Матеріал призначений для організації початкового етапу навчання розв'язку текстових задач (на подальших етапах школярам необхідно пропонувати задачі, не розбиті на питання) і може бути використаний для організації самостійної роботи всього класу, а також для індивідуалізації роботи із слабкими учнями в класі і вдома.

1. Навчання учнів
розв’язуванню текстових
задач

2. Текстові задачі — традиційно важкий матеріал для значної частини
школярів. Багато в чому це пов'язано з необхідністю чіткого усвідомлення
різних співвідношень між описуваними в тексті задачі об'єктами.
Пропонується спроба поетапного навчання розв'язуванню текстових
задач. Розглянуті їх основні сюжетні варіанти.
Матеріал призначений для організації початкового етапу навчання
розв'язку текстових задач (на подальших етапах школярам необхідно
пропонувати задачі, не розбиті на питання) і може бути використаний для
організації самостійної роботи всього класу, а також для індивідуалізації
роботи із слабкими учнями в класі і вдома.
Задачі на зміну кількості
У одному баку 940 л води, а в іншому — 480 л. З першого виливають за
годину в 3 рази більше води, чим з другого. Через 5 год. в першому, баку
запишається на 40 л менше води, чим в другому. Скільки літрів води
виливається з кожного бака за 1 год.?
Позначивши буквою х число літрів води, що виливається за 1 год. з
другого бака, виразіть:
1)кількість води, що виливається за 1 год. з першого бака;
2)кількість води, що виливається з другого бака за 5год.;
3)кількість води, що виливається з першого бака за 5год.;
4)кількість води, що залишилася в кожному з баків через 5 год..
Порівняйте кількості води, що залишилися, і запишіть рівняння.
Розв'яжіть рівняння і запишіть відповідь на питання задачі.
Додаткові питання
1. На скільки відсотків об'єм води в першому баку був більший, ніж в
другому?
2. На скільки відсотків об'єм води в другому баці став більший, ніж в
першому, через 5 год.?
Приклад.
У одному овочесховищі було 440 т картоплі, а в іншому — 408 т. З
першого щодня вивозили по 60 т, а в друге щодня завозили по 48 т
картоплі. Через скільки днів в другому овочесховищі стало в 3 рази більше
картоплі, ніж в першому?
Розв’язок
Нехай в другому овочесховищі стало в 3 рази більше картоплі, ніж в
першому через х днів. З першого овочесховища за х днів вивезли 60х тонн
картоплі, а друге привезли – 48х тонн картоплі. Тоді в першому

3. овочесховищі залишилося (440 – 60х) т картоплі, а в другому стало – (408
+ 48х) т.
Рівняння
(440 – 60х) ∙ 3 = 408 + 48х;
1320 – 180х = 408 + 48х;
– 180х - 48х = 408 - 1320;
– 228х = - 912;
х = 4.
Відповідь: через 4 дні.
Задачі на сплави і суміші
Сплав міді і цинку містив 82 % міді. Після додавання в сплав 18 кг цинку
процентний вміст міді в сплаві знизився до 70 %. Скільки міді і скільки
цинку було в сплаві спочатку?
Позначивши буквою х первинну масу сплаву в кілограмах, виразіть:
1) масу міді в сплаві;
2) масу сплаву після додавання цинку;
3)відношення маси міді до нової маси сплаву.
Складіть рівняння, враховуючи, що відсоток вмісту міді в отриманому
сплаві відомий. Розв'яжіть рівняння і знайдіть маси міді і цинку в
первинному сплаві.
Додаткові питання
1. Скільки цинку потрібно було додали в первинний сплав, щоб його
процентний зміст склав 50?
2. Чи можна, додаючи в первинний сплав рівні маси міді і цинку, отримати
сплав, що містить 50 % цинку?
Приклад.
Сплав олова і міді, маса якого 16 кг, містить 55 % олова. Скільки
кілограмів олова потрібно додати в сплав, щоб підвищити вміст олова в
сплаві до 60%?
Розв’язок
Спочатку у сплаві було олова (16 ∙ 0,55 = 8,8) 8,8 кг. Нехай у сплав
потрібно додати х кг олова, то олова у сплаві стане (8,8 + х) кг.
Рівняння
8,8 + х = 16 ∙ 0,6;
8,8 + х = 9,6;
х = 9,6 - 8,8;
х = 0,8.
Відповідь: потрібно додати 0,8 кг олова.

4. Площа прямокутника
Довжина прямокутника на 18 м більше його ширини. Якщо довжину
прямокутника зменшити на 8 м, а ширину збільшити на 7 м, то його
площа збільшиться на 40 м2
. Знайдіть площу даного прямокутника.
Позначивши ширину прямокутника в метрах буквою х, виразіть:
1) довжину прямокутника в метрах;
2) площу прямокутника в квадратних метрах;
3) довжину і ширину прямокутника після зміни його вимірювань;
4) площа зміненого прямокутника в квадратних метрах.
Порівняйте площі даного і зміненого прямокутників і запишіть рівняння.
Розв'яжіть рівняння і запишіть відповідь на питання задачі.
Додаткові питання
1. Який з прямокутників, змінений або новий, має більший периметр?
2. На скільки відсотків площа даного прямокутника менше площі
зміненого прямокутника?
Приклад
Довжина прямокутника в 2 рази більше його ширини. Якщо ширину
прямокутника збільшити на 8 дм, а довжину зменшити на 10 дм, то
площа прямокутника збільшиться на 220 дм2
. Знайдіть площу даного
прямокутника.
Розв’язок
Нехай ширина прямокутника х дм, то довжина буде дорівнювати - 2х дм,
а площа буде дорівнювати 2х2
дм2
. Якщо ширину прямокутника збільшити
на 8 дм, то ширина буде дорівнювати (х + 8) дм, а довжину зменшити на
10 дм, то довжина буде дорівнювати (2х – 10) дм, а площа прямокутника
буде дорівнювати (х + 8) ∙ (2х – 10) дм2
Рівняння
(х + 8) ∙ (2х – 10) - 2х2
= 220;
2х2
– 10х + 16х – 80 - 2х2
= 220;
6х = 300;
х = 50.
2х = 2 ∙ 50 = 100.
S = 50см ∙ 100 см = 5000см2
.
Відповідь: площа даного прямокутника 5000см2
.
Задачі на рух
Зі станції А до станції В зі швидкістю 66 км/год. відправився товарний
потяг, а через 20 хв. від станції В у напрямі станції А вийшов швидкий
поїзд, що проходить за годину 90 км. На якій відстані, від А зустрінуться
потяги, якщо довжина перегону А В становить 256 км ?

5. Позначивши час руху товарного потягу до зустрічі зі швидким буквою х,
виразіть:
1) час руху швидкого поїзда;
2) шлях, пройдений товарним поїздом до зустрічі з швидким;
3) шлях, пройдений швидким поїздом до зустрічі з товарним..
Враховуючи, що сума шляхів, пройдених обома поїздами до їх зустрічі,
рівна АВ, складіть рівняння.
Розв'яжіть рівняння і дайте відповідь на питання задачі.
Додаткові питання
1.Який з потягів пройшов до зустрічі більший шлях?
2.Який з потягів прибув раніше: товарний на станцію В або швидкий на
станцію А?
Приклад
З пункту М в пункт N із швидкістю 68 км/год. відправився пасажирський
потяг, а через 6 хв. вслід за ним вийшов електропоїзд, що проходить
85 км/год. На якій відстані від станції N електропоїзд наздожене
пасажирський, якщо довжина перегону МN становить 40 км?
Розв’язок
Нехай електропоїзд наздожене пасажирський потяг через х год., то час
руху пасажирського потягу до його обгону електропоїздом буде становити
(х + 0,1) год. Тоді шліх, пройдений пасажирським потягом до його обгону
буде становити 68(х + 0,1) км, а шлях, пройдений електропоїздом до
обгону ним пасажирського потягу – 85х км.
Враховуючи, що потяги пройдуть до моменту обгону одну й ту саму
відстань, складаємо таке рівняння:
85х = 68(х + 0,1);
85х = 68х + 6,8;
85х - 68х = 6,8;
17х = 6,8;
х = 0,4.
Отже, електропоїзд наздожене пасажирський потяг через 0,4 год і пройде
за цей час (85 ∙ 0,4 = 34) 34 км.
Відповідь: електропоїзд наздожене пасажирський потяг від станції N на
відстані 6 км.
Задачі на рух
Лижна траса складається з підйому і спуску, причому підйом на 8 км.
коротший за спуск. Лижник, рухаючись на спуску із швидкістю 18 км/год.,
а на підйомі — із швидкістю 8 км/год., витратив на підйом на 15 хв.
більше часу, чим на спуск. Знайдіть довжину кожної ділянки траси.
Позначивши довжину спуску в кілометрах буквою х, виразіть:

6. 1) довжину підйому в кілометрах;
2) час в годиннику, витрачений на спуск;
3) час в годиннику, витрачений на підйом.
Порівнюючи час, витрачений на спуск і на підйом складіть рівняння.
Розв'яжіть рівняння і запишіть відповідь.
Додаткові питання
1. Яка була середня швидкість лижника на всій трасі?
2. Скільки часу витратить лижник на зворотний шлях, якщо
рухатиметься на підйомі із швидкістю 8 км/год., а на спуску — із
швидкістю 18 км/год.?
Приклад
З пункту М в пункт N велосипедист їхав по шосе із швидкістю 16 км/год,
а повертався він по путівцю, який був на 6 км довший, із швидкістю
12 км/год.. Скільки кілометрів проїхав велосипедист по шосе і скільки по
путівцю, якщо на весь шлях він витратив 4 год. ?
Розв’язок
Нехай довжина шляху велосипедиста по шосе х км, то довжину шляху
велосипедиста по путівцю (х + 6) км. Тоді шлях по шосе велосипедист
проїде за годин, а шлях по путівцю – за годин.
Враховуючи, що час, витрачений на весь шлях, дорівнює 4 години,
складаємо таке рівняння:
+ = 4.
+ = ;
+ = ;
+ - = 0;
= 0;
= 0;
7х – 168 = 0;
7х = 168;

7. х = 24.
х + 6 = 24 + 6 = 30.
Відповідь: по шосе велосипедист проїхав 24 км, а по путівцю – 30 км.
Задачі на рух по річці
Моторний човен пройшов по річці 46 км за 3 год., причому частину шляху
проти, а частину — за течією річки. Знаючи, що швидкість течії річки
1 км/год., а швидкість човна в стоячій воді — 15 км/год., визначте, скільки
кілометрів пройшов човен за і скільки проти течії річки.
Позначивши шлях в кілометрах, пройдений проти течії річки, буквою х,
виразіть:
1) шлях, пройдений за течією річки:
2) швидкість човна за течією і проти течії;
3) час руху за течією і проти течії.
Враховуючи, що час, витрачений на весь шлях відомо, складіть
рівняння.
Розв'яжіть рівняння і дайте відповідь на питання задачі.
Додаткові питання
1. Яка середня швидкість човна на всьому шляху?
2. Скільки часу знадобилося б човну, щоб пройти таку ж відстань в стоячій
воді?
Приклад.
Човен проплив за течією річки на 11 км. більше, ніж проти течії,
витративши на весь шлях 3 год. Знаючи, що швидкість човна в стоячій
воді дорівнює 5 км/год., а швидкість течії — 2 км/год., визначте, скільки
всього кілометрів проплив човен.
Розв’язок
Нехай човен проти течії річки пройшов х км, то за течією річки він
пройде (х + 11) км.
Знаючи, що швидкість човна в стоячій воді дорівнює 5 км/год., а
швидкість течії — 2 км/год., маємо, що швидкість човна проти течії річки
дорівнює 3 км/год., а за течією – 7 км/год. Тоді проти течії річки човен
плив год., а за течією – год. Так як на весь шлях було витрачено 3
год., складаємо таке рівняння: + = 3. Розв’яжемо його.
+ = ;

8. + - = 0;
= 0;
= 0;
10х = 30;
х = 3.
х + 11 = 3 + 11 = 14.
Відповідь: проти течії річки човен пройшов 3 км, а за течією річки - 14км.
Задачі на складання систем лінійних рівнянь
На двох полицях лежать книги. Якщо з першої полиці взяти 6 книг, а з
другої — 11 книг, то на першій полиці стане у півтора рази більше книг,
ніж на другій. Якщо ж з кожної полиці взяти по 3 книги, то число книг,
що залишилися на першій полиці, буде відноситися до числа книг на другій
полиці, як 6:7. Скільки книг стоїть на кожній полиці?
Позначивши число книг на першій полиці буквою х, а на другій полиці —
у, виразіть:
1) скільки книг залишиться на кожній полиці, якщо з першою зняти 6 книг,
а з другої — 11 книг;
2) скільки книг залишиться на кожній полиці, якщо з першої і з другої
полиці зняти по 3 книги.
Порівнявши кількості книг, що залишилися в кожному випадку, на
полицях, складіть систему рівнянь. Розв'яжіть систему і відповідайте на
питання задачі.
Додаткові питання
1. На скільки відсотків число книг на другій полиці перевищує число книг
на першій полиці?
2. Як зміниться процентне відношення числа книг на обох полицях, якщо
на кожну поставити ще по 10 книг?
Приклад
Два баки містять різну кількість гасу. Якщо з першого бака відлити
18 л, а з другого —12 л гасу, то в другому баку залишиться удвічі більше
гасу, ніж в першому. Якщо ж з першого відлити 8 л, а з другого — 16 л, то
кількість літрів гасу, що залишився в першому баці, буде відноситися до
літрів гасу, що залишився в другому баці, як 7:8. Скільки літрів гасу
міститься в кожному з баків?

9. Розв’язок
Нехай в першому баці міститься х л гасу, а в другому - у л.
Якщо з першого бака відлити 18 л, а з другого —12 л гасу, то в першому
баці залишиться (х – 18) л, а в другому – (у – 12) л гасу. Так як в другому
баку залишиться удвічі більше гасу, ніж в першому, то (х – 18) ∙ 2 = у – 12.
Якщо ж з першого бака відлити 8 л, а з другого — 16 л, то в першому баці
залишиться (х – 8) л, в другому – (у – 16) л. Так як після цього кількість
літрів гасу, що залишився в першому баці, буде відноситися до літрів гасу,
що залишився в другому баці, як 7 : 8, то = .
Маємо таку систему рівнянь:
(х – 18) ∙ 2 = у – 12; 2х – 36 = у – 12;
= . 8 (х – 8) = 7 (у – 16).
2х – 36 = у – 12; 2х – у = 36 – 12; 2х – у = 24; - 7
8х – 64 = 7у – 112. 8х – 7у = 64 – 112. 8х – 7у = – 48.
- 14х + 7у = - 168;
8х – 7у = - 48.
- 6х = - 216;
х = 36.
2 ∙ 36 – у = 24;
72 – у = 24;
- у = - 72 + 24;
- у = - 48;
у = 48.
Відповідь: в першому баці міститься 36 л гасу, а в другому - 48 л.
Задачі на складання систем рівнянь
Два туристи відправилися одночасно з пунктів А і В, відстань між якими
33 км., назустріч один одному. Через 3 год. 12 хв. відстань між ними
скоротилася до 1 км., а ще через 2 год. 18 хв. першому залишилося пройти
до пункту В втричі більшу відстань, ніж другому до А. Знайдіть
швидкості обох пішоходів.
Позначивши швидкості туристів в кілометрах за годину буквами х і у,
виразіть:
1) шлях, пройдений туристами за 3 год. 12 хв.;
2) шлях, який залишилося пройти туристам до зустрічі (складіть рівняння);
3) шлях, який пройшов перший турист за 5,5 год. (5,5 год. = 3 год. 12 хв. +
2 год. 18 хв.) і відстань, яка залишилася йому пройти до В.

10. 4) шлях, який пройшов другий турист за 5,5 год., і відстань, яка йому
залишилася пройти до пункту А.
Порівнюючи відстані, які залишилося пройти туристам через 5,5 год.,
складіть друге рівняння.
Розв'яжіть систему рівнянь і запишіть відповідь на питання задачі.
Додаткові питання
1. Скільки кілометрів залишиться пройти першому туристові, коли другий
прийде в пункт А?
2. На скільки хвилин раніше завершить свій маршрут другий турист?
Приклад.
Два пішоходи відправилися одночасно з пунктів М і N, відстань між якими
38 км, назустріч один одному. Через 4 год. відстань між ними
скоротилася до 2 км, а ще через півтори години першому залишилося
пройти до пункту N на 5,5 км. менше, ніж другому до М. Знайти
швидкості обох пішоходів.
Розв’язок
Нехай швидкість пішохода, що вийшов з пункту М дорівнює х км/год, а
швидкість пішохода, що вийшов з пункту N – у км/год. Через 4 год.
відстань між ними скоротилася до 2 км, а тому 4(х + у) = 38 – 2.
Ще через півтори години перший пішохід пройшов всього 5,5х км, а
другий – 5,5у км. Так як першому залишилося пройти до пункту N на
5,5 км менше, ніж другому до М, то 5,5х – 5,5у = 5,5.
Складаємо систему рівнянь та розв’язуємо її:
4(х + у) = 38 - 2; 4(х + у) = 36; 4х + 4у = 36; х + у = 9;
5,5х – 5,5у = 5,5. х – у = 1. х – у = 1. х – у = 1.
2х = 10;
х = 5.
5 + у = 9;
у = 4.
Відповідь: 5 км/год і 4 км/год.