Лекция 14 Матрицы

1. Анализ комбинаторных
алгоритмов
Лекция № 14
Матрицы.

2. Матрицы и векторы
Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел:
При транспонировании матрицы ее
строки становятся столбцами и наоборот






=





=
654
321
232221
131211
aaa
aaa
A










=










=
63
52
41
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT

3. Матрицы и векторы
Вектором называется одномерный
массив чисел.
Стандартной формой вектора принято
считать вектор-столбец. При его
транспонировании получается
вектор-строка.
Вектор i элемент которого равен 1, а
остальные равны 0 называют
единичным вектором и обозначают ei

4. Матрицы и векторы
На практике часто встречаются
квадратные матрицы – размером nxn.
Выделяют ряд видов квадратных
матриц:
Диагональная матрица – все элементы,
кроме диагональных равны 0, поэтому
часто задается вектором диагональных
элементов.
Симметрическая матрица
удовлетворяет условию A = AT

5. Матрицы и векторы
Единичная матрица (In) – это
диагональная матрица диагональ
которой заполнена единицами
У верхнетреугольной матрицы элемен-
ты под главной диагональю равны нулю.
У нижнетреугольной матрицы элементы
над главной диагональю равны нулю.
Матрица перестановки имеет ровно
одну единицу в каждой строке и в каждом
столбце

6. Операции над матрицами
 Сумма матриц определяется как матрица с
элементами равными сумме
соответствующих элементов складываемых
матриц:
cij = aij+bij
 Матрицу с элементами a’ij=-aij называют
противоположной A матрицей
 Вычитание матрицы B из A определяется
как сумма А и матрицы противоположной B.

7. Операции над матрицами
Умножение матриц осуществимо,
если они имеют согласованные
размеры, т.е. С = AB, только если
число столбцов A совпадает с числом
строк в B.
Если A – m x n матрица, B – n x p
матрица, то С = AB – m x p матрица с
элементами:
∑=
=
n
j
jkijik bac
1

8. Операции над матрицами
Для любых A B C согласованных
размеров верны утверждения:
A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
При умножении матрицы на
единичную согласованного размера,
получается сама матрица: AIn= ImA=A

9. Операции над матрицами
Матрицей обратной к A (n x n)
называется A-1
, такая что A A-1
= In
Многие матрицы не имеют обратных –
они называются необратимыми или
вырожденными.
Если обратная матрица существует,
то она только одна.

10. Операции над матрицами
Говорят, что векторы x1,x2,…xn
линейно зависимы, если найдется
набор коэффициентов с1,c2,…cn, не
все из которых равны нулю, для
которого c1x1 + c2x2 +… cnxn = 0
Векторы не являющиеся линейно
зависимыми называют линейно
независимыми.

11. Операции над матрицами
Столбцевым рангом ненулевой
матрицы называется наибольшее
число линейно независимых столбцов
Строчным рангом ненулевой
матрицы называется наибольшее
число линейно независимых строк
Если строчный и столбцевой ранги
совпадают их значение называют
просто рангом матрицы.

12. Операции над матрицами
Рангом матрицы A (n x m) называется
наименьшее число r, для которого
найдутся матрицы B (n x r) и C (r x m),
такие что A = BC
Квадратная матрица (n x n) с рангом n
называется матрицей полного ранга.
Теорема
Квадратная матрица имеет полный
ранг, тогда и только тогда, когда
невырождена.

13. Операции над матрицами
Минором элемента aij называется
матрица A[i,j] (n-1 x m-1), полученная
вычеркиванием i строки и j столбца.
Определитель матрицы задается
следующей формулой:
1),det(...)det()det(
1,
)det(
],1[1]2,1[12]1,1[11
11
>++−
=
=
nеслиAaAaAa
nеслиa
A
nn

14. Операции над матрицами
 Определитель обладает следующими
свойствами:
 Если в какой-либо строке или столбце матрице
стоят одни нули, то определитель равен 0
 Если умножить элементы матрицы на некоторое
число, то определитель умножится на это число
 Если добавить к элементам строки, элементы
другой строки определитель не изменится
(аналогично для столбцов)
 Определители A и AT
равны
 При перестановке строк или столбцов опреде-
литель меняет знак.

15. Операции над матрицами
Если A и B квадратные матрицы
одинакового размера, то верно что
det(AB) = det(A) det(B)
Теорема
Квадратная матрица A вырождена
тогда и только тогда, когда det(A) = 0.

16. Алгоритм Штрассена
Алгоритм Штрассена умножает две
(n x n) матрицы за время nlog7
=n2.81
Алгоритм Штрассена действует по
принципу «разделяй и властвуй»












=





hf
ge
dc
ba
ut
sr

17. Алгоритм Штрассена
 Каждая матрица A, B, C разбивается на 4
блока (cм. рис.)
 Вычисляются 14 матриц (n/2 x n/2):
A1 = a B1 = g - h
A2 = a + b B2 = h
A3 = c + d B3 = e
A4 = d B4 = f - e
A5 = a + d B5 = e + h
A6 = b - d B6 = f + h
A7 = a - c B7 = e + g

18. Алгоритм Штрассена
 Рекурсивно вычисляются 7 матриц P:
Pi = Ai Bi
 Вычисляются четыре блока результирую-
щей матрицы:
r = P5+P4-P2+P6
u = P5+P1-P3-P7
s = P1+P2
t = P3+P4

19. Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений
может быть записана в матричном виде







=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111














=




























nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211

20. Системы линейных уравнений
Если матрица A невырождена, то
найдется обратная матрица A-1
и
вектор x = A-1
B будет являться
решением.
Если ранг матрицы меньше числа
переменных система называется
недоопределенной.
Если число уравнений больше числа
переменных – переопределенной.

21. Системы линейных уравнений
Приведенный метод часто сталки-
вается с проблемой вычислительной
неустойчивости: вещественные числа
хранятся в памяти приближенно и
ошибки приближения могут накап-
ливаться.
Для того чтобы избежать этого
используют LUP – разложение.

22. Системы линейных уравнений
 Три матрицы L, U, P образуют LUP-
разложение матрицы A, если:
PA = LU,
причем
L – является нижнетреугольной
матрицей c единицами на диагонали.
U – верхнетреугольной матрицей
P – матрицей перестановки

23. Системы линейных уравнений
Решение системы линейных
уравнений можно представить в виде:
PA x = PB или
LU x = PB
Таким образом решение системы
сводится к решениям двух систем с
треугольными матрицами:
Ly = PB и y = Ux

24. Системы линейных уравнений
Система Ly = PB имеет вид:
Решения этой системы имеют вид







=+++
=+
=
][2211
]2[2121
]1[1
...
...
npnnn
p
p
byylyl
byyl
by
∑
−
=
−=
1
1
][
i
j
jijibi ylby

25. Системы линейных уравнений
Система Ux = y имеет вид:
Решения этой системы имеют вид







=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
yxu
yxuxu
yxuxuxu
...
...
...
22222
11212111
ii
n
ij
jijii uxuyx /
1








−= ∑+=

26. Системы линейных уравнений
void LUPSolve(L,U,Bp,n){
for(i=1; i<=n; i++){
sum = 0;
for(j=1; j<i j++){
sum += L[i,j]*Y[j];
}
Y[i]= Bp[i]-sum;
}
for(i=n; i>=n; i--){
sum = 0;
for(j=i+1; j<=n; j++){
sum += U[i,j]*X[j];
}
X[i] = (Y[i]-sum)/u[i,i];
}
}

27. Системы линейных уравнений
1 2 0 2 0.6
2 3 3 4 -2
3 5 5 4 2
4 -1 -2 3.4 -1
3 5 5 4 2
2 3 3 4 -2
1 2 0 2 0.6
4 -1 -2 3.4 -1
3 5 5 4 2
2 0.6 0 1.6 -3.2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
4 -0.2 -1 4.2 -0.6

28. Системы линейных уравнений
3 5 5 4 2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
2 0.6 0 1.6 -3.2
4 -0.2 0.5 4 -0.5
3 5 5 4 2
2 0.6 0 1.6 -3.2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
4 -0.2 -1 4.2 -0.6
3 5 5 4 2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
2 0.6 0 1.6 -3.2
4 -0.2 -1 4.2 -0.6

29. Системы линейных уравнений
3 5 5 4 2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
2 0.6 0 1.6 -3.2
4 -0.2 0.5 4 -0.5
3 5 5 4 2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
4 -0.2 0.5 4 -0.5
2 0.6 0 1.6 -3.2
3 5 5 4 2
1 0.4 -2 0.4 -0.2
4 -0.2 0.5 4 -0.5
2 0.6 0 0.4 -3

30. Системы линейных уравнений
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
2 0 2 0.6
3 3 4 -2
5 5 4 2
-1 -2 3.4 -1
*
5 5 4 2
0 -2 4 -0.2
0 0 4 0.5
0 0 0 -3
1 0 0 0
0.4 1 0 0
-0.2 0.5 1 0
0.6 0 0.4 1
*
=
P
L
A
U

31. Системы линейных уравнений
void LUPDecomposition(A,n){
for(i=1; i<=n; i++) pi[i] = i;
for(k=1; k<=n; k++){
p=0;
for(i=k; k<=n; i++){
if(abs(A[i,k])>p){
p=abs(A[i,k]); k1=i;
}
if(p=0) error(“Матрица вырождена”);
x = pi[k]; pi[k]=pi[k1]; pi[k1]=x;
for(i=1; i<=n; i++){
x=A[i,k];A[i,k]=A[i,k1];A[i,k1]=x;
}
for(i=1; i<=n; i++){
A[i,k]=A[i,k]/A[k,k];
for(j=k-1; j<=n; j++)
A[i,j]=A[i,j]-A[i,k]*A[k,j];
}
}
}