Задания прикладного курса «Элементы высшей математики для школьников»

1. Сборник заданий
к прикладному курсу «Элементы
высшей математики для
школьников»

2. Пояснительнаязаписка.
Данная программа значительно шире существующих сейчас учебников по
математике для средней школы. В этом сборнике показаны примеры
вычисления пределов, раскрытие неопределенности [
0
0
] и[
∞
∞
],что расширяет
школьный курс понятия предела. Также показаны основные формулы
производных сложной функции, для более упрощенного нахождения
производных встречающихся в тестовых заданиях по ЕНТ. Кроме
традиционного для курса средней школы понятия первой производной (и её
приложения к исследованию функции), рассмотрено понятие второй
производной и её применение к исследованию функции. Производные
обратных тригонометрических функций , бином Ньютона, понятие
комплексного числа и действий над ними.
Изучение данного курса дает расширенное понятие математики, как науки
,помогаетучащимся лучше адаптироваться на первом курсе высших учебных
заведений.
Цель: расширить понятие множества чисел, введением понятия
комплексного числа; познакомить с правилами вычисления предела
функции; привить интерес к математике.
Задачи:
-научить раскрывать неопределенности [
0
0
] и [
∞
∞
] ;
-находить производныесложныхфункций;
-выполнять действия с комплексными числами.

3. Понятие предела функции точке и непрерывность функции.
lim
х→а
𝑓( 𝑥) = 𝑓( 𝑎).
1)если существует предел функции при стремлении аргумента х к а , то этот
предел только один;
2) если lim
х→а
𝑓( 𝑥) = 𝑏 и lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = 𝑐, то существуют пределы алгебраической
суммы, произведения, частного(при lim
х→а
𝑔( 𝑥) ≠ 0),причем lim
х→а
𝑓( 𝑥) ∓ 𝑔( 𝑥) =
𝑏 ∓ 𝑐, lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) ∙ 𝑔( 𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑐, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑏
𝑐.
Найти пределы:[ 𝟏]
lim
х→1
(2х + 3)
lim
х→3
х2
− 9
х − 3
lim
х→−1
9 − х
х2 + х + 1
lim
х→−1
(−3 − 8х)
lim
х→−1
1 − х2
х + 1
lim
х→5
х2
− 4х− 5
х − 5
lim
х→3
х2
+ х + 1
2х + 1
lim
х→2
−х2
+ 3х − 4
х + 3
lim
х→1
√х + 1
х + 1
lim
х→3
3х − 4
х2 − х − 2
lim
х→4
х2
− 16
х − 4
lim
х→2
х2
− 5х+ 6
х2−4
Бесконечно малые функции.[ 𝟐]
Определение: функцию 𝛼 называют бесконечно малой при х → +∞, если
для любого 𝜀 > 0 найдется луч [М;+∞), на котором выполняется неравенство
| 𝛼(х)| < 𝜀.
Теорема. Если функция 𝛼 постояннаи бесконечно мала при х → +∞, то она
равна нулю при всех значениях х.
Предел функции на бесконечности.
Докажите что:
lim
х→+∞
2х + 5
3х
=
2
3
lim
х→+∞
6х2
− 5
2 + 2х2
= 3 lim
х→+∞
3х2
− 2х + 1
х2 + х − 4
= 3
lim
х→+∞
3х2
+ 6
х2
= 3 lim
х→+∞
12х− 7
4х + 1
= 3 lim
х→+∞
7х + 6
8х2 + 6
= 0
lim
х→+∞
5х + 14
х + 2
= 5 lim
х→+∞
12х
4х + 1
= 3 lim
х→+∞
5х2
− 1
2х2 + 8х + 7
=
5
2
lim
х→+∞
3х − 2
х + 2
= 3 lim
х→+∞
х2
− 3х + 5
х2 + х − 1
= 1 lim
х→+∞
5 − 3х2
3 + 7х2
= −
3
7

4. Дифференциал функции отфункции.[ 𝟏]
Пусть y=F(u) является функцией u=f(x) от переменной u, которая, в свою
очередь, есть функция u=f(x) от независимойпеременной х. Таким образом,
y=F(f(x)). Заданная так функция у называется функцией от функции или
функцией заданной как сложная .
Полученная очень простая формула для дифференциала функции от функции
означает, что форма записидифференциала не зависит от того, что находится
под знаком функции- независимая переменная или функции от другой
переменной. Это свойство дифференциала носит название инвариантности.
(𝒖 𝒏
)′ = 𝒏 ∙ 𝒖′ ∙ 𝒖 𝒏−𝟏
(
𝟏
𝒖
)'=−
𝒖′
𝒖 𝟐
(𝐬𝐢𝐧 𝒖)′ = 𝒖′ ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒖
(𝒆 𝒖
)′ = 𝒖′ ∙ 𝒆 𝒖
(𝐥𝐧 𝒖)′ =
𝒖′
𝒖
(𝐜𝐨𝐬 𝒖) ′ = −𝒖′ ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒖
(𝒂 𝒖
)′ = 𝒖′ ∙ 𝒂 𝒖
∙ 𝐥𝐧 𝒂 (tgu)'=
𝒖′
𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒖
(𝐬𝐢𝐧 𝒏
𝒙)′ = 𝒏 ∙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒏−𝟏
𝒙
(√ 𝒖)′ =
𝒖′
𝟐√ 𝒖
(ctgu)'=−
𝒖′
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒖
(𝐜𝐨𝐬 𝒏
𝒙)′ = −𝒏 ∙
𝐬𝐢𝐧 𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒏−𝟏
𝒙
Вычислить производные функций.[3]
f(x)=√2х3 − 3х2 + 7 f(x)=𝑒sin 𝑥
f(x)=sin√ 𝑥
f(x)=√2x− х2 f(x)=𝑎cos 𝑥
f(x)=cos (ln 𝑥)
f(x)=(x6+2x)76
f(x)=𝑒 𝑥2
f(x)=sin3
𝑥
f(x)=(x4-x)20 f(x)=𝑎 𝑡𝑔𝑥
f(x)=cos2
𝑥
Втораяпроизводная.[ 𝟐]
Вторая производнаявыражаетскорость изменения первойпроизводной, или,
как говорят, ускорение изменения даннойфункции. Если х = f(t)- координата
прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то х'' = f''(t) равно
ускорениюэтой точки в этот же момент времени: a= v'=x''.
Вычислить.
(х3+4х2-7)'' (х5-3х3+х+8)'' (
х2+2
х2−4
)′′
Применение производныхвысшихпорядков к исследованию функций.[2]
Исследование графиков на выпуклость.
Теорема. Пусть на отрезке [a;b] функция f непрерывнаи внутри этого отрезка
f ''>0(соответственно f ''<0). Тогдаграфик функции f обращен на этом
отрезке выпуклостьювниз ( соответственно вверх).
Определить выпуклость функции.

5. f(x)=x4 f(x)=x3-6x2+12x+4 f(x)=
𝑥3
𝑥2+12
f(x)=x4 -6x2+4 f(x)=(x+1)4
f(x)=√4𝑥3 − 12𝑥
Бином Ньютона.[2]
(a+x)n=A0+A1x+A2x2+A3x3+…+Anxn. (1)
Ak=
𝑛( 𝑛−1)( 𝑛−2)…(𝑛−𝑘+1)
1∙2∙3…∙𝑘
𝑎 𝑛−𝑘
. (2)
Числа
𝑛( 𝑛−1)( 𝑛−2)…(𝑛−𝑘+1)
1∙2∙3…∙𝑘
называют биноминальныекоэффициенты и
обозначают С 𝑛
𝑘
. С 𝑛
𝑘
=
𝑛( 𝑛−1)( 𝑛−2)…(𝑛−𝑘+1)
1∙2∙3…∙𝑘
. (3)
Подставляя в формулу (1) значения формулы (2) получим формулу бинома
Ньютона. (а+х)n=an+𝐶 𝑛
1
an-1x+…+𝐶 𝑛
𝑘
an-kxk+…+𝐶 𝑛
𝑛
xn (4)
№1.Используя формулу (3) вычислить.
С4
1
,С4
2
,С4
3
,С5
1
,С5
2
,С5
3
,С5
4
,С6
1
,С6
2
,С6
3
,С6
4
,С6
5
.
№2.Вычислить :С5
2
+ С7
3
+ С6
3
, С10
6
− С8
5
+ С5.
3
№3.Используя формулу (4) запишите разложениебиномов:
(a-x)4; (2+h)5; (x+1)5; (x-1)6; (x-2y)6; (
1
2
x+3)7; (√ 𝑥 -1)5;
(√ 𝑥 + √ 𝑦)4; (2x-
1
2
)10.
Некоторые действиянад прямыми и обратными тригонометрическими
функциями. [1],[5].
Пример 1. Выразить через х алгебраически cos( 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥).
Решение. cos( 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) > 0, так как −
𝜋
2
≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤
𝜋
2
.
cos( 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) = √1 − sin2(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) =√1 − 𝑥2.
Пример 2. sin(2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) = 2 sin ( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) 𝑐𝑜𝑠( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) =
2𝑡𝑔( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)cos2( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) =
2𝑡𝑔( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥)
1+tg2(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥)
=
𝑥
1+√1−𝑥2
.
Вычислите:[4]
№1. sin(𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
3
);

6. №2. cos(
𝜋
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
5
);
№3. ctg(
𝜋
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3);
№4. sin(𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
3
4
).
Производные обратныхтригонометрических функций.[4]
(arcsinx)'=
1
√1−𝑥2
; (arctgx)'=
1
1+𝑥2
; (arccosx)' =-
1
√1−𝑥2
; (arcctgx)' =-
1
1+𝑥2
.
Найти производныеследующих функций:
1) y= arctg2x, 2)y= arcctg5x, 3)y= arcsin2x+ arctg3x+ arccos2x+ arcctg3x,
4)y=x3∙ arcctgx, 5)y= (arctg3x)2.
Комплексныечисла.[1]
Учащиеся твердо усвоили, что квадратного корня из отрицательного числане
существует. Однако потребностисамойалгебры и её приложений требуют
такого расширения понятия числа, при котором действиеизвлечение
квадратного корня из отрицательного числастало бы осуществимым.
Число корень квадратный из -1 принято обозначать буквой i , и числа вида
a+bi, где a и b –обычныедействительныечисла, носятназвание комплексных
чисел.
Основныеопределения:
1.(a,b)=(c,d)в том и только том случае, если a=c и b=d.
1.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
3.(a,b)∙(c,d)=(ac-bd,ad+bc).
4. (a,0)=a
i2=-1
Комплексные числа a+biи a-bi ,называютсопряженными. Если a+bi≠0,то
(a+bi)∙(a-bi)=a2+b2.
Тригонометрическая формакомплексногочисла.
a=rcos𝜑, b=r sin𝜑. 𝛼=a+bi. 𝛼=r(cos𝜑+i sin𝜑).
Формула Муавра:(cos𝜑+i sin𝜑)k=cosk𝜑+isink𝜑.

7. Извлечение корня из комплексного числа.
√ 𝛼𝑛
=r1/n(cos
𝜑+2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜑+2𝑘𝜋
𝑛
).
Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
√ 𝑎 + 𝑏𝑖=±(√√𝑎2+𝑏2+𝑎
2
+ 𝑖𝑠𝑖𝑔𝑛𝑏√√𝑎2+𝑏2−𝑎
), где signb обозначаетзнак b, то
есть +1, если b>0, и-1, если b<0.
№1. Выполнить сложение комплексныхчисел:
1.(3-7i)+(6+5i). 2.(-2+6i)+(-4-8i).
3. (-5+4i)+(5+10i). 4. (1-i)+(3+i).
5. 3i+(7-2i). 6. 5i+8i.
№2. Выполните вычитание комплексных чисел:
1. (2-4i)- (-7-i). 2.(-8+i) – (9+i).
3.( 10+2i) – (10-i). 4. 6 – (5+2i).
№3.Выполните умножение комплексных чисел:
1. (3+2i)(2+3i). 2.(-1-i)(-2+2i)/
3.(7- i)(7+i). 4.(-4 – i)(4 – i).
5.(3+i)∙i. 6.i(2 – 4i).
№4. Выполните деление комплексных чисел:
1.
4+6𝑖
1−𝑖
. 2.
10−𝑖
1+𝑖
. 3.
1−2𝑖
3+𝑖
. 4.
−2−3𝑖
1−2𝑖
.
№5.Вычислите по формуле Муавра:
1. (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)
6
. 2.(cos 15+ 𝑖 sin 15)10
.

8. Списоклитературы.
1. «Элементы высшей математики для школьников» Д.К. Фадеев, М.С.
Никулин, И.Ф. Соколовский. Москва«Наука» 1987 год.
2. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-
Мусатов, С.И. Шварцбург. Москва «МНЭМОЗИНА» 2003 год.
3. «Алгебра и начала анализа» сборникзадач А.Е. Алдымуратова, М.И.
Есенова, К.Д. Шойынбеков. Алматы «Мектеп» 2006 год.
4. «Алгебра и начала анализа» математика для техникумов , часть 1,под
редакцией Г.Н. Яковлева. Москва «Наука» 1987 год.
5. «Абитуриенту» тесиовыезадания, решения, ответы. К.Н. Бексултанов,
К.И. Черенко Кокшетау 2003 год.