Документ представляет анализ комбинаторных алгоритмов, уделяя внимание приближенным алгоритмам для решения NP-полных задач. Обсуждаются методы оценки качества алгоритмов, такие как относительная ошибка, и приводятся примеры задач, включая задачу о вершинном покрытии и задачу коммивояжера с описанием алгоритмов для их решения. Также рассмотрены техники, позволяющие получать полиномиальные схемы приближения для задачи о суммах подмножеств.

1. Анализ комбинаторных
алгоритмов
Лекция №11
Приближенные
алгоритмы

2. Приближенные алгоритмы
 Часто, возникшая на практике NP-полная
задача настолько важна, что нельзя отказаться
от ее решения.
 Если реальные данные позволяют, можно
построить неполиномиальный алгоритм для
данной задачи.
 В случае, если неполиномиальный алгоритм
не работает в приемлемое время, можно
попытаться (применительно к задачам
оптимизации) найти не точное решение, а
некоторое приближенное к нему.

3. Приближенные алгоритмы
 Алгоритмы, выдающие приближенные к
оптимальному решения, называются
приближенными.
 Говорят, что алгоритм решает задачу с
ошибкой не более чем в раз, если
стоимость найденного им решения (С)
отличается от стоимости оптимального (С*)
не более чем в раз.
)(nρ
)(nρ
)()/,/max( **
nCCCC ρ≤

4. Приближенные алгоритмы
 Иногда, для оценки качества алгоритма
используют относительную ошибку. Говорят,
что алгоритм имеет относительную ошибку не
более , если:
 Зная легко можно оценить относительную
ошибку.
)(*
*
n
C
CC
ε≤
−
)(nε
)(nρ
1)()( −≤ nn ρε

5. Приближенные алгоритмы
 Для некоторых алгоритмов можно улучшать
качество приближения, за счет увеличения
времени их работы.
 Схемой приближения для данной
оптимизационной задачи называется
алгоритм, который, помимо условия задачи
получает положительное число и выдает
решение с относительной ошибкой не более
)(nε
)(nε

6. Приближенные алгоритмы
 Схема приближения называется полиномиаль-
ной, если для некоторого фиксированного ε
время ее работы не превосходит некоторого
полинома от размера входа (n).
 Схема приближения называется полностью
полиномиальной, если время ее работы
ограничено некоторым полиномом от n и от 1/ε,
где n-размер входа, а ε – оценка относительной
ошибки.

7. Задача о вершинном покрытии
 Вершинное покрытие – такое множество
вершин графа, что хотя бы один из концов
любого ребра соединен с вершиной входящей
в это множество.
 Размер вершинного покрытия – количество
входящих в него вершин.
 Задача требует нахождения минимально
возможного вершинного покрытия графа.

8. Задача о вершинном покрытии
void ApproxVertexCover(G){
C = {}; //пустое множество
E = G->E; // множество ребер графа
while (E != {}){
Edge uv = ExctractRandom(E);
//Берем произвольное ребро графа
C->Include(uv->node1);
C->Include(uv->node2);
//Вносим вершины, которое соединяет это ребро
//во множество C
E->RemoveEdges(uv->node1);
E->RemoveEdges(uv->node2);
//Удаляем все ребра инцидентные с вершинами
}
}

9. Задача о вершинном покрытии
Оптимальное
решение
Приближенное
решение

10. Задача о вершинном покрытии
Теорема
Алгоритм ApproxVertexCover работает с ошибкой не
чем в два раза.
Доказательство
Результатом работы алгоритма действительно является вершинное
покрытие, поскольку работа продолжается пока множество
непокрытых ребер не останется пустым.
Никакие два ребра, рассматриваемые в ходе работы алгоритма, не
имеют общей вершины, т.е. количество рассмотренных вершин
ровно в два раза больше количества рассмотренных ребер.
Кроме того, оптимальное покрытие содержит хотя бы одну
вершину инцидентную рассматриваемому ребру, т.е. количество
вершин в оптимальном решение больше либо равно количеству
рассмотренных ребер.

11. Задача коммивояжера
 Задача коммивояжера состоит в нахождении
во взвешенном графе гамильтонова цикла
минимальной стоимости (с минимальной
суммой весов ребер).
 На практике функция стоимости ребер обычно
удовлетворяет неравенству треугольника,
т.е. промежуточная «остановка» в вершине v
на пути из u в w не уменьшает его стоимости:
с(u,w)<= c(u,v) + c(v,w)

12. Задача коммивояжера
u
v
w

13. Задача коммивояжера
void ApproxTSPTour(G,c){
//выбираем произвольную вершину
root = GetRandomVertex(G);
//строим минимальное покрывающее дерево
mintree = MSTPrim(G,root);
//результатом является обход дерева с
// исключенными повторениями
path = TreeWalk(mintree);
DeleteRepetition( path);
}

14. Задача коммивояжера
a
b
c h
d
e
f g
a
b
c h
d
e
f g
Исходные данные Минимальное
покрывающее дерево
a
b
c h
d
e
f g
a b c b h b a d e f e g e d a
a b c h d e f g

15. Задача коммивояжера
a
b
c h
d
e
f g
a
b
c h
d
e
f g

16. Задача коммивояжера
Теорема
Алгоритм ApproxTSPTour решает задачу
коммивояжера с ошибкой не более чем в два
разе, если выполнено неравенство
треугольника.
Теорема
Если P≠NP и ρ>1, то не существует поли-
номиального приближенного алгоритма,
решающего общую задачу коммивояжера с
ошибкой не более чем в ρ раз.

17. Задача о суммах подмножеств
 Пусть дано некоторое множество S, состоящее
из целых чисел, и целое число t. Требуется
выяснить существует ли в S подмножество
сумма элементов которого равна t.
 Задачу можно поставить как задачу
оптимизации, требуя отыскать среди
подмножеств сумма которых не превосходит
t, наиболее близкое к t.

18. Задача о суммах подмножеств
 Для задачи можно построить алгоритм
работающий за экспоненциальное время.
 Для его реализации нужны две процедуры:
 MergeList(L1,L2) – сливает два отсортированных
списка в один отсортированный список.
 AddList(L,x) – создает список с элементами
равными сумме соответствующего элемента списка
L и числа x. Например, AddList({1,2,3,5,9},2)
выдаст результат {3,4,5,7,11}

19. Задача о суммах подмножеств
void EXPSubSetSum(S,t){
n = Length(S);
L[0] = {0};
for(i=1; i<=n; i++){
L[i] = MergeList(L[i-1],AddList(L[i-1],S[i]));
//Удаляем из L[i] элементы больше t
DeleteMoreThanT(L[i],t);
}
//возвращаем максимальный элемент из L[n]
return Maximum(L[n]);
}

20. Задача о суммах подмножеств
L[0] 0
L[1] 0 101
L[2] 0 101 102 203
L[3] 0 101 102 203 201 302 303 404
S = {101,102,201} t=308

21. Задача о суммах подмножеств
 Из приведенного алгоритма можно получить
полностью полиномиальную схему приближения,
если хранить списки не полностью, а в сокращенном
варианте.
 Степень сокращения определяется параметром δ: чем
он меньше, тем «полнее» список.
 Список L` называется δ-сокращением списка L, если
для любого элемента y из L в списке L` найдется не
превосходящий его элемент z для которого выполнено
неравенство:
δ≤
−
y
zy

22. Задача о суммах подмножеств
L = {10,11,12,15,20,21,22,23,24,29}, δ = 0.1
L`= {10,12,15,20,23,29}
void ListTrim(L,delta)
{
m = Length(L);
Ls = {L[1]};
last = L[1];
for(i=2; i<=m; i++)
if (last < (1-delta)/y[i]){
L->Add(y[i]);
last = y[i]
}
}

23. Задача о суммах подмножеств
void ApproxSubSetSum(S,t,epsilon){
n = Length(S);
L[0] = {0};
for(i=1; i<=n; i++){
L[i] = MergeList(L[i-1],AddList(L[i-1],S[i]));
L[i] = ListTrim(L[i], e);
//Удаляем из L[i] элементы больше t
DeleteMoreThanT(L[i],epsilon/n);
}
//возвращаем максимальный элемент из L[n]
return Maximum(L[n]);
}

24. Задача о суммах подмножеств
Теорема
Алгоритм AppeoxSubSetSum является
полностью полиномиальной схемой
приближения для задачи о суммах
подмножеств.
Число элементов в любом из списков не
превосходит 2
log
+
ε
tn