Презентация к лекции по курсу "Компьютерный практикум по механике".

1. численные методы
Основы MATLAB
Юдинцев В. В.
19 сентября 2015 г.
Кафедра теоретической механики
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
http://yudintsev.info

2. содержание
Интерполирование табличных данных
Численное дифференцирование
Численное интегрирование
Интегрирование ОДУ
Пример: задача баллистики
Управление процессом интегрирования
1

3. интерполирование табличных
данных

4. полиномиальная интерполяция
• Известны значения некоторой функции y(x) в точках
x0, x1, x2, . . . , xn:
y0, y1, y2, . . . , yn.
• Необходимо построить интерполирующий многочлен
Ln(x), совпадающий с значениями табличной функции в
точках x0, x1, x2, . . . , xn и приближающий функцию y(x) на
интервале [x0, xn].
Интерполирующий многочлен в форме Лагранжа:
Ln =
n∑
i=0
yi
(x − x0)(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn)
(xi − x0)(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn)
3

5. полиномиальная интерполяция: функция polyfit
Исходные данные
1 x = [ 0 . 1 0.2 0.3 0 . 4 ] ;
2 y = [ 0 . 2 0.6 0.5 0 . 3 ] ;
Вычисление коэффициентов интерполирующего
многочлена ˜y = pnxn + pn−1xn−1 + . . . + p0 для n = 3
3 p = p o l y f i t ( x , y , 3 )
4 ans =
5 66.6667 −65.0000 18.8333 −1.1000
Первый элемент – pn, последний – p0.
4

6. вычисление значения интерполирующей функции
Значения многочлена в точке x = 0.15:
6 >> polyval (p , 0 . 1 5 )
7 ans =
8 0.48750
5

7. полиномиальная интерполяция
6

8. полиномиальная интерполяция
7

9. полиномиальная интерполяция
• Полиномиальная интерполяция используется локально.
• Для глобальной интерполяции используется
сплайн-интерполяция – глобальная
„кусочно-полиномиальная“ интерполяция.
8

10. построение графика
9 >> fp l ot (@( x ) polyval (p , x ) , [ 0 . 1 0 . 4 ] ) ;
10 >> grid on ;
11 >> xlabel ( ’ x ’ ) ; ylabel ( ’ y ’ ) ;
12 >> print ( ’−dpng ’ , ’−r600 ’ , ’ function . png ’ ) ;
9

11. сплайн-интерполяция
Для числа или вектора/матрицы xp: линейная
интерполяция
1 yp = interp1 ( x , y , xp )
поиск ближайшего табличного значения
1 yp = interp1 ( x , y , xp , ’ nearest ’ )
сплайн-интерполяция (полином 3 степени)
1 yp = interp1 ( x , y , xp , ’ spline ’ )
10

12. численное дифференцирова-
ние

13. конечные разности
Задана таблица значений x0, x1, x2, . . . , xn:
1 >> x = [ 0 . 1 0.2 1 0.32 0 . 4 1 ] ;
Конечные разности 1-го порядка
∆xk = xk+1 − xk, k = 0, . . . , n − 1
1 >> dx = d i f f ( x )
2 ans =
3 0.110000 0.110000 0.090000
Конечная разности 2-го порядка
1 >> dx = d i f f ( x , 2 )
2 ans =
3 2.7756 e−17 −2.0000e−02
12

14. численное интегрирование

15. метод трапеций
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
Табличная функция:
1 >> x = [ 0 . 1 0. 21 0.32 0 . 4 1 ] ;
2 >> y = sin ( x ) +x ;
Вычисление интеграла:
1 >> trapz ( x , y )
2 ans =
3 0.1569
∫ b
a
y(x)dx ≈
1
2
n∑
i=1
(xn+1 − xn)(yn + yn+1)
14

16. метод симпсона
Интегрирование методом Симпсона
1 integral = quad ( @function , a , b , eps ) ;
a,b – пределы интегрирования
eps – точность (по умолчанию 10−6)
@function – ссылка на функцию или строка-выражение,
например, ’sin(x)+x’.
15

17. интегрирование оду

18. структура



dq1
dt
= f1(t, q1, q2, . . . , qn),
dq2
dt
= f2(t, q1, q2, . . . , qn),
. . .
dqn
dt
= fn(t, q1, q2, . . . , qn).
⇒
dq
dt
= f(t, q)
где
• q = (q1, q2, . . . , qn) – вектор состояния;
• f(t, q) – вектор-функция правых частей.
17

19. структура
• Приведение к системе дифференциальных уравнений
первого порядка.
• Файл-функция правой части f(t, q).
• Файл-скрипт запуска процесса интегрирвования ДУ.
18

20. пример: задача баллистики

21. задача баллистики
20

22. уравнения движения
Векторное уравнение
m⃗a = ⃗Fg = m⃗g.
Проекции векторного уравнения на
оси координат:
max = m
d2x
dt2
= 0,
may = m
d2y
dt2
= −mg.
21

23. дифференциальные уравнения движения
Приведение к системе дифференциальных уравнений
первого порядка.



m
d2x
dt2
= 0,
m
d2y
dt2
= −mg.
⇒



dx
dt
= Vx,
dVx
dt
= 0,
dy
dt
= Vy,
dVy
dt
= −g.
⇒
dq
dt
= f(q, t)
где
q = (x, Vx, y, Vy), f(q, t) = (Vx, 0, Vy, −g)
22

24. ode файл – файл-функция правых частей
Файл в котором вычисляется правая часть
дифференциального уравнения или системы уравнений:
q ⇒ ˙q = f(q, t) ⇒ ˙q
где x – вектор зависимых переменных, t – время.
Файл-функция dqdt.m
1 function dq = dqdt ( t , q)
2 g = 9 . 8 1 ;
3 m = 1 . 0 0 ;
4 x=q ( 1 ) ; Vx=q ( 2 ) ; y=q ( 3 ) ; Vy=q ( 4 ) ;
5 dq = [ Vx , 0 , Vy , −g ] ;
23

25. интегрирование
1 % Начальные условия
2 V0 = 1 0 ;
3 a = pi /4;
4 q0 = [0 , V0* cos ( a ) , 0 , V0* sin ( a ) ] ;
5 % Интервал интегрирования
6 tspan = [0 5 ] ;
7 [ t , q] = ode45 (@dqdt, tspan , q0 ) ;
24

26. методы интегрирования
Интегратор Описание
ode45 Метод Рунге-Кутты 4 и 5 порядков с автоматиче-
ским выбором шага
ode23 Метод Рунге-Кутты 2 и 3 порядков с автоматиче-
ским выбором шага
ode113 Многошаговый метод Адамса: метод с предска-
занием и коррекцией
ode15s Многошаговый метод для интегрирования жест-
ких систем
ode23s Одношаговый метод Розенброка второго поряд-
ка для жестких систем
25

27. результаты интегрирования
1 [ t , q] = ode45 (@dqdt, tspan , q0 ) ;
t – столбец независимой
переменной (время)
t =





t0
t1
. . .
tk





q – матрица зависимых
переменных
q =





x0 Vx0 y0 Vy0
x1 Vx1 y1 Vy1
. . .
xk Vxk yk Vyk





26

28. управление процессом инте-
грирования

29. управление процессом интегрирования
Расширенная версия запуска интегрирования д.у.:
1 [ t , q] = ode45 ( @dqdt, tspan , q0 , options ) ;
До запуска интегрирования заполняется специальная
структура options при помощи функции odeset:
1 options = odeset ( ’Парам . 1 ’ , Значение , ’Парам . 2 ’ , . . . ) ;
2 [ t , q] = ode45 ( @dqdt, tspan , q0 , options ) ;
28

30. точность решения
• ’RelTol’: относительная погрешность. Число - значение
погрешности для всех переменных, или вектор,
задающий погрешность для каждой переменной (по
умолчанию 10−3)
• ’AbsTol’: абсолютная погрешность. Число или вектор
(по умолчанию 10−6)
1 options = odeset ( ’ RelTol ’ ,1 e−4, ’ AbsTol ’ ,1 e−8) ;
2 [ t , q] = ode45 ( @dqdt, tspan , q0 , options ) ;
29

31. параметры интегрирования
• ’InitialStep’: начальный шаг интегрирования;
• ’Mass’: матрица коэффициентов M в
дифференциальных уравнениях, записанных в виде
M(q, t) ˙q = f(t, q).
Имя переменной, если матрица масс постоянная, или
ссылка на m-файл. Для всех интеграторов кроме
ode15s, ode23t матрица масс должна быть
невырожденная;
• ’MassSingular’: может ли матрица масс быть
вырожденной. Возможные значения: ’yes’, ’no’,
’maybe’ (по умолчанию ’maybe’).
30

32. события: параметр ’events’
Для остановки процесса интегрирования при выполении
некоторого условия используется функция событий,
которая передаётся интегратору:
1 options = odeset ( ’ Events ’ , @events ) ;
2 V0 = 1 ;
3 a = pi /4;
4 q01 = [0 , V0* cos ( a ) ,0 , V0* sin ( a ) ] ;
5 [ t1 , q1 ] = ode45 (@dqdt, [ 0 20] , q01 ) ;
31

33. пример файл-функции событий events.m
q = (x, Vx, y, Vy)T
1 function [ value , isterminal , direction ] = events ( t , q)
2 % Следим за изменением переменной y
3 value = q ( 3 ) ;
4 % Остановить процесс ,
5 isterminal = 1 ;
6 % если q ( 3 ) станет равна нулю и будет убывать
7 direction = −1;
Файл-функция для остановки процесса интегрирования
(isterminal=1) при пересечении нуля функцией y(t) (value =
q(3)) при её убывании (direction = -1).
32

34. падение шарика на упругую поверхность
1 options = odeset ( ’ Events ’ , @events ) ;
2 v0 = 1 ;
3 q01 = [0 , v0* cos ( pi /4) ,0 , v0* sin ( pi /4) ] ;
4 [ t1 , q1 ] = ode45 (@dqdt, [ 0 20] , q01 ) ;
5 n1 = length ( t1 ) ;
Перед интегрированием второго этапа меняем знак
скорости Vy (шарик отскочил с в два раза меньшей
скоростью):
6 q02 = q1 ( n1 , : ) ;
7 q02 ( 4 ) = −q02 ( 4 ) * 0 . 5 ;
33

35. падение шарика на упругую поверхность
Интегрируем от t1k до t1k + 20
8 t0 = t1 ( n1 ) ; tk =t0 +20;
9 [ t2 , q2 ] = ode45 (@dqdt , [ t0 tk ] , q02 ) ;
“Склеиваем” результаты двух этапов движения:
10 t =[ t1 ; t2 ] ; q=[ q1 ; q2 ] ;
34

36. падение шарика на упругую поверхность
Построение траектории движения шарика:
11 plot (q ( : , 1 ) ,q ( : , 3 ) ) ;
35

37. Vadim Yudintsev
Computational Mechanics with MATLAB
Lecture 3: Numerical methods
LaTeX Beamer theme METROPOLIS
by Matthias Vogelgesang
https://github.com/matze/mtheme
36