.

1. Дата:
Тема. Розв’язування тригонометричних рівнянь методом заміни змінних
Мета: сформувати в учнів уміння розв’язувати тригонометричні рівняння методом заміни змінних, розвивати логічне
мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних
записів.
Тип уроку: вдосконалення вмінь і навичок.
Хід уроку
«Те, що я встиг пізнати, - чудове.
Сподіваюся, таке ж чудове те,
що ще мені доведеться пізнати»
Сократ
I. Організаційний момент
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на робочу атмосферу.
II. Перевірка домашнього завдання
Перевірка наявності та правильності виконання домашнього завдання. Відповісти на питання учнів, які виникли під час
виконання завдань домашнього завдання.
1

2. Розв’язати рівняння :
III. Формулювання мети і завдань уроку
Ми навчилися розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння
sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.
Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів
розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто
алгебраїчним способом.
IV. Актуалізація опорних знань
Усні вправи
 Якою формулою записується розв’язок рівняння cos x = a ?
 При якому значенні а рівняння cos x = a має розв’язок ?
 Який розв’язок рівняння cos x = 0 ?
 Який розв’язок рівняння cos x = 1 ?
 Який розв’язок рівняння cos x = -1 ?
 Якою є функція arccos а ? Як знайти arccos (-а) ?
2

3. ссosos хх == аа,, --11≤а≤≤а≤11
x = ± arccos а + 2πn , n € Z
cos х = 0, х = π/2+πk, k € Z
сos x = 1, x = 2πk, k € Z
сos x = -1, x = π+2πk, k € Z
arccos (-а)= π- arccos а
3

4. Якою формулою записується розв’язок рівняння sin x = a ?
 При якому значенні а рівняння sin x = a має розв’язок ?
 Який розв’язок рівняння sin x = 0 ?
Який розв’язок рівняння sin x = 1 ?
Який розв’язок рівняння sin x = -1 ?
 Якою є функція arcsin а ? Як знайти arcsin (-а) ?
sinsin хх == аа,, --11≤а≤≤а≤11
sin x = 0, x = πk, k € Z
sin x = 1, x=π/2 + 2πk, k € Z
sin x = -1, x=- π/2 +2πk, k € Z
х = (-1)ⁿ arcsin а + πn , n € Z
аrcsin(-а) = - arcsin а
Якою формулою записується розв’язок рівняння tg x = a ?
 Який розв’язок рівняння tg x = 0 ?
 Якою є функція arctg а ? Як знайти arctg (-а) ?
tgtg хх == аа
tg x = 0,
x = πn, n € Z
x = аrctg а + πn , n €Z
аrctg(- а) = - аrctg а
Якою формулою записується розв’зок рівняння сtg x = a ?
 Який розв’язок рівняння ctg x = 0 ?
 Якою є функція arсctg а ? Як знайти arсctg (-а) ?
4

5. ссtgtg хх == аа
х = аrcсtg а + πn , n € Z
сtg x = 0,
x = π/2 + πn, n € Z
аrcсtg(- а) = π - аrcсtg а
V. Засвоєння нових знань
Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень
можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння
АЛГОРИТМ
1. Спробувати всі тригонометричні функції
звести до одного аргументу.
2. Якщо вдалося звести до одного аргументу, то
спробувати всі тригонометричні вирази
звести до однієї функції.
3. Зробити заміну.
4. Звести рівняння до квадратного.
5. Розв’язати квадратне рівняння.
6. Повернутись до заміни й розв’язати утворені
рівняння, записати відповідь.
V. Формування вмінь і навичок
Розглянемо приклади розв’язання тригонометричних рівнянь.
5

6. Приклад 1. Розв’язати рівняння
2 sin2x + sinx - 1 = 0.
Розв’язання.
Введемо нову змінну t = sinx. Тоді дане
рівняння буде мати вигляд 2t2 + t - 1 = 0.
Розв’яжемо його: D = 1 + 8 = 9,
Тому, sin x = 1/2 або sinx = -1.
1) sin x = 1/2
2) sin x = -1,
Приклад 2.
6

7. Розв’язання.
Замінимо sin2x на 1-сos2x, отримаємо
квадратне рівняння відносно сosx.
6 ( 1 – cos2x ) + 5 cosx – 2 = 0,
– 6 cos2x + 5cosx + 4 = 0,
6 cos2x – 5cosx – 4 = 0.
Нехай cos x = t, тоді 6t2 – 5t – 4 = 0,
t1= – 1/2, t2 = 4/3.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
6sin2x + 5 cosx – 2 = 0.
Отже, сos x = - 1/2 або cos x = 4/3.
Рівняння cos x = 4/3 не має розв’язку,
бо 4/3 > 1.
Розв’яжемо рівняння сos x = -1/2, маємо:
Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.
Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.
Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно однієї змінної?
Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.
7

8. Приклад 3. Розв’язати рівняння
tgx + 2ctgx = 3.
Розв’язання.
Оскільки ctgx =
то рівняння можна записати у вигляді:
Позначимо tgx через t. Отримаємо
рівняння
яке зводиться до квадратного
t2 – 3t + 2 = 0,
t2 – 3t + 2 = 0.
t1 = 2, t2=1.
4. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо
8

9. Отже,
- рівняння не має коренів, оскільки .
Відповідь: .
5.
Розв'язання. Нехай , тоді , матимемо
Отже, ;
; .
Відповідь: , .
9

10. 6. 2 sin2
x = 3cosx.
Розв’язання. 2sin2
x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2
x) - 3cosx = 0; 2cos2
x + 3cosx -2=0.
Хай z = cosx, |z| ≤ 1. 2z2
+ 32z - 2=0.
D = 9+16 = 25; √D = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2
-не задовольняють умові для z. Тоді вирішимо одне просте рівняння:
cosx = 1/2; х = ± π/3 + 2πn, n∈Z.
Відповідь: х = ± π/3 + 2πn, n∈Z.
7. sin x +2cos2
x-1=0
Розв’язання. sin x+2(1-sin2
x)-1=0; 2sin2
x-sin x-1=0
Нехай sin x=t, |t|≤1, тоді маємо: 2t2
-t-1=0, t1=1 або t2=-1/2.
Отже, sin x=1 або sin x=-1/2,
x=π/2+2πn, nЄZ або (-1)k+1
π/6+πk, kЄZ
Відповідь:x=π/2+2πn, nЄZ ; (-1)k+1
π/6+πk, kЄZ
8. Додаткове завдання. Робота з підручником № 5,завдання1 (ст. 345).
VI. Підсумки уроку. Рефлексія
ПІДСУМОК УРОКУ
Який метод розв’язування
тригонометричних рівнянь ми
сьогодні розглянули на уроці?
Чи досягли ми мети уроку?
Для чого нам потрібні ці
знання?
VI. Домашнє завдання
10

11. Опрацювати §25, п.25.1.
Виконати завдання № 1,2 (ст.345).
Додаткове завдання. № 5(2) на ст.345.
Використана література
Є. П. Нелін, Алгебра, підручник для 10 класу, Харків, 2010р.
11