o

1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА НА СКЛАДОВІ
Вектором називається напрямлений відрізок.
Позначення:
а , АВ або а , АВ (А – початок вектора АВ , В – кінець вектора АВ )
Абсолютною величиною вектора називається довжина відрізка, яким зображується даний вектор.
а – абсолютна величина вектора а
Побудовано вектори АС , ВС , МК .
АС і МК – однаково напрямлені
МК і ВС , АС і ВС – протилежно напрямлені
Нульовий вектор – це вектор, в якого початок збігається з кінцем.
Одиничний вектор – це вектор, абсолютна величина якого дорівнює 1.
Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною.
Колінеарними називаються вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Властивість колінеарних векторів: ba ⋅= λ
Додавання векторів
Правило "трикутника"
cba =+
Правило "паралелограма"
cba =+
Правило "паралелепіпеда"
cbad ++=

2. Віднімання векторів
cba =−
Орт – це одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом координатної осі.
Позначення ортів: 1e , 2е , 3e або i , j , k
1e – орт осі ОХ
Розкладання вектора на складові у площині
yx aaa +=
де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY.
1e і xa – колінеарні
2е і ya – колінеарні, 2е – орт осі OY
Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ . Отже, 21 eea µλ +=
Розкладання вектора на складові у просторі
zyx aaaa ++=
де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY, za – проекція вектора a
на вісь OZ.
Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ , 3eaz ⋅=ν , 3e – орт осі OZ.
Отже, 321 eeea νµλ ++=
ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ В ПРОСТОРІ. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ, ЩО ЗАДАНІ
КООРДИНАТАМИ
Просторову систему координат утворюють три взаємно перпендикулярні числові прямі x, y, z, які
перетинаються в т.О. Точка О – початок координат.
Ці прямі утворюють відповідні координатні площини (xy), (yz), (xz).
Координати точки простору: А(x; y; z)
x – абсциса, y – ордината, z – апліката.
Виберемо у просторовій системі координат т.А. Площина, що проходить через т.А і паралельна
площині (yz), перетинає вісь ОХ в т.Ах; аналогічно вісь OY – в т.Аy, вісь OZ – в т.Аz.
Координатою х називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАх.
Якщо т.Ах збігається з т.О, то х = 0.
Координатою y називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАy.
Якщо т.Аy збігається з т.О, то y = 0.
Координатою z називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАz.
Якщо т.Аz збігається з т.О, то z = 0.

3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Координатами вектора у просторі з початком в точці А1(x1; y1; z1) і кінцем у точці A2(x2; y2; z2)
називаються числа х2 – х1, y2 – y1, z2 – z1.
21AA (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1)
Властивості:
• рівні вектори мають рівні координати;
• вектори з рівними координатами рівні.
Координати ортів: 1e (1; 0; 0), 2е (0; 1; 0), 3e (0; 0; 1)
Дії над векторами
• Сумою векторів а (а1; а2; а3) і b (b1; b2; b3) називається вектор c ( а1 +b1; а2 +b2; а3 +b3).
• Добутком вектора а (а1; а2; а3) на число λ називається вектор аλ (λа1; λа2; λа3)
Напрям вектора аλ збігається з напрямом вектора а , якщо λ > 0, і буде протилежним, якщо λ < 0.
СКАЛЯРНИЙ, МІШАНИЙ ТА ВЕКТОРНИЙ ДОБУТКИ ВЕКТОРІВ
Скалярний добуток
Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb .
Скалярним добутком векторів a та b називається число, що дорівнює сумі добутків їх однойменних
координат. ab = а1b1 + а2b2 + а3b3
Скалярний добуток векторів a та b позначається символом ba ⋅ , або ( )ba, .
Отже,
a · b = ( )ba, = ax bx + ay by + az bz . (1)
Нехай φ — кут між векторами a і b , тоді скалярним добутком векторів a та b є число, що
дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута φ між ними, тобто
( ) ϕcos, bababa ==⋅ . (2)
З (3), враховуючи (2), випливає, що
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
++⋅++
++
=ϕ (3)
Якщо вектори a і b взаємно перпендикулярні, то φ =
2
π
, тоді cos φ = 0, звідки випливає умова
перпендикулярності : ax bx + ay by + az bz = 0.
Векторний добуток
Три вектори називаються впорядкованою трійкою векторів, якщо вказано, який з них перший,
який другий і який третій.
Розглянемо прямокутну систему координат. Одиничні вектори kji ,, , які співпадають з
додатними напрямами відповідно осей абсцис, ординат і аплікат, називаються ортами. Першим
вектором вважається вектор i , другим — j , а третім — вектор k .
Прямокутна система координат називається правою (рис. 1), якщо з кінця третього вектора k
поворот від першого вектора i до другого вектора j відбувається проти руху годинникової стрілки.

4. Рис. 1
Три некомпланарні вектори a , b і c називаються правою трійкою, якщо вектори a , b і c
орієнтовані так само, як і вектори kji ,, .
Векторним добутком вектора a на вектор b називається такий вектор c , який:
1) перпендикулярний до векторів a і b ;
2) з векторами a , b утворює праву трійку;
3) має довжину, яка визначається за формулою ϕsinbac = (φ — кут між векторами a і b )
(рис. 2).
Векторний добуток векторів a і b позначається символом ba × , або [ ]ba, .
Рис. 2
З означення векторного добутку випливає, що довжина вектора ba × чисельно дорівнює площі
паралелограма, побудованого на векторах a і b як на сторонах, тобто
[ ] OABCSba =, (4)
Основні властивості векторного добутку:
• при переставлянні співмножників векторний добуток змінює свій знак, тобто
( )abba ×−=×
(векторний добуток не має комутативної властивості);
• має сполучну властивість щодо числового множника, тобто
( ) ( ) ( )bababa λλλ ×=×=× ;
• має дистрибутивну властивість векторного множника відносно суми векторів, тобто
( ) cbcacba ×+×=×+ ;
• векторний добуток ba × дорівнює нулю, якщо вектори a і b колінеарні або принаймні
один з них є нульовим.
На підставі означення векторного добутку наведемо таблицю векторних добутків ортів kji ,, :
Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb , тоді, враховуючи векторний добуток ортів
kji ,, , векторний добуток даних векторів a і b можна подати у вигляді визначника

5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики
(5)
або у вигляді розкладу:
(6)
Мішаний добуток
Мішаним добутком упорядкованої трійки векторів a , b і c називається число, яке одержують
внаслідок скалярного добутку векторів ba × та c .
Мішаний добуток позначається символом ( ba × ) c , або ( ba × , c ).
Якщо задані три некомпланарні вектори a (ax; ay; az), b (bx;bv;bz) і c (cx;cy;cz), то мішаний
добуток можна подати визначником
(7)
Абсолютне значення мішаного добутку трьох не компланарних векторів дорівнює об’єму
паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах (рис. 3).
Рис. 3
А об’єм піраміди, побудованої на векторах a , b і c , знаходиться за формулою
(8)
Вектори a , b і c будуть компланарними тоді і тільки тоді, коли
(9)
Приклад. Знайти об’єм піраміди з вершинами:
A(5; 1; - 4), B(1; 2; -1), С(3; 3; - 4) і D(2;2;2) .
Р о з в ’ я з а н н я
Розглянемо три вектори a = АВ , b = АС і c = AD . За відповідними формулами знаходимо

6. ах = -4; ау=1; аz= 3;
bх=-2; by =2; bz= 0;
сх = -3; сy =1; сz = 6.
Об’єм шуканої піраміди шукаємо за формулою:
ДОВЖИНА ВЕКТОРА, КУТ МІЖ ВЕКТОРАМИ, ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ
Довжина вектора а (а1; а2; а3) обчислюється за формулою: 2
3
2
2
2
1 aaaa ++=
Кутом між ненульовими векторами АВ і АС називається кут ∠ ВАС.
Кутом між будь-якими ненульовими векторами а і b називається кут між
векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.
Кут між двома векторами можна обчислити через скалярний добуток цих векторів:
ba
ab
⋅
=ϕcos
Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.
Різнойменні орти – взаємно перпендикулярні.
Скалярний добуток різнойменних ортів дорівнює нулю.
Відстань між точками A1(x1; y1; z1) і A2(x2; y2; z2) (довжина відрізка А1А2) визначається за формулою:
( ) ( ) ( )2
12
2
12
2
1221 zzyyxxAA −+−+−=
Нехай точка О – середина відрізка А1А2. A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) і О(x; y; z)
Координати точки О визначаються за формулами:
2
21 xx
x
+
=
2
21 yy
y
+
=
2
21 zz
z
+
=
Розкладання вектора на складові (продовження)
Оскільки орти відмінні від нуля і не колінеарні, то будь-який вектор а (а1; а2; а3) можна записати у
вигляді: 321 eeea νµλ ++= (*)
Визначимо λ, µ, ν.
Помножимо рівняння (*) на 1е . Врахувавши, що скалярний добуток однойменних ортів дорівнює 1,
одержимо: ( ) ( ) 11321 0;0;1;; aeaaaa =⋅ , λλ =⋅ 11 ee , 012 =⋅eeµ , 013 =⋅eeν .
Отже, 1aλ = .
Аналогічно, якщо рівняння (*) помножити на 2е , то одержимо: µ = а2.
І якщо рівняння (*) помножити на 3е , то одержимо: ν = а3.
В результаті одержимо розклад вектора на складові:
332211 еаеаеаа ⋅+⋅+⋅= або kаjаiаа ⋅+⋅+⋅= 321