н і одн о- /
с т о р о н н і к у т и
пр и ВС II A D
і с іч н ій A ß . ^
Т о м у їх сум а д ор івн ю є 180°.
О с к іл ь к и за у м о в о ю з а д а ч і A M і
В М — б іс е к т р и с и к у т ів А і ß , то
ZABM = ZABC, ZBAM = ZBAD.
Л d
l
ZABM + ZB AM =
= i(Z A ß C - t - Z ß A D ) = i l8 0 ° = 90° .
d
l
У ^BMA:
ZBM A 4- ZB A M -b ZAB M = 180°,
ZBM A = 180° - (ZB A M -b ZABM ),
Z B M A = 1 8 0 ° - 9 0 ° = 90°.
Т о б то , ABMA п р я м о к у тн и й .
Відповідь: п р я м о к у тн и й .
48. 1) Д в а к у т и п а р а л е л о гр а м а або
п р и л е г л і д о о д н іє ї стор он и , або п р о ти
л е ж н і.
Д а н і к у т и не м о ж у т ь б у т и п р и л е г л и
м и до о д н іє ї стор он и , о с к іл ь к и їх сум а
д ор ів н ю є1 0 0 °, а сум а с у с ід н іх к у т ів па
р а л е л о гр а м а — 180°.
О тж е, д а н і к у т и п р о т и л е ж н і, тод і к о
ж ен з н и х д ор івн ю є 100° : 2 = 50°.
2 ) Д в а к у т и п а р а лело гр а м а — або п р и
л е г л і д о о д н іє ї стор он и , або п р о т и л е ж
н і. Д а н і к у т и не м о ж у т ь б у т и п р о т и
л е ж н и м и , о с к іл ь к и п р о т и л е ж н і к у т и
р ів н і. Т о б то ці к у т и , п р и л е г л і д о о д н іє ї
стор он и , і їх су м а д ор ів н ю є 180°.
Н ех а й м ен ш и й к у т х°, тоді б іл ь ш и й к ут
(х + 2 0 )°. С ум а ц и х к у т ів д ор ів н ю є (х +
■
1
- л- -І- 2 0 )°, або 180°.

т о д і б іл ь ш и й
д: + х + 2 0 = 180.
2 х = 160,
х = 80.
О т ж е, м ен ш и й к у т 8 0 '
80° + 20° = 100°.
3 ) Д а н і к у т и не м о ж у т ь б у т и п р о т и
л е ж н и м и , о с к іл ь к и п р о т и л е ж н і к у т и
ш п а р а лелограм а рівні; отж е, ці кути , п р и
л е г л і до од н ієї сторони, і їх сум а 180°.
Н е х а й оди н к у т S x", тод і д р у ги й 7х°.
С ум а к у т ів (З х -t- 7 х )°, або 180°.
Зх + 7 х = 180.
1 0 х = 180,
х = 18.
О тж е, один к у т 18° ■з = 54°, тод і д р уги й
18° 7 = 126°.
Відповідь: 1 ) 5 0 °; 5 0 °; 2 ) 8 0 °; 10 0°;
3 ) 54°; 126°.
49. 1) О с к іл ь к и д а н і к у т и не р ів н і, то
вони п р и л е г л і до о д н іє ї стор он и п а р а ле
л о гр а м а і їх сум а д ор ів н ю є 180°.
Н е х а й оди н к у т х°, т о д і д р у г и й 2дг°.
С ум а к у т ів (х -І- 2 х )°, або 180°.
X -І- 2 х = 180.
Зх = 180,
х = 60.
О тж е, оди н к у т 60 °, т о д і д р уги й
60 2 = 120°.
2) Н е х а й один к у т х °, т о д і д р у ги й к у т
(х + 2 4 )°. С ум а к у т ів (х -І- х -І- 2 4 )°, або
180°.
М а єм о рів н я н н я
X X - І - 24 = 180,
2 х -І- 24 = 180,
2 х = 156,
х = 78.
О тж е, один к у т 78°, т о д і д р у ги й 78° +
+ 24° = 102°.
Відповідь-. 1 ) 60° і 120°; 78° і 102°.
50. ABCD — д а н и й п а р а лело гр а м
AB = 6 CM, ВС = 10 см д С
З Д Л В С AC < AB +
-(■ ВС (з а н е р ів
н іс т ю т р и к у т
н и к а ).
У нас АС = -^ ^
= АВ + ВС = 6 + 10 = 16 (с м ).
О с к іл ь к и у п а р а лело гр а м а п р о т и ле ж н і
стор он и р ів н і, то CD = AB = 6 см , AD =
ВС = 10 см.
I тод і д л я д іа го н а л і BD із ABAD м ож н а
з р оби т и а н а л о гіч н и й ви сн овок.
Відповідь: не м ож е.
51. У п р я м о к у т н о м у АВКА: АК — к а
тет, я к и й л е ж и т ь про- ß с
ти к ута в 30 °. Т о д і
AB = 2АК.
Л В = 4 ■2 = 8 (с м ).
A D = A K + KD, І П
a d = 4 -І-6 = 10 (см ). ^
У п а р а лело гр а м а п р о т и л е ж н і стор он и
р ів н і.
Т о м у CD =АВ = 8 см , ВС =AD = 10 см
P a b c d = 2{AB + BC)
^ a b c d = 2 ( 8 + 1 0 ) = 3 6 (C M ).
У ААКВ: ZAKB = 90°, ZABK = 3 0 °,
гВ А К + ZABK = 90°,
ZBAK = 90° - ZABK = 90° - 30° = 60 °.
ZABC і ZBAD — п р и л е г л і до о д н іє ї ст о
р он и п а р а лело гр а м а , то д і;
Z A B C 4- /.BAD = 18 0°.
Z A B C = 180° - ABAD,
ZABC = 180° - 60 ° = 12 0°.
Z C = Z A і ZD = ZB я к п р о т и ле ж н і к ути
п а р а лело гр а м а . Т о м у
Z C = Z A = 60 °, ZD = ZB = 120°.
Відповідь: ZA = ZC = 6 0 °; Z D = ZB =
= 120°; 36 см .
52. УААНВ:
ZBAH + ZABH
-Ь ZBHA = 180°.
ZABH = 180° -
- (ZBAH + ZBHA),
ZABH = 180° - (4 5 ° -І- 9 0 °) = 45 °.
О тж е, ААНВ — р івн обед р ен и й .
Т о д і АН = ВН = З см .
За ум ов ою HD =А Н ; HD = 3см .
A D = A H + HD,
AD = 3 + 3 = 6 (cm).
AAHB = ADHB за двом а ка тетам и .
О тж е, ZHBD = 45 ° і ZH DB = 45°,
ZABD = ZABH + ZHBD = 45° + 45° = 90°.
ZABD = ZCDB та ZCBD = ZADB я к
в н у тр іш н і р ізн о с то р о н н і при ВС II AD і
січ н ій BD. Тоді ZBDC = 90°, ZCBD = 45°.
Т о б т о , д іа го н а л ь BD у тв о р ю є з і ст о р о
н ам и AB і CD к у т и по 90 °, а з і стор он а
м и AD і ВС — к у т и по 45 °.
Відповідь: 45 °, 90°.

p
та
к
Q
Ol
ra
s
X
T
>v
Q .
5
'c
о
3
5
Q.
5 3 . У п р я м о к у т н о м у l^BHC:
BH — ка тет, в_________
я к и й л е ж и т ь
п роти к ута в 30°.
Т о д і ВС = 2ВН-,
В С = 2 7 = 1 4 (с м ). N------------- Ü
За в л а с т и в іс т ю ^ H D
п р о т и л е ж н и х с т о р ін п а р а л е л о гр а м а :
AD = ВС = 14 см, AB = DC.
За ум овою Р = 46 см . Р = 2(АВ + ВС),
2(АВ + ВС) = 46,
Л В + В С = 23,
Л В + 14 = 23,
AB = 9.
С тор он и п а р а л е л о гр а м а : AB = DC = 9
CM , ВС =AD = 7 см .
Відповідь: 9 см , 7 см .
В С
5 4 . О дночасно р ів
н о с т і ZA = Z M ,
ZB = ZK , ZC =
= Z N в и к о н у
вати сь не M O- ^ ®
ж у т ь , о с к іл ь к и су м а к у т ів т р и к у т н и к а
M K N буд е б іл ь ш о ю від 180°, (т о м у щ о
ZA і ZB — к у т и , п р и л е г л і д о о д н іє ї
стор он и п а р а лело гр а м а , і їх су м а вж е
18 0°).
5 5 . У п р я м о к у т н и х
Д А Б В і ACFD:
т р и к у т н и к а х
С
c«g
n
A ß = CD я к про
т и л е ж н і ст о р о
ни п а р а л е л о г
рама, ZBAE =
= ZDCF я к А
в н у т р і ш н і
р ізн о с то р о н н і при AB |
|CD і с іч н ій АС.
О тж е, ААЕВ = ACFD за г іп о т е н у з о ю і
гостр и м к у т о м .
Т о д і BE = DF.
5 6 . Н е х а й
EF — д о в іл ь
н ий в ід р ізо к ,
я к и й п р о х о - А Е ' D
д и т ь ч ер ез т о ч к у О — т о ч к у п ер ет и
н у д іа го н а л е й АС і BD п а р а лело гр а м а
ABCD, і к ін ц і ц ь о го в ід р ізк а EF н а л е
ж а ть п р о т и л е ж н и м стор он ам ABCD.
У ABOFі ADOE:
ВО = 0D за в ла ст и в іст ю д іа го н а л е й па
р а ле ло гр а м а .
ZOBF = ZODE я к в н у т р іш н і р із н о с т о
р о н н і при ВС IIA D і с іч н ій BD,
ZBOF = ZDOE я к в ер ти к а л ьн і.
О тж е, ABOF = ADOE за д р уго ю озн ак ою
р ів н о ст і т р и к у т н и к ів .
FO = ОЕ я к в ід п ов ід н і стор он и р ів н и х
т р и к у т н и к ів .
А н а л о г іч н о д о в о д и ть ся , щ о бу д ь -я к и й
в ід р ізо к , я к и й п р о х о д и т ь ч ер ез т о ч к у
п е р е т и н у д іа го н а л е й п а р а л е л о гр а м а і
к ін ц і я к о г о н а леж а т ь стор он ам п а р а ле
л о гр а м а , д іл и т ь с я ц ією то ч к о ю н а в п іл.
57. ABCD — д а н и й п а р а лело гр а м .
Р = 2 4 с м . В
ZABC = 16 0°
АС — д іа г о
н а ль,
ZCAD=
= 10°.
ZABC + ZBAD = 180° я к с у м а к у т ів ,
п р и л е г л и х д о о д н іє ї ст о р о н и п а р а л е
ло гр а м а .
ZBAD = 180° - ZABC,
ZBAD = 180° - 160° = 2 0 °.
ZBAD = ZBAC + ZCAD,
ZBAC = ZBAD - ZCAD,
ZBAC = 20° - 10° = 10°.
У ЛАВС: ZBAC + ZABC + ZBCA = 180°.
ZBCA = 180° - (ZBAC + ZABC),
ZBCA = 180° - (1 6 0 ° -ь 1 0 °) = 10°.
Т о б т о , ААВС — р ів н о б е д р е н и й , т о д і
АВ = ВС.
У п а р а л е л о гр а м а п р о т и л е ж н і стор он и
р ів н і.
Т о м у A B = ßC = CÖ = A D = ^ = ^ = 6 (см ).
4 4
Відповідь: 6 см к о ж н а стор она.
58. ZA = ZC як в
п р о т и л е ж н і к у т и /6 5 °'
п а р а л е л о г р а м а .
Т о м у Z A = 50°.
У AABD:
ZBAD -Ь ZABD 4- ZBDA = 1 8 0 ° .
ZBDA = 180° - (ZBAD + ZABD),
ZBDA = 180° - (5 0 ° -ь 6 5 °) = 180° - 1 1 5 ° =
= 6 5 °.
О тж е, AABD — р ів н о бед р ен и й ,
A B = A Z ) = 8 см .
О с к іл ь к и у п а р а лело гр а м а п р о т и ле ж н і
стор он и р ів н і, то AB = ВС = CD = AD =
8 CM.

P = 4 A B , P = 4 8 = 32 (cm).
59. AABD — р ів н о б ед р ен и й і п р я м о
к у т н и й . ^ -------------------------- С
ZA = Z.D
я к к у т и при
осн ов і.
Z A + Z D =
= 90°,
о с к іл ь к и сум а го с тр и х к у т ів п р я м о
к у т н о го т р и к у т н и к а д ор ів н ю є 90°.
Т о д і Z A = Z D = 90 ° : 2 = 45°.
ZCBD = ZADB = 4 5 °, о с к іл ь к и ц і
к у т и — в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і при
ВС ||AD і с іч н ій B D .
г А в с = ZABD -ь г о в с ,
Z A B C = 9 0 ° - l- 4 5 ° = 1 3 5 ° .
У п а р а лело гр а м а п р о т и л е ж н і к у т и р ів
н і. Т о м у
ZC = ZA = 4 5 °, ZD = ZB = 135°.
Відповідь: ZA = ZC = 4 5 °; ZB = ZD =
= 135°.
60. A B — к а тет, я к и й л е ж и т ь п роти
к у т а в 30 °. Т о д і гіп о т е н у з а A D = 2АВ.
В С
А D
Н е х а й А В = ^ссм, т о д іА О = 2 х см . П е р и
м етр п а р а ле ло гр а м а 2(х -ь 2х) см , або,
за ум ов ою за д а ч і, 36 см .
М а є м о р ів н я н н я :
2(х + 2х) = 36.
Зх = 18,
X = 6.
О тж е, AB = DC = 6 CM.
AD = ßC = 6 2 = 12 (cm).
6 1 . Н е х а й ABCD — д а н и й п а р а л е л о г
р а м , BD — д іа г о н а л ь п а р а л е л о гр а м а ,
п р я м а а І BD.
Т о ч к и Е, F, М ,
К — т о ч к и п е
р е т и н у п р о д о в
ж е н н я с т о р ін
п а р а л е л о г р а м а
AB, DC, ВС, AD
із п р я м ою а від
повідн о.
Д овед ем о, щ о EF = М К.
Ч о т и р и к у т н и к BEFD — п а р а лело гр а м
за озн ач ен н я м (BE |
|DF і BD Ц EF).
Т о д і EF = BD.
Ч о т и р и к у т н и к BM KD — п а р а лело гр а м
за озн ач ен н я м (BD |
|М К і ВМ ЦDC).
Т о д і М К = BD.
О тж е, EF = М К.
Відповідь: EF = М К .
62. О с к іл ь к и А Р II
II CN і АС II PN , то
APNC — п а р а л е л о
грам за озн ачен н ям
і PN = АС я к п р о
т и л е ж н і стор он и
п а р а лело гр а м а .
О с к іл ь к и ^ ^
АС II М К і AB II СК, тоАМКС — п ара
ле л о гр а м за озн ачен н я м . Т о д і М К = АС
я к п р о ти леж н і стор он и п а р а лелогр а м а .
З від си PN = М К .
P M = PN + N M ,
N K = М К + N M .
О тж е, P M = NK.
Відповідь: P M = NK.
63. ZB K AiZD AK —
в н у т р іш н і р із н о -
ст р о н н і к у т и при
ВС II AD і с іч н ій
AK. Л D
Т о д і ZD AK = ZBKA = 24°.
О с к іл ь к и А К — б ісек т р и са ZBAD, то
ZBAK = ZKAD = 24°.
ZBAD = ZBAK + ZKAD,
ZBAD = 24° 24 ° = 48°
ZBAD і ZABK — к у т и , п р и л е г л і до од
н іє ї ст о р о н и п а р а л е л о гр а м а , т о м у їх
су м а д ор ів н ю є 180°.
Т о д і ZABC = 180° - ZBAD.
ZABC = 180° - 48 ° = 132°.
У п а р а лело гр а м і п р о ти леж н і к ути рівні.
Т о м у ZC = ZA = 48 °, ZD = ZB = 132°.
Відповідь: ZA = ZC = 48°, ZB = ZD =
= 132°.
64. ZB M A = ZD A M я к в н у т р іш н і
р із н о с т о р о н н і A M В
пр и ВС II AD і
с іч н ій AM.
ZB A M =
= ZDAM ,
о с к іл ь к и
D
A M — бісек тр и са за ум овою .

fC
к
s
a
O
J
<
ro
s
T.
T
>4
a
. 5
с
о
5
сс
о .
f c
S
О
ш
«з-
сч
ев
З відси : /.ВАМ = ZBM A.
ААВМ — рівнобедрений з основою A M .
Т о д і AB = ВМ = 12 см .
ВС = ВМ + MC,
S C = 1 2 + 16 = 28 (с м ).
У п а р а л е л о гр а м і п р о т и л е ж н і стор он и
р ів н і, т о м у :
A D = ß C = 28 см , D C = A B = 12 см ,
Р = 2 (А В + ВС),
Р = 2 (1 2 + 2 8 ) = 80 (с м ).
65. ZBM A - ZD AM я к в н у т р іш н і різ-
н о с т р о н н і п р и
ВС IIA D і с іч н ій
AM .
ZB AM =/D AM ,
о с к іл ь к и AJVf —
бісек тр и са.
Т о д і^ В А М = ZBMA.
ААВМ — рів н о бед р ен и й , у н ь о м у AB =
= ВМ.
Н е х а й В М = AB = З х см , т о д і MC =
= 5х см , а ВС = 8д; см .
П ер и м етр п а р а лело гр а м а д ор ів н ю є
2 ( Z x + 8 х ) см , або, за ум о в о ю зад а ч і,
66 см .
2{3х + 8 х ) = 66.
1 1 х = 33 ,
х = 3.
О тж е, AB = 3 3 = 9 (с м ),
ß C = 8 ■З = 24 (с м ).
У п а р а л е л о гр а м і п р о т и л е ж н і стор он и
р ів н і, т ом у :
CD =АВ = 9 см , A D = ВС = 24 см .
Відповідь:AB = CD = 9 см, A D = ВС = 24 см.
6 6 . ZAKB = ZCBK я к в н у тр іш н і різн о-
стор он н і при ВС II _________________С
AD і с іч н ій ВК.
ZAB K = ZCBK,
о с к іл ь к и ВК —
б ісек тр и са.
Звідси ZABK =
= ZAKB.
О тж е, &АВК — р ів н о бед р ен и й з о с н о
вою ВК. AB = AK я к б іч н і стор он и рів-
н обед р ен ого т р и к у т н и к а .
Н ех а й KD = X см , тод і АК = 5х см , A D =
6х см . П ер и м ет р п а р а лело гр а м а д о р ів
ню є 2(5х + 6х) см , або, за у м ов ою з а
д а ч і, 88 см .
2 (5 х -І- 6л:) = 88.
11ж = 44,
X = 4.
О тж е, AB = CD = 4 • 5 = 20 (с м ),
A D = В С = 4 6 = 24 (с м ).
Відповідь: 20 см ; 24 см.
67. ZAEB = ZCBE я к в н у тр іш н і різно-
ст ор он н і при ВС I I A D і с іч н ій BE.
ZABE =
= ZCBE,
о с к іл ь к и
BE — б і
сектриса
ZABC.
З в ід к и ZABE = ZAEB.
Т о д і AAEB — р ів н о бед р ен и й .
О тж е, AE =АВ = З CM.
А н а л о г іч н о д ов од и м о, щ о ACDF — р ів
н обед р ен и й з осн овою CF.
О тж е, CD - FD = З CM.
A D = A E + EF + FD,
E F = A D - (AE + FD),
EF = 1 2 - (З + 3 ) = 6 (cm).
6 8 . ABHM — п р я м о к у т н и й . О с к іл ь
к и су м а го с т р и х к у т ів п р я м о к у т н о го
т р и к у т н и к а д ор ів н ю є 90 °, т о ZB M H =
= 90° - 24° = В С
= 66°.
ZCBM =
= Z A M ß = 66°,
я к в н у т
р іш н і різ- ^ H M D
н остор он н і при ВС I I A D і с іч н ій ВМ.
ZABC = 2ZCBM, о с к іл ь к и В М — б іс е к
три са ZABC.
ZABC = 2- 66° = 132°.
С ум а к у т ів , п р и л е г л и х д о о д н іє ї ст ор о
ни п а р а лело гр а м а , д ор ів н ю є 180°.
Т о д і ZBAD = 180° - Z A S C ,
Z ß A D = 180° - 132° = 4 8 °.
О тж е, Z C = Z A = 48°, ZD = Z B = 132°.
Відповідь: 48 °; 132°.
69. ВН і BN — висоти п а р а лело гр а м а
ABCD, о п у щ е н і з в ер ш и н и т у п о го к у
та В.
Д о в е д е м о , щ о
ZBAH = ZH BN.
Н ех а й ZA = а.
У п р я м о к у тн о м у
ААНВ с у м а го-
24°
/
/
/ Г /

f ст р и х к у т ів д ор ів н ю є 9 0 °. Т о д і ZABH
= 90 ° - а.
О с к іл ь к и BN — ви сота , то BN X AB.
О тж е, ZABN = 90°.
гН В М = ZABN - ZABH,
ZH B N = 90° - (9 0 - а ) = 90° - 90° + а =
= а .
О тж е, ZBAH = ZH BN.
Відповідь: ZBAH = ZHBN.
70. Н ех а й A B C Ö —
да н и й п а р а лело гр а м .
CF і СК — ви соти ,
о п у щ е н і з в ер ш и н и
гостр ого кута.
Д ов ед ем о , щ о
ZFCK = ZADC.
У п р я м о к у т н о м у ACKD:
Z.KCD + ZCDK = 90 °, о с к іл ь к и сум а г о
ст р и х к у т ів д ор ів н ю є 90°.
Т о д і ZDCK = 90° - ZCDK,
ZADC + ZC D K = 180’’.
Т о д і ZADC = 180° - ZCDK.
; ZFCD = 90°, о ск іль к и CF±AB,aAB CD,
о т ж е , CF 1 DC.
ZFCK = ZFCD + ZDCK,
j ZFCK = 90° + 90° - ZCDK = 180° - ZCDK
О тж е, ZFCK = ZADC.
;71. Н е х а й ABCD — д а н и й п а р а лело г-
[р а м .
ВМ і BN — ви-
1со ти , о п у щ е н і з
І в ер ш и н и т у п о го
І к у т а В. д
І За ум о в о ю зад а ч і;
j В М = 4 см , ВЛГ = 6 см , ZM B N = 30°.
З н а й д ем о п ер и м етр п а р а лело гр а м а .
Я к в ід ом о , к у т м іж ви со та м и , о п у щ е
н и м и з вер ш и н и т у п о го к ута, д ор івн ю є
го с т р о м у к у т у п а р а л е л о г р а м а . Т о д і
ZB A M = 30° і ZBCN = 30°.
В М і BN — к а тети , я к і л е ж а т ь проти
к у т а в 30°.
Т о д і гіпотенуза AB - 2ВМ = 4 - 2 = 8 (см ),
а гіп отен уза ВС = 2BN = 2 - 6 = 12 (см ).
Р = 2 (А В + ВС) = 2 (8 -І- 12 ) = 40 (см ).
72. ABCD — д а
ни й п а р а лело гр а м .
CN і СМ — висоти,
о п у щ е н і з вер ш и н и
го с тр о го к ута С.
/ 3 0 *
Г
М D
ZN C M = 150°, ВС = 18 см , CD = 10 см .
Зн а й д ем о ви соти CN і СМ.
Я к відом о, к у т м іж висотам и, о п у щ е н и
м и з вер ш и н и го стр ого к у та , дор івн ю є
т у п о м у к у т у п а р а лело гр а м а .
Т о м у ZABC = ZADC = 150°.
ZNBC і ZABC, ZCDM і ZCDA — с у м іж
ні к у т и , їх сум а д ор ів н ю є 180°.
Т о д і ZNBC = ZCDM = 180° - 150° = 30°.
NC і СМ — к а т ет и , я к і л е ж а т ь п роти
к ута в 30°.
Т о д і N C = - i s C = -i-1 8 = 9 (с м ).
С Я = і с Г ) = і - 1 0 = 5 (с м ).
2 2
73. Н ех а й ААВС — д а н и й рівнобедре-
н и й т р и к у т н и к з осн овою АС і бічн и м и
сторонами A B і ВС, N є АС,
M N II ВС, P N j l A ß .
= АВ + ВС.
ZBCA = ZBAC я к
к у т и п р и осн ов і
р ів н о б е д р е н о г о ^
Д А В С .
ZBCA = Z M N A я к в ід п ов ід н і к у т и при
ВС II M N і с іч н ій АС. З в ід с и ZBAC =
ZM N A , AAMN — р ів н о бед р ен и й . Т о д і
A M = M N .
ZBAC = ZBCA я к к у т и при осн ові р ів
н обед р ен ого т р и к у т н и к а .
ZBAC = ZPNC я к в ід п о в ід н і к у т и при
A B І P N і с іч н ій А С .
З в ід с и ZBCA = ZPNC, ANPC — р ів н о
бед р ен и й , тод і P N = PC.
Ч о т и р и к у т н и к M B PN — п а р а лело гр а м
за о зн а ч е н н я м (M B |
| N P і M N Ц ВР).
Т о д і M B = N P iB P = M N .
P mbpn = М В + BP + PN + M N.
О с к іл ь к и BP = M N = A B ,a P N = M B =
PC, TO P ^ gp ^ = A M + M B + BP + PC-,
Відповідь: Pj^gpf^ =AB -b BC.
74. У т в о р и л о с ь тр и п а р а лело гр а м а
МВСА, BNCA, АВСР.
О с к іл ь к и у
п а р а л е л о гр а м і
п р о т и л е ж н і ст о
рон и р ів н і, то
Рмвсл = ^ВС +
+ 2АС;

^ f i i v c A = 2 A B + 2A C ;
P ^ j , = 2AB + 2BC;
Рмвсл + Рв^сл + ^лвсР = 2 ß C + 2A C +
2AB + 2AC + 2AB + 2BC = ІА В + 4BC +
4 A C = 4 (A S + ВС + AC) = 4 P ^ ^ .
Т о д і P ^ c = ^ = 25 (= «)•
P
п
з
с
з
с
с:
м
а
(U
«3
I
т
Ё
g
’с
о
2
а.
О
ш
во
П о б у д у в а т и п а р а
л е л о г р а м ABCD, ij
у я к о м у A D = о,
АВ = Ь, Z A ^ a .
А н а л із
П р и п у ст и м о , щ о п а р а лело гр а м п о б у д о
вано. Т о д і у н ь ого ZA = а , A D = а, AB =
Ь. У i^ABD в ід о м і дві стор он и і к у т м іж
н и м и . З н ь о го і м ож н а п оча ти п обуд о в у
п а р а лело гр а м а ABCD.
П обуд ов а
1. Б удуєм о Д А В І), В/ Q/
у яком у A Z ) = а, AB =
= b,ZA = a.
2. Б у д у єм о
п р я м у В Х , -J -
BXADi Г
п р я м у DY, D Y IIAB. Н е х а й точ к а
їх п ер ети н у — С . ABCD — ш у к а н и й
п а р а лело гр а м .
Д оведен н я
У ч о т и р и к у т н и к у ABCD AB |
|CD і ВС Ц
IIA D за п обуд овою . О тж е, ABCD — па
р а л е л о гр а м , AB = Ь, AD = а, Z A = а за
п обудовою . Т о д і ABCD — ш у к а н и й п а
р а ле ло гр а м .
2 ) Д ан о:
ї ї -
П о б у д у в а т и : п а р а л е
л о г р а м ABCD, у я к о
м у АС = d^. BD = d^,
AB = а.
А н а л із
П р и п у ст и м о , щ о
ABCD — ш у к а н и й
п а р а лело гр а м , тод і у н ього
а о Л а с = ^-, О в Л в О = ^-, АВ = а.
У ААОВ в ід о м о тр и ст о р о н и . З н ь ого
і п о ч и н а єм о п о б у д о в у п а р а л е л о гр а м а
ABCD.
П обуд ов а
1. П о б у д у є м о ААОВ за
тр ьом а стор он ам и
Л О = | ; В О = | - ;
АВ = а.
2. Н а п р о м ен і АО в ід
к л а д а єм о А С = d j, а на
п р о м е н і ВО — в ід р і
з о к BD = d j. З ’ єд н аєм о
т о ч к у С з т о ч к а м и В і
D. О т р и м а єм о ш у к а н и й п а р а лело гр а м
ABCD.
Д ов ед ен н я
у ч о т и р и к у т н и к у ABCD д іа г о н а л і т о ч
к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл . О тж е,
ABCD — паралелограм . У нього А С = d j,
BD = d j, A B = а за п о б у д о в о ю . Т о д і
ABCD — ш у к а н и й п а р а лело гр а м .
76. 1 )Д а н о : а
- ь
П о б у д у в а т и : п а р а л е л о г р а м ABCD, у
я к о м у A B = а, A D = Ь, BD = d.
А н а л із
П р и п у с т и м о ,
щ о ш у к а н и й
п а р а лело гр а м
п о б у д о в а н о .
Т о д і у н ь о го
В
D
AB = а, AD = Ь, BD = d. У Д А В Г» відом о
три стор он и . З н ь ого і п оч н ем о п о б у д о
ву п а р а лело гр а м а ABCD.
П обу д ов а
AABD, у я к о м у
AB = a,A D = b,
BD = d.
п р я м у В Х І A D
і п р я м у DY II A B . С — т о ч к а п ер ети н у
п р я м и х В Х і DY. ABCD — ш у к а н и й
п а р а лело гр а м .

Д овед ен н я
О с к іл ь к и ВС j|AD і AB |
|DC, то ч о т и р и
к у т н и к A ß C Z ) — п а р а л е л о г р а м .У н ього
AB = а, AD = Ь, BD = d за п обуд овою .
О т ж е, ABCD — ш у к а н и й п а р а л е л о г
рам .
2 ) Д а н о:
П о б у д у в а т и : п а р а л е л о гр а м ABCD, у
я к о м у А С = d j, BD = d j, ZAOD = а.
А н а л із
П р и п у ст и м о , щ о п ар а
л е л о гр а м ABCD п обу д о
вано. Т о д і за власти вістю
• д іа го н а л е й п а р а л е л о гр а
м а у AAOD:
O D = i ß D = ^ O D = а.
Із AAOD і п оч н ем о п обу д о в у п а р а л е л о
гр ам а ABCD.
П обуд ов а
1. П обу д у єм о A A O D , у я к о м у А О = i d , ;
OD = ^d^; ZAOD = а.
2. Н а п р о м ен і А О в ід
к л а д е м о в ід р ізо к А С =
= d j, а на п р ом ен і DO —
в ід р ізо к BD = d j. З ’ є д
н а єм о т о ч к у С з т о ч к а
м и ß і Ü . О т р и м а єм о
ш у к а н и й п а р а лело гр а м
ABCD.
у ч о т и р и к у т н и к у ABCD д іа го н а л і т о ч
к о ю п ер ет и н у д іл я т ь с я н а в п іл . О тж е,
ABCD — п а р а л е л о гр а м . У н ь ого ZAOD
= а , А С = d j, BD = d j за п обудовою .
Т о д і A B C D — ш у к а н и й п а р а лело гр а м .
77. П обуд ов а
1. П о д іл и м о
в ід р ізо к А С нав
п іл . С е р е д и н у
АС п о з н а ч и м о
т о ч к о ю О.
2. Н а п р о м ен і ВО за
т о ч к у О в ід к ла д ем о в ід р ізок OD = OB.
М D
3. З ’єд н аєм о т о ч к у D з т оч к а м и А і С.
О т р и м а є м о ш у к а н и й п а р а л е л о г р а м
ABCD.
у ч о т и р и к у т н и к у д іа г о н а л і А С і BD
п ер ет и н а ю т ь ся і т о ч к о ю п ер ет и н у д і
л я т ь с я н а в п іл . О т ж е, ч о т и р и к у т н и к
ABCD — п а р а л е л о гр а м . У н ь о м у А ,
Л , С — в ер ш и н и , т о б т о т о ч к и А , В ,
С не л е ж а т ь на о д н ій п р я м ій . О тж е,
78. ABCD — д а н и й п а р а лело гр а м .
В М — бісек тр и са D г
ZABC, CM — б і
сектриса ZBCD,
M e A D .
З н ай дем о в ід
нош ен н я AD 1
до AB.
ZD C M = ZBCM, о с к іл ь к и C M — б іс е к
тр и са ZBCD.
ZDM C = ZBCM я к в н у тр іш н і різн осто-
р о н н і к у т и п ри ВС II A D і с іч н ій MC.
З від си отр и м а єм о, щ о ZD M C = ZDCM.
AMDC — р ів н о бед р ен и й . CD = M D.
А н а л о г іч н о у ААВМ ZA B M = ZAM B.
О тж е, ААВМ — рівнобедрений. AB =АМ.
О с к іл ь к и п р о т и л е ж н і стор он и п а р а ле
ло гр а м а р ів н і (A B = CD), то A M = M D.
О тж е, A D : A B = 2 : 1 .
Відповідь: 2 : 1 .
79. Н ех а й ZBAD = а, ZM B D = ß.
Т о д і ZM D B = ß і ZBDA = ß.
ZBCD = a ,
ZABD = a,
ZCM D = a ,
ZM DA = a.
Ц е в и п ли в а є
з р ів н о с т і
п р о т и л е ж н и х к у т ів п а р а л е л о гр а м а ,
к у т ів при осн ові р івн обед р ен и х т р и к у т
н и к ів , в н у тр іш н іх р ізн остор он н іх к утів
при п а р а л е л ь н и х п р я м и х і січ н ій .
Із AABD: 2 а ß = 180° за теор ем ою про
с у м у к у т ів тр и к у т н и к а .
Z A B C = а + ß, Z A D C = 2 а - ß
ZABC = ZADC я к п р о т и ле ж н і к у т и п а
р а ле ло гр а м а .
Т о д і а -І- ß = 2 а - ß; а = 2ß.
О три м а єм о 2 2ß -І- ß = 180°; 5ß = 180°;
ß = 36 °; а = 36° 2 = 72°.
О тж е, Z B A D = ZBCD = 72°.

ZABC = ZADC = 180° - 72“ = 108°. У
Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°. В
8 0 . 1 )Л а н о : а /
h
d А К і
якого AD = а, BE = h, BD = d.
П обуд ов а
і
в
/
а ( Е
1. П о б у д у єм о п р я м у т.
2. П о б у д у єм о п р я м у 1,11т .Е — точк а
п ер ет и н у п р я м и х .
3. П о б у д у єм о к о л о з центром E iR = h.
В — точка п ер ети н у к о ла з п рям ою І.
4. П о б у д у є м о к о л о з ц ен тр ом В iR = d.
D — т оч к а п ер ет и н у к о л а з п р я м ою т.
З ’ єд н аєм о т о ч к и В iD .
5. П о б у д у є м о к о л о з ц ен тр ом Ü і Я = а.
А — точ к а п ер ети н у к о л а з п р я м ою т.
З ’ єд н аєм о т о ч к и А і В.
6. П о б у д у є м о п р я м у В Х ЦA D і п р я м у
DY II AB. С — т о ч к а п ер ет и н у п р я м и х
ВХ і DY.
2 ) Д а н о: d.
п
я к о м у BD = d j, АС = d j, BE = h.
А н а л із
П р и п у с т и м о , щ о п а р а л е л о гр а м п о б у
д ован о. BE — ви сота, BD і АС — д іа
г о н а л і. Т о д і у ^ ^
п р я м о к у т н о м у
ABED к а т ет
BE = Л, г і- ^
п о т е н у з а
BD^d^.
Із ABED і почнем о побудову п а р а лело г
рама.
П обуд ов а
1. П о б у д у є м о п е р п е н д и к у л я р н і п р я м і
х іу . Е — точ к а їх п ер ети н у.
2. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом E R = h.
В — т оч к а п ер ети н у к о л а з п р я м ою у.
3. П о б у д у єм о к о ло з центром В і Я = d j.
D — точк а п ер ети н у к о ла з п р я м ою х.
З ’єд н аєм о т о ч к и В і D.
4. В ід м іт и м о сер ед и н у B D — т о ч к у О.
5. Ч е р ез т о ч к у С і О п р овед ем о п р я м у ,
я к а п ер ети н ає п р я м у х в т о ч ц і А.
6. Н а п р о м ен і АО за т о ч к у О в ід к л а д е
м о о с ^ а с = ^ .
З ’єд н аєм о т о ч к и з т оч к а м и В і D. О тр и
м а єм о ш у к а н и й п а р а лело гр а м ABCD.
У ч о т и р и к у т н и к у ABCD д іа го н а л і т о ч
к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл . Т о д і,
ABCD — п а р а лело гр а м . У н ь о го висота
BE = h, д іа го н а л ь BD = d^, а д іа го н а ль
А С = і dj -І-і dj = <^2 за побудовою .
О т ж е, ABCD — ш у к а н и й п а р а л е л о г
рам .
8 1 . 1 )Д а н о : ° ---------- -
П о б у д у в а т и : п а р а л е л о г р а м ABCD, у
я к о м у AD = а, AB = Ь, BE = h.
П обуд ов а
1. П о б у д у є м о п р я м у m.
2 . П о б у -
‘ 9
д у є м о п р я - в
У -
му 1, 1 ± т. /
/ "
Е — т о ч к а / . /
п р я м и х . ^ ^ jo
3. П обу д у єм о к о л о з центром Е і R = h.
В — точка п ер ети н у к о ла з п р я м ою І.
4. П о б у д у є м о к о л о з ц ен тр ом В і R = b.
А — т оч к а п ер ети н у к о л а з п р я м ою m.
З ’ єд н аєм о т о ч к и А і В.
5. П о б у д у є м о к о л о з ц ен тр ом A i R = а.
D — т оч к а п ер ет и н у к о ла з п р я м ою т.
6. П о б у д у є м о п р я м у В Х ЦAD і п р я м у
DY ІІ AB. С — т о ч к а п ер ет и н у п р я м и х
ВХ і DY.

82. ABCD — д а н и й п а р а л е л о г р а м .
AC — д іа го н а ль .
B E I AC, m ± A D ,
n -L CD, ß
О с к іл ь к и
A D II В С і
m±AD, т
оm l ВС.
A K — висота
^ABC.
О с к іл ь к и CD II AB і n 1 CD, то n L A B .
CP — висота AABC. BE — т еж висота
AABC. В и соти т р и к у т н и к а п ер ет и н а
ю т ьс я в о д н ій т о ч ц і. Т о д і, точк а О —
п ер ети н п р я м и х т і п н а леж и т ь п р я м ій
BE, щ о й в и м а га л о ся довести .
84. ABCD — д ан и й п а р а лело гр а м .
Н а ст о р о н а х AB і ВС п о
б у д о в а н і р ів н о стор он н і
т р и к у т н и к и А В М і
ВСК.
Д оведем о, щ о
Ш К О
; рівносторон-
I ' в ій .
; у Д М Л Х ),
ЇІО Ю К ІА М В К : ^ ^
і М А = DC = M B і AD = CK = BK, о ск іль к и
t у п а р а лело гр а м а п р о т и л е ж н і стор он и
ь р ів н і і стор он и р ів н о ст о р о н н іх тр и к ут-
f в и к ів р ів н і, ZM AD = ZDCK = ZM BK.
[іТ о бто , AMAD = ADCK = АМВК за пер-
І 'т о ю о зн а к ою р ів н о ст і т р и к у т н и к ів ,
f О тж е, M D = KD = М К . А це озн ачає, щ о
Y^MKD — р ів н о стор он н ій .
[85. 1. Ч е р ез т о ч к у М п о б у д у є м о пря-
і м у X, X IIAN.
2. Ч е р е з т о ч к у N п о б у д у є м о п р я м у у, у
АМ.
І', і ) — т оч к а п ер ети н у п р я м и х х і у. Т о д і
щЛМОМ — п а р а л е л о гр а м за озн а ч ен -
I вям.
^M n — д іа го н а л ь AM D N.
■П о б у д у єм о д р у гу
і Д іа го н а л ь AD.
І О — точка пе
р ети н у діа- /
гон алей .
і З а в л а с
т и в і с т ю
Д іа гон а лей п а р а л е л о гр а м а т о ч к а О —
С ередина к о ж н о ї з н и х . Т о б т о , М О -
ON, щ о й в и м а га лося довести .
3. Ознаки паралелограма
В п р а в и
90. Z B A D і Z A B C —
в н у т р іш н і о д н о ст о
р о н н і к у т и п р и
п р я м и х ВС, AD
і с іч н ій AB.
О с к іл ь к и їх ^
сум а д ор івн ю є ISO-', то ВС Ц A D .
ZBAD і ZCDA — в н у т р іш н і о д н о ст о
р о н н і к у т и при п р я м и х AB, DC і с іч н ій
AD. О с к іл ь к и їх су м а д ор ів н ю є 180°, то
AB II DC.
ABCD — п а р а лело гр а м за озн ачен н я м .
91. У п а р а лело гр а м і ABCD: ВС |AD і
B C =A D . В___ с
У п а р а л е л о гр а м і
AD K M : М К II AD
iM K ^ A D . Л
Т о д і у ч от и р и к ут
н и к у ВМКС ВС II
М К за о зн а к о ю ^ ^
п а р а лель н о с ті п р я м и х і ВС = М К за д о
веденим .
О тж е, ВМКС — п а р а лело гр а м за о зн а
кою .
92. Н е х а й ABCD д а н и й ч о т и р и к у т
н и к . BD і АС — в С
д іа го н а л і.
О с к іл ь к и АО —
м ед іа н а AABD,
то О — сер ед и
на BD. ^
О с к іл ь к и в о —
м ед іа н а ААВС,
то О — сер е
ди н а АС.
У ч о т и р и -
к у т н и к у
ABCD д іа го н а л і АС і BD п ер ети н аю ть
ся і то ч к о ю п ер ет и н у д іл я т ь с я н а в п іл.
О тж е, ч о т и р и к у т н и к ABCD — п а р а ле
л о гр а м за озн ак ою .
93. У п а р а л е л о гр а м і ABCD д іа го н а л і
АС і BD п ер ети н аю ться і то ч к о ю п ер е
т и н у д іл я т ь с я н а в п іл. З відси ВО - OD,
АО = О С .
А О = А м + ВО; О С = г:с -ь ОК.
За ум ов ою A M = КС, тод і М О = ОК.

p
О
С
с:
m
0 4
ш
га
I
т
. д
с
о
3
к
о .
2
S
у ч о т и р и к у т н и к у M BKD д іа го н а л і BD
і М К п ер ети н аю ться і т оч к ою п ер ети н у
д іл я т ь с я н а в п іл. Т о б то , M BKD — п ара
л е л о гр а м за озн ак ою .
94. Т о ч к а О
центр к о ла і се
редина діам ет
рів A B і CD.
У ч о т и р и к у т
н и к у ACBD
АС і BD —
д іа го н а л і.
О с к іл ь к и вони п ер ет и н а ю т ь ся в т о ч ц і
0 і т о ч к о ю о д іл я т ь с я н а в п іл , то ч о
т и р и к у т н и к ABCD — п а р а лело гр а м за
озн ак ою .
95. О с к іл ь к и у п а р а л е л о гр а м і п р о ти
л е ж н і ст о р о н и ВС і AD п а р а л е л ь н і, а
точки £ і —
се р ед и н и ц и х
стор ін за у м о
вою, то у чоти-
р и к у т н и к у
AECFEC AF і
E C =A F.
Т о д і ч о т и р и к ут н и к A E C f — п а р а л е л о г
рам за озн ак ою .
96. ЛВ II DC і AB = DC я к п р о т и ле ж н і
с т о р о н и п а р а
л е л о гр а м а .
Т о д і M B II KD.
А В = А М + МВ;
DC = D K + КС.
О с к іл ь к и A M = ^ ^
КС за у м ов ою , т о MB = DK.
У ч о т и р и к у т н и к у MBKD-. MB
M B ^ D K .
О тж е, M BKD — п а р а лело гр а м за о зн а
кою .
97. ВС = AD і AB = DC я к п р о ти ле ж н і
стор он и п а р а лело гр а м а .
О с к іл ь к и за умо-
bok,B K =E C =FD ^
= AM , то КС =A F Mi
1M B = DE.
У АКСЕ і AFAM-.
КС = AF, CE =
= A M і Z C = Z A я к п р о т и л е ж н і к у т и
п а р а ле ло гр а м а . Т о д і АКСЕ = АРАМ за
двом а стор он ам и і к у т о м м іж н и м и .
DK і
О тж е, КЕ = M F я к в ід п ов ід н і сторони
р ів н и х т р и к у т н и к ів .
У АМВК і AEDF: MB = DE, BK = DF і
ZB = ZD я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а ле
ло гр а м а . Т о д і АМВК = AEDF за двома
ст о р о н а м и і к у т о м м іж н и м и . О тж е,
М К = FE я к в ід п ов ід н і стор он и рівн и х
т р и к у т н и к ів .
Т о д і, у ч о т и р и к у т н и к у M K E F: М К =
Р Е ІК Е = M F.
Т о б то , M K E F — п а р а лело гр а м за озн а
кою .
98. О с к іл ь к и ВМ —
медіана, то А Л / = M C . ^
В М = М К за у м о - ^
вою .
У ч о т и р и к у т н и к у
АВСК д іа го н а л і ВК і АС п ер ети н аю ться
в т о ч ц і М і то ч к о ю п ер ет и н у д іл я т ь с я
н а в п іл . О тж е, ч о т и р и к у т н и к АВСК —
п а р а лело гр а м за озн ак ою .
99. Н е х а й A B C D — д ан и й ч о т и р и к у т
н и к , у я к о м у AB В С
CDiZA = ZC.
ZBAD і ZCDA —
в н у т р іш н і
одн о стор он н і
к у т и п р и AB II
DC і с іч н ій A D . Т о м у ZBAD 4- ZCDA =
= 180°. ZCDA = 180° - ZBAD.
ZABC і ZBCD — в н у т р іш н і о д н о ст о
р о н н і к у т и п р и AB II CD і с іч н ій ВС.
Т о м у Z A B C -І- ZBCD = 1 8 0 °; Z A B C =
= 180° - ZBCD.
О с к іл ь к и ZBAD = ZBCD за ум ов ою , то
Z A B C = ZCDA.
Т о б то , у ч о т и р и к у т н и к у А В С І ) ZA = ZC
і ZB = ZD.
О тж е, ABCD — п а р а лело гр а м за
озн ак ою .
1 0 0 .Д А В М = ДС1)Л:
за д р у г о ю о з н а
к о ю р ів н о с т і
т р и к у т н и к і в А
(AB = CD як
п р о т и л е ж н і ст о р о н и п а р а л е л о гр а м а ,
ZB = Z D я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а ле
л о г р а м а ).
ZB A M = ZDCK я к п о л о в и н и р ів н и х
п р о т и л е ж н и х к у т ів п а р а лело гр а м а .
О тж е, BM = KD.

О скільки ВС II AD і ВС = AD за влас
тивістю протилеж них сторін парале
лограма, а В М = KD за доведеним, то
^ .fifC iA K iM C = A K .
,5Отже, у чотирикутнику АМСЛГ дві про-
?<гяяежні сторони M C і А К паралельні і
-рівні. Тобто, МСКА — паралелограм за
^ ознакою.
У ^СРВ і AAED: ВС = AD як про-
'^Ццувлежні сто-
|Щ|>они парале-
' * о г р а м а ,
І.гВСР = ZDAE
за умовою,
^ В С = ZEDA
внутрішні різносторонні при ВС 1AD
'і січній BD.
'обто, АСРВ = AAED за другою ознакою
вності трикутників. Отже, PC = АЕ,
ED.
kVäABP і ACDE: AB = DC як протилеж-
|ЯІ сторони паралелограма, ВР = ED за
їденим, ZABP = ZCDE як внутрішні
іносторонні при AB IICD і січній BD.
•о, ЛАВР = ACDE за першою озна-
рівності трикутників.
Ьтже, АР = СЕ. Оскільки у чотирикут-
Іику АРСЕ кожні дві протилежні сто
рони рівні, то чотирикутник АРСЕ —
шралелограм.
ІІ02. ЛЕ II CF, оскільки AB |
|CD як про-
Ьнлежні сторони паралелограма.
h i£ A F = ZAFD
Щк внутрішні
іізносторонні
Ври AB II CD
I січній AF.
^ZBEC = ZAFD A D
•a умовою. Звідси ZBAF = ZBEC. A це
Відповідні кути при прямих ЕС, AF і
іічнійАВ. Тоді EC ||АР.
‘Тобто, у чотирикутнику AECF АЕ Ц CF
і СЕ IIAF. Отже, чотирикутник AECF —
Паралелограм за ознакою.
103 М = K D як висоти рівних три-
«утннків ДАВС і ACDA.
(Прямокутні трикут- ^ ^
:викиДВМХ'іД£»ЛГМ /
:рівні за двома ка
стетами. Отже, /
рЛГ = M D.
[ 21 Супер ГДЗ, 8кл., кн. 1
Т о б т о , у ч о т и р и к у т н и к а BKDM : ВК =
= M D iB M = KD.
Т о б т о , ч о т и р и к у т н и к BKDM — парле-
л о г р а м за озн ак ою .
104. У ABFC і Д£)£Л: BC =AD як проти-
л е ж н і стор он и в_________________ с
п а р а л е л о г р а
м а , ZCBF =
= ZA D E я к
в н у т р і ш н і
р із н о с т о р о н н і
пр и В С IIA D і с іч н ій BD, ZBCF = ZDAF
як п оло в и н и р ів н и х п р о ти ле ж н и х к у т ів
п а р а лело гр а м а .
Т о б то , ABFC = ADEA за д р угою ознак ою
р ів н о ст і т р и к у т н и к ів . О тж е, АЕ = CF і
BF = ED.
BD = BF + FD; BD = DE + BE.
О с к іл ь к и BF = DE, т о FD = BE.
У ACBE і AADF: BC =AD я к п р о ти леж н і
с т о р о н и п а р а л е л о г р а м а , BE = FD
за д о в е д е н н и м , ZEBC = ZFDA я к
в н у т р іш н і р ізн о с то р о н н і при ВС IIAD і
с іч н ій BD.
Т о б то , АСВЕ = AADF за пер ш ою озн ак ою
р ів н о ст і т р и к у т н и к ів .
О тж е, EC = AF.
О тж е, у ч о т и р и к у т н и к у A E C F : АЕ = FC
iE C = A F .
Т о д і ч о т и р и к ут н и к AECF — п а р а л е л о г
рам за озн ак ою .
1 0 5 . МЛГЛГР — д а н и й п а р а л е л о гр а м ,
N P — й о го д іа г о н а л ь , О — середи н а
N P. П р я м а т п ер ети н ає стор он и A N і
Р К в т о ч к а х А і В в ід п овід н о.
N к
т
М Р
Доведемо, що ANBP — паралелограм.
У AAON і ЛВОР: NO = OP за умовою,
ZNOA = ZPOB як вертикальні, ZANO =
ZBPO як внутрішні різносторонні при
M N IIР К і січній NP.
Тобто, AAON = АВОР за другою ознакою
рівності трикутників.
Отже, A N = РВ.
У чотирикутнику ANBP: A N |
|ВР, ос
кільки M N I
IKP як протилежні сторони
паралелограма, A N = ВР за доведеним.

fO
I-
s
cc
Ш
ro
S
X
T
> .
Q.
. 5
c
о
S
c c
Q-
O
LU
esj
О тж е, ч о т и р и к у т н и к ANBP — п а р а ле
л о гр а м за озн ак ою .
1 0 6 . У АСОК і AFOM: СО = ОЕ за в л а с
ти в істю д іа го н а ле й п а р а лело гр а м а .
ZCOK = ZFO M
я к в ер ти к а л ьн і
ZOCK = ZO EM
я к в н у тр іш н і
р ізн осто-
рон н і к у т и
при DE II CF і с іч н ій СЕ. Т о б то , АСОК
= AFOM за д р у го ю о зн а к ою р ів н о ст і
т р и к у т н и к ів . О тж е, OK = ОМ.
А н а л о г іч н о доведем о, щ о ААОС = АВОЕ
за д р у го ю о зн а к о ю р ів н о ст і т р и к у т н и
к ів . О тж е, АО = OB.
Т о б т о , у ч о т и р и к у т н и к у А М В К д іа г о
н а л і п ер ети н аю ться і т о ч к о ю п ер ети н у
д іл я т ь с я н а в п іл, а це озн а ч а є, щ о ч о т и
р и к у тн и к АМ ВК — п а р а лело гр а м .
1 0 7 . У АМВК і AKDM: М К — с п іл ь н а
стор он а, M B = DK, о с к іл ь к и т о ч к и М і
К — сер ед и н и р ів н и х ст о р ін AB і CD,
ZB M K = ZD K M я к в н у тр іш н і р ізн осто-
р о н н і п р и ß
AB II C D і
січ н ій М К . -М/
Т о бто ,
АМВК =
= AKDM за
перш ою озн ак ою рівн ості тр и к утн и к ів .
О тж е, ZB K M = ZD M K .
ZB K M і ZD M K — в н у т р іш н і р ізн осто-
ро н н і к у т и , у тв о р ен і п р я м и м и ВК, M D
і січ н о ю М К . Т о д і ВК II M D.
У AAPN і ACNP: N P — с п іл ь н а с т о р о
на, АР = NC, о с к іл ь к и Р і N — се р е д и
ни р ів н і п р о т и л е ж н и м ст о р о н а м п а
р а л е л о гр а м а ABCD, ZA PN = ZC N P я к
вн утр іш н і р ізн о с то р о н н і п р и ВС IIA D і
с іч н ій PN. Т о бто , AAPN = ACNP за п ер
ш ою озн ак ою .
О тж е, ZA N P = ZCPN.
ZA N P і ZC PN — в н у т р іш н і р із н о с т о
р о н н і к у т и , у тв о р ен і п р я м и м и AN, PC
і січ н о ю PN; і о с к іл ь к и вон и р ів н і, то
ANPC.
О тж е, у ч о т и р и к у т н и к у A jß jC jD j, вер
ш и н а м и я к о г о є т о ч к и п е р е т и н у п р я
м и х AN, ВК, СР і DM , п р о т и л е ж н і ст о
рон и п а р гілель н і. О тж е, ч о т и р и к у т н и к
A jB jC jD , — п а р а лело гр а м .
4 . П р я м о к у т н и к
В п р а в и
112. Н е х а й ABCD —
д а н и й ч о т и р и к у т н и к ,
у я кого всі кути прямі.
Д ов ед ем о , щ о ч о т и р и
к у т н и к ABCD є п р я
м о к ут н и к о м .
О с к іл ь к и у ч о т и р и к у т н и к у Л В С Х ) к о ж
н і два п р о т и ле ж н і к у т и р ів н і, то цей чо
т и р и к у т н и к — п а р а лело гр а м . А о с к іл ь
ки у п а р а лело гр а м а всі к у т и п р я м і, то
п а р а лело гр а м ABCD — п р я м о к у тн и к .
11 3 . О с к іл ь к и д іа го н а л і п р я м ок утн и к а
р ів н і і т о ч к о ю п ер ет и н у д іл я т ь с я нав
п іл , то ВО = 0D =АО = ОС.
Т о д і у ААОВ АО = OB В________________ с
іу AAOD АО = OD.
О тж е, ААОВ і AAOD —
рів н о бед р ен і.
114. у п р я м ок у тн ом у
ABAD: ZABD + ZADB
= 90°.
ZADB = 90 ° - ZABD;
Z A D ß = 9 0 ° - 6 4 ° = 26°.
AAOD — р ів н о б е д -
р ен и й . Т о д і ZOAD =
= ZODA = 26°.
У AAOD: ZOAD + ZAOD + ZADO = 180°;
ZAOD = 180° - (Z O A D -b ZADO);
ZAOD = 180° - (2 6 ° Ч
- 2 6 °) = 180° - 52° =
= 128°.
ZAOD і ZCOD — с у м іж н і к у т и . Т о м у їх
сум а д ор ів н ю є 180°.
ZCOD = 180° - ZAOD; ZCOD = 180° -
- 128° = 52°.
Відповідь: ZCOD = 52°; ZAOD = 128°.
115. у п р я м о к у т н о м у ABAD к а тет ВА
л е ж и т ь п роти к у т а в 30°.
Т о д і BA = ^BD;
ВА = Щ = Ь (с м ).
Д іа г о н а л і п р я м о к у т
н и к а р ів н і і т о ч к о ю
п ер ет и н у д іл я т ь с я н а в п іл
1 0 : 2 = 5 (с м ).
Р ^ о в = ^ + во + А О ; = 5 + 5 +
5 = 15 (с м ).
Відповідь; 15 см .

И І 6 . О с к іл ь к и д іа го н а л і п р я м ок у тн и к а
[р ів н і і т о ч к о ю п ер ет и н у д іл я т ь с я нав-
I в іл , т о ВО =АО. ААОВ — рівнобедр ений
Fз осн овою AB. ß Q
[у р ів н о б е д р е н о м у
[Д А О В к у т п р и в ер
ш и н і д о р ів н ю є 6 0 °.
^ Т о д і tsAOB р івн осто-
Ер о н в ій .
ГОтже, A B = ВО =АО = 8 ом.
= 2ВО; ß £ ) = 2 8 = 16 (с м ).
Відповідь 16 см .
1117. у ^BKC і ^DMA■. ВС =DA я к про-
f іи л е ж н і стор он и п р я м о к у т н и к а , КС =
уМА за ум ов ою , ZBCK = ZD A M я к внут-
І р іш н і р із н о с т о р о н н і
|ври ВС II AD і с іч н ій
АС. Т о б т о , АВКС =
ADMA за п ер ш ою
зн ак ою . О тж е, ВК =
■-MD.
|У 6АМВ і ACDK: AB = CD я к п р о ти леж -
Й стор он и п р я м о к у тн и к а : A M = СК за
<овою , ZB AM = ZDCK я к в н у тр іш н і
ц н осторон н і при AB | CD і с іч н ій АС.
Тобто ААВМ = ACDK за п ер ш ою озна-
ою . О тж е, В М = KD.
т ж е, у ч о т и р и к у т н и к а BKDM : ВК -
:M D iB M = KD.
Годі ч о т и р и к у т н и к BK D M — п а р а ле-
|Л ограм за озн ак ою .
118. У АЕВС і AFDA: ЕВ = FD за у м о
в о ю , ВС = DA я к п р о т и л е ж н і стор он и
| п р я м о к у т - ^
яка, ZEBC
ї в ZFDA, ос-
ІК іл ь к и вони
і е с у м іж н и -
І.МИ з р івн и -
|м и к у т а м и
IcB D iA D B .
[Т о б т о , АЕВС = AFDA. О тж е, ЕС =AF.
I А н а л о гіч н о доводим о, щ о ААВЕ = ACDF
f за п ер ш ою озн ак ою . О тж е, AF = CF.
Тобто, у ч о т и р и к у т н и к у AECF: АЕ =
IC J ’ і EC = AF. О т ж е, ч о т и р и к у т н и к
І AECJ? — п а р а лело гр а м .
И19. ААВМ = ADCM за двом а катетам и
(BM = C M iA B = DC).
( О тж е, A M = M D.
AAMD — п р я м о к у т н и й і р ів н о б ед р е
н ий.
Т о д і ZM AD = ZM D A = 90° : 2 = 45°.
ZBAD = ZB A M + ZM A D ; ZB A M =
= ZBAD - ZM AD. В М С
ZBAM = 90°-45°= D " .......
= 45 °, тод і у Д А В М
Z B M A = 4 5 °.
О т ж е , ААВМ —
рів н о бед р ен и й і у
н ь о м у Л В = ВМ . ВС = 2ВМ.
Н е х а й AB = X CM, т о д і ВС = 2х см .
П ерим етр прям окутника дорівню є 2(х -Ь
-I- 2х) см або, за ум ов ою за д а ч і, 36 см .
М а єм о р ів н я н н я : 2(х + 2х) = 3 6 ; Зх =
= 18: л:= 6.
О тж е, AB = CD = 6 (cm ): в с =AD = 6 ■2 =
= 12 (с м ).
Відповідь: AB = CD = 6 см ; ВС = A D =
= 12 см .
1 2 0 . Н ех а й ABCD — д а н и й п р я м о к у т
н и к . A M — біс ек т р и с а ZBAD. М є ВС.
M C - В М = З см . ß М с
P a b c d = ЗО CM.
О с к іл ь к и ZBAD =
90 ° і A M — б іс е к
тр и са ц ь о го кута,
T o Z B A M = 9 0 ° :2 =
= 4 5 °, т о д і у п р я м о к у т н о м у
ZB M A т еж д ор ів н ю є 45°.
ААВМ — р ів н о бед р ен и й з осн овою A M .
Т о б т о , A B = ВМ.
Н е х а й A B = X CM, т о д і M C = (jc -(• 3 ) см ,
а ВС = (х + X + 3) см . П ер и м ет р п р я м о
к у т н и к а д ор ів н ю є 2{х + 2х + Ъ) CM, або,
за у м ов ою зад а ч і, ЗО см .
М а є м о р ів н я н н я : 2(х + 2х + 3) = ЗО;
З л:4 -З = 15; Зх = 12;х = і.
О т ж е, AB = CD = 4 (cm), В С = A D = 4 -і-
+ 4 + 3 = 11 (cm).
Відповідь: AB = CD = 4 см ; ВС = A D =
= 11 см .
121 . О с к іл ь к и AMN P — п р я м о к у тн и й
і р ів н о б ед р ен и й , т о Z N M P = Z N P M =
= 90° : 2 = 45°.
У Д В М А : ZM B A
= 9 0 ° - 4 5 ° = 4 5 °.
Т обто, АВМА — р ів
н о б е д р е н и й (М А =
= ВА).
У ACDP: ZDCP =
= 90 ° - 45° = 45°.
М

fO
cc
s
01
<
fO
iC
s
I
T
a
g
‘c
о
3
a .
In
9
Т о б т о , ACDP — р ів н о б ед р ен и й (CD =
= DP).
M P = M A + AD + DP або M P = AB +
+ BC + DP.
Н е х а й A B = Zx CM, тод і ВС = 5x см .
M P = (3 x + 5x + 3x) CM, або, за ум овою
за д а ч і, 55 см .
М а є м о р ів н я н н я : Зх + 5х + Зх = 55;
l l j c = 55; X = 5.
О тж е, AB = 5 - 3 = 15 (cm ), ВС = 5 • 5 =
= 25 (с м ).
Відповідь: AB = C D = 15 см ; ВС = AD =
= 25 см .
1 2 2 . О с к і л ь к и
AABC — п р я м о
к у т н и й і р ів н о
бедрен и й , то Z A =
= ^ = 90“ : 2 = 45°.
У ААМК: ZA M K =
= 9 0 °, о с к іл ь к и
К М 1 АС; ZM A K = 45 °; т о д і ZM K A =
- 4 5 °. Т о б то , ААМК — р ів н о бед р ен и й ,
A M = М К .
У AKNB: ZK N B = 90°, ZN B K = 45 °, тоді
Z.NKB = 45 °. Т о бто , AKNB — р ів н о б ед
рен и й , М К = NB.
У п р я м о к у т н и к у M KNC: MC = K N і
М К = CN.
О т ж е , М С = І Л С = 6 :2 = 3 (с м )
C N = i C ß = 6 : 2 = 3 (с м ).
^ ™ = 2 (M C + C J V );i> ^ ^ ^ ^ = 2 (3 +
-і-3)=12(см).
Відповідь: 12 см . в
123. У Д А В О ZOAB =
= ZABO.TorAABO —
р ів н о б ед р ен и й , в о =
= А О . >1
О ск ільк и у паралелограм а д іа го н а лі т о ч
кою п ер ети н у д іл я т ь с я н а в п іл, то OD =
= ВО = О С = А О . Т о д і BD =АС. А це озн а
чає, щ о п а р а лело гр а м ABCD — п р я м о
к утн и к.
124. Н е х а й С М —
м ед іан а п р я м о к у т н о го
ААСВ, п роведена д о г і
п отен узи A B .
с м = а в .
Н а п р о д о в ж е н і в ід р ізк а СМ за т о ч
к у М в ід к л а д е м о в ід р ізо к M D = САІ.
З ’ єд н аєм о т о ч к у D з то ч к а м и А і В. О т
ри м а єм о п р я м ок у тн и к A D B C . О ск ільк и
у п р я м о к у т н и к а д іа г о н а л і р ів н і і т оч
к о ю п ер ети н у д іл я т ь с я н а в п іл, то СМ =
=^M D =AM = MB.
О тж е, СМ = )-АВ.
125. 1) Д а н о: ---------------------- -
П о б у д у єм о : п р я м ок у тн и к A ß C ß , у я к о
м у A D = а, AB = Ь.
П обуд ов а
м о Z Y A X =
= 90°.
м о к о л о з
ц е н т р о м А і
R = а. D —
т о ч к а п ер е
т и н у к о л а з і стор он ою А Х .
3. П о б у д у єм о к о л о з ц ен тр ом А і Н = Ь.
В — точ к а п ер ети н у її зі стор он ою AY.
4. П о б у д у є м о ВК II А Х і DE |
| AY.
С — т о ч к а п ер ети н у п р я м и х ВК і DE.
З ’ єд н а є м о т о ч к у С з т о ч к а м и В і D.
ABCD — ш ук а н и й п р я м о к у тн и к .
Ч о т и р и к у т н и к A B C D — п а р а лело гр а м ,
о с к іл ь к и AB II CD і ВС |
|A D за п о б у д о
вою .
У п а р а лело гр а м а A B C D Z A = 90°. Тобто,
п а р а л е л о гр а м ABCD — п р я м о к у т н и к .
У н ь о м у A D = а, A B = ft за п обудовою .
О т ж е, ABCD — ш у к а н и й п р я м о к у т
ни к .
2 ) Д а н о: d
П о б у д у в а т и : п р я м о к у т н и к , у я к о м у
Z A D S = a,B D = d.
П обудова
1. П о б у д у є-
м о AX D Y.
ZX D Y = а .
м о к о л о з
ц е н т р о м D
iR = d .B —
точ к а п ер ет и н у к о ла зі стор он ою DX.
3. П о б у д у єм о ВА 1 DY.
Е
С К
у

и . П о б у д у є м о BK II DA і DE |
|AB. С —
р *оч к а п ер ет и н у BK і DE.
BCD — ш у к а н и й п р я м о к у т н и к .
— п а р а лело гр а м ,
AB і BCAD за
Чотирикутник ABCD
[,0Скільки у нього CD
побудовою.
У п а р а л е л о г р а м і — ABCD ZBAD =
= 90 ° за п обуд о в ою . Т о б т о , п а р а л е л о г
рам A B C D — п р я м о к у тн и к .
У п р я м о к у тн и к а ABCD д іа го н а л ь BD =
= d і к у т м іж д іа г о н а л ю і ст о р о н о ю
'./.BDA = a.
Т о д і п р я м о к у т н и к A B C D — ш ук а н и й .
126. 1) Д а н о: . ° .................. ..................
Ш о б у д у в а т и : п р я м о к у т н и к ABCD, у
Д еком у A D = а, BD - d.
П обудова
ї ї . П о б у д у є м о = 90°.
і2 . П о б у д у єм о
ік о л о з ц е н т
ом Л і Ü = а.
І J5 — т оч к а пе-
ти н у й ого зі
ор он ою А Х .
I s . П о б у д у єм о
[к о л о з ц е н т
ром D і R = d. в — т о ч к а п ер ети н у й ого
ЗІ стор он ою AY.
4. П о б у д у єм о ВК II AD і DE |
|AB. С —
'точка п ер ети н у п р я м и х ВК і DE.
б. З ’ єд н а є м о т о ч к у С з т о ч к а м и В і
J5. О тр и м а єм о ш у к а н и й п р я м о к у т н и к
'ABCD.
V ч о т и р и к у т н и к у ABCD: ВС Ц A D і
AB II CD, /.BAD = 90 ° за п обуд о в ою .
Т о б т о , ABCD — п р я м о к у т н и к . У н ь о
м у стор он а AD = а, д іа го н а л ь BD = d за
п обуд о в ою . О т ж е, ABCD — ш у к а н и й
п р я м о к у тн и к .
2 ) Д ан о:
П о б у д у в а ти : п р я
м о к у т н и к ABCD,
У я к о м у BD = АС
= d, ZDOC = а .
П обуд ов а
1. П о б у д у є м о ADOC за двом а стор он а
м и і к у т о м м іж н и м и : OD = ОС =
А, В — т оч к и п ер ети н у к о ла з п р о м ен я
м и О С і OD в ід п ов ід н о.
3. З ’ єд н аєм о п о с лід о в н о т о ч к и D, А, В,
С. О тр и м а єм о ш у к а н и й п р я м о к у т н и к
ABCD.
у ч о т и р и к у т н и к у ABCD д іа г о н а л і BD
і АС п ер ети н аю ться і т оч к ою п ер ети н у
д іл я т ь с я н а в п іл і BD -А С , Т о бто , ч о т и
р и к у т н и к ASCD — п р я м о к у тн и к .
У н ь о м у BD = AC = ^ + ^ = d, Z.COD = а
за п обудовою .
О т ж е, ABCD — ш у к а н и й п р я м о к у т
н и к .
127. (іАОМ = АСОМ за двом а сторонам и
Т о б т о , A M = MC.
ААМС — р ів н о -
бед р ен и й .
О ск ільк и В М : MC
= 1 : 2 за умовою ,
т о В М : Л М = 1 :2 .
У п р я м о к у т н о м у
ААВМ В М — к а тет, я к и й у 2 рази м ен
ш и й гіп о т ен у зи .
О тж е, /ВАМ = 30°.
ZB M A = 90° - 30° = 60°.
/.ВМА — зов н іш н ій к у т ААМС. ZBM A =
= ZM AC + ZMCA.
ZM AC = ZM CA я к к у т и при осн ові рів-
н обед р ен ого ААМС.
Т о д і ZAM C = ZM CA = 60 ° : 2 = 30°.
ZBAC = ZBAM + ZMAC;
ZBAC = 30° -І- 30 ° = 60°.
ZBAD = ZBAC -Ь ZCAD.
З від си ZCAD = ZBAD - ZBAC, ZCAD =
= 90 ° - 60° = 30°.
О тж е, д іа го н а л ь А С д іл и т ь к у т А на два
к у т и 30° і 30°.
Відповідь-. 30 °, 30°.

ОС
с;
m
а
<
L
»
5
го
IC
s
I
т
. S
'с
о
3
к
а.
f c
§
128. Н е х а й ZBCA = X, т о д і ZDCA = Ьх.
С ум а к у т ів (х + 5х), або 90°.
М а єм о р ів н я н н я : х + 5 х = 90; &х = 90;
ж = 15.
О тж е, ZBCA = 15°, т о д і ZDCA = 15° 5 =
= 75°. в С
ACOD — р івн о-
б ед р ен и й , ОС =
= OD, о с к іл ь к и
д іа г о н а л і BD і
А С р ів н і і О —
їх середи н а.
О тж е. ZOCD = ZODC = 75°.
У ДСОХ): ZOCiJ + гСОО + ZCOD = 180°.
З від си ZCOD = 180° - (ZCDO + ZOCD),
ZCOD = 180° - (7 5 ° + 7 5 °) = 30°.
О С = | л С , 0 С = | 18 = 9 (с м ).
У п р я м о к у т н о м у АСЕО СЕ — к а т ет ,
я к и й л е ж и т ь п роти к ута в 30°.
Т о д і С£: = І 0 С , С £ = - - 9 = 4,5 (с м ).
^ 2
О тж е, відстан ь від т о ч к и С до д іа го н а л і
BD д ор ів н ю є 4 ,5 см .
Відповідь: 4 ,5 см .
129. О с к іл ь к и AN. B K .C K iD N —
б ісек т р и си ^
к у т ів Л , в, с
і D в ід п о в ід
но, то
/.BAN = " А D
= ZNAD = г В С К = ZDCK = а,
Z A B Ä - = ZKBC = ZCDN = ZADN = ß.
ZBAD і ZABC в н у т р іш н і о д н о с т о р о н
н і к у т и при ВС І AD і с іч н ій AB. Т о м у
ZBAD + ZABC = 180°.
М а єм о : 2 а -І- 2ß = 180°, а + ß = 9 0 °. Т о д і
у ААМВ ZBM A = 90°.
Z.NMK = ZAM B я к в ер ти к а льн і, Z N M K
= 90°.
А н а л о г іч н о у ACPD: ZCPD = 9 0 °, т о д і
Z N P K = 90°.
У AANP: ZNAD + ZAND + ZNDA = 180°.
ZAND = 180° - (ZNAD + ZNDA),
ZAND = 180° - (а + ß) = 180° - 90° = 90°.
У АВКС: ZBKC + ZKBC + ZKCB =
= 180°,
ZBKC = 180° - (ZKBC + ZKCB) = 180°
- (а + ß) = 180° - 90° = 90°.
О тж е, у ч о т и р и к ут н и к у M N K P всі к ути
п р я м і. Т о б то , ч о т и р и к у т н и к M N P K —
п р я м о к у тн и к .
137.АВ = CD і ВС = A D я к п р о ти леж н і
стор он и п а р а лело гр а м а .
О с к іл ь к и за у м ов ою АВ = AD, то АВ =
= BC = CD = AD.
Т о б т о , п а р а л е
л о гр а м ABCD —
ром б.
138.О с к іл ь к и у
ч о т и р и к у т н и к у
всі стор он и р ів н і, то в н ь о м у к о ж н і дві
п р о т и л е ж н і стор он и р ів н і. Т о д і цей ч о
т и р и к у т н и к — п а р а лело гр а м .
А о с к іл ь к и у п а р а лело гр а м а всі стор о
ни р ів н і за у м ов ою , то п а р а лело гр а м —
ром б.
139. Н е х а й ABCD — д а н и й ром б. АС —
й о го д іа го н а л ь .
ZCAD = 42 °.
З н а й д ем о к у т и ром ба.
О с к іл ь к и д іа го н а л ь А С
є б іс е к т р и с о ю ZBAD,
т о ZBAD = 2ZCAD.
ZBAD = 42° 2 = 84°.
ZABC і ZBAD — в н у т
р іш н і о д н о стор он н і к у т и п р и AD
с іч н ій АВ.
Т о м у ZABC + ZBAD = 18 0°; ZABC =
= 180° - ZBAD;
ZABC = 180° - 84° = 96°.
У р о м ба п р о т и л е ж н і к у т и р ів н і, тоді
ZADC = ZABC = 96°;
ZBAD = ZBCD = 84°.
Відповідь: ZA = ZC = 84°; ZB = ZD = 96°.
1 4 0 . ZBAD = ZBCD я к п р о ти ле ж н і кути
р о м ба . Т о м у ZBAD = В
= 140°.
О с к іл ь к и д іа г о н а л і
р о м б а є б іс е к т р и с а
м и к у т ів і п е р е т и н а
ю т ь с я п ід п р я м и м
к у т о м , т о у ААОВ:
1 1 ^
ZBAO = і ZBAD = і 140° = 70°;
ZAOB = 90 °;
ZABO = 90° - ZBAO = 90° - 70° = 20°.
Відповідь: 70°; 20°; 90°.
1 4 1 .А В С Х ) — д а н и й р ом б, АС — й ого
д іа го н а л ь , АС = АВ.
З н а й д ем о к у т и ром ба.
5. Ромб
N

1 4 0 ^

н
у Д А Б С : A B = ВС = АС. У н ьом у Z ß A C =
= ZABC = ZBCA = 6 0 °. Д іа г о н а л ь AC є
біс ек т р и с о ю ZBAD. Т о д і
Z B A D = 2 Z ß A C = 60° 2 =
= 120°.
У ром ба п роти леж н і кути
р ів н і. З в ід с и ZADC =
, = ZABC = 6 0 °: ZBCD =
' = Z ß A D = 120°.
І Відповідь-. Z 5 = Z D =
; = 6 0 ° ; Z A = Z C = 120°.
І 14 2 .Р^ єі, = 2 4см .
* у ром ба всі стор он и р ів н і. Т о д і AB =
І = 24 : 4 = 6 (с м ).
[ у п р я м о к у т н о -
f м у АВНА к а тет
ВН у 2 р а зи
. м ен ш е гіп о т е н у
зи . Т о д і ZBAH =
= 30 °. ZCBA = ZBAD — в н у тр іш н і од н о
ст ор он н і к у т и при ВС IIA D і с іч н ій AB
і їх су м а д ор ів н ю є 180°. З від си ZABC =
- 180° - ZBAD-, ZABC = 180° - 30° = 150°.
^ У р о м ба п р о т и л е ж н і к у т и р ів н і. О тж е,
ZC = Z A = 30°, ZD = ZB = 150°.
Відповідь: ZA = ZC = 30°, ZB = ZD = 150°.
143. AADB — рів н о бед р ен и й , о с к іл ь к и
AD = AB я к ст о р о н и
^ ром ба.
У р ів н о б е д р е н о м у
^ t^ADB к у т п ри вер ш и н і
І д ор ів н ю є 60 °. Т о д і ц ей
^ т р и к у т н и к р ів н о с т о -
; р о н н ій . AB = DB =
= AD = 9 c M .
У ром ба всі стор он и р ів н і.
Т о м у = 4А В ; = 9 ■4 = 36 (см ).
144. Н ех а й A B C Z ) — д а н и й р ом б. ZADC
б іл ь ш е ZCAD у 8 р а зів.
З н а й д ем о ZBAD.
ZDAB = 2ZDAC, о с
к іл ь к и д іа г о н а л ь АС
е б іс е к т р и с о ю ZDAB.
ZDAB + ZADC = 180°
я к в н у т р іш н і од н о сто
р о н н і п р и AB II DC і
с іч н ій AD.
Н е х а й ZDAC = х, т о д і
ZADC = 8х. С ум а ц и х
к у т ів (х + 8х), або 180°.
М а єм о р ів н я н н я : х + 8х = 180; 9х = 180;
д: = 20.
О тж е, ZDAC = 20°, ZDAB = 20° • 2 = 40°.
145. ААОВ — п р я м о
к у т н и й (ZAOB = 9 0 °),
о с к іл ь к и д іа г о н а л і
ром ба п ер ет и н а ю т ь ся
п ід п р я м и м к утом .
Сума гострих кутів пря
м ок утн ого три кутн и ка
дорівню є 90°.
Н ех а й ZABO = 2х, тод і ZBAO = 7х. С ум а
к у т ів д ор ів н ю є ( 2 ї + їх ), або 90°.
М а єм о р ів н я н н я : 2 х + 1 х = 90; 9д: = 90;
х = 10.
О т ж е, ZABO = 10 ■ 2 = 2 0 °; ZBAO =
= 1 0 - 7 = 70°.
О с к іл ь к и д іа го н а л і ром ба є і б іс е к т р и
сам и й о го к у т ів , то
ZABC = 2 Z A B 0 = 2 • 20° = 40°,
ZBAD = 2ZBA0 = 2 • 70° = 140°.
У ром ба п р о т и л е ж н і к у т и р ів н і.
Т о м у ZADC = ZABG = 4 0 °, ZBCD =
= г В А О = 1 4 0 ° .
Відповідь: ZD = ZB = 40°-, ZC = ZA=UO °.
146. У AMAD і AKCD:
M A = КС я к п оло в и н и
р ів н и х ст о р ін р о м ба,
AD = DC я к ст о р о н и
ром ба, ZM AD = ZKCD
я к п р о т и л е ж н і к у т и
р о м б а . Т о б т о , AMAD
= AKCD за п ер ш ою о з
н а к ою .
О тж е, M D = КС, щ о й
в и м а га л о ся довести.
147. У ААЕС і AAFC:
АС — с п іл ь н а с т о р о
н а, ЕС = FC я к п о л о
в и н и р ів н и х с т о р ін
ром ба, ZECA = ZFCA,
о с к іл ь к и д іа г о н а л ь Л С
є б іс ек т р и с о ю ZBCD.
З в ід с и , ААЕС = AAFC
(за двома сторонами
і кутом між ними). О т ж е, ZAEC =
ZFAC, щ ой в и м а га л о ся довести.
148. Н ех а й ABCD — д ан и й ром б, A M і
A N — й ого ви соти.

8_gdz_geom_m.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 8_gdz_geom_m.pdf

Similar to 8_gdz_geom_m.pdf (20)

More from Mihailichenk Lud

More from Mihailichenk Lud (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

8_gdz_geom_m.pdf