2. Какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие параметр. Самый трудный материал, с которым школьники сталкиваются на экзаменах,- это задачи такого типа. Научиться выбирать способ решения данных задач- в этом состоит основная задача. Особый интерес представляют задачи, связанные с определением количества решений уравнения, а именно те, где параметр можно выделить в одну из частей уравнения. Хотелось бы отметить, что обязательным условием успешного решения таких задач является овладение умениями, связанными с построениями графиков различных функций.
3. Рассмотрим некоторые задания. Задание №1 . Для каждого значения параметра а Найдите количество корней уравнения –х ² =а. Решение. У = -х ² - графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. У = а - семейство горизонтальных прямых. Определим, сколько точек пересечения графиков функций будет в зависимости от значений а. Сколько точек пересечения- столько будет и решений исходного уравнения.
4. х у У = - х ² о а о а=о а о Если а > о, то уравнение решений не имеет. Если а = о, то уравнение имеет одно решение. Если а < о, то уравнение имеет два решения.
5. Данную задачу можно сформулировать иначе, например: При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
6. Задание №2. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения ах=8. Рассмотрим уравнение: х 8 а= у = а - семейство горизонтальных прямых; 8 х у= - графиком является гипербола. Если а = о, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ о, то уравнение имеет одно решение.
7. у х о а о а=о а о 8 х У= Заметим, что с решением этой задачи учащиеся легко справляются после изучения функции к х у=
8. Задание №3. Найдите количество корней данного уравнения х ² -2х-8-а=о в зависимости от значений параметра а. Решение. Перепишем данное уравнение в виде х ² -2х-8=а у=х ² -2х-8- графиком является парабола; у=а- семейство горизонтальных прямых.
9. х у у=х ² -2х-8 а -9 о а=о а=-9 а -9 Если а < -9, то уравнение решений не имеет. Если а = -9, то уравнение имеет одно решение. Если а > -9, то уравнение имеет два решения
10. Задание №4. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения cosx+2-a=o . Решение. Перепишем данное уравнение в виде cosx+2=a. Рассмотрим графики: y=cosx+2 и y=a .
11. 1 2 3 а > 3 о П 2 -П 3П 2 -2П 1 П 2 П 3П 2 2П х У а < 1 Если а > 3 и а < 1, то уравнение решений не имеет. Если 1 ≤ а ≤ 3, то уравнение имеет бесконечно много решений.
12. Завершая разговор о роли графического метода в решении задач с параметрами, хотелось бы коснуться ещё одной, более сложной задачи из сборника для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы.
13. Задание №5. Для каждого значения а найдите количество корней уравнения | х-1 | = ах+2.
14. 1. При х 1, х-1 = ах+2, х-3 = ах : х, х ≠ о 3 х 1- = а. 2. При х 1, 1-х = ах+2, -х-1= ах : х, х ≠ о, -1- 1 х = а. Рассмотрим функцию и построим её график. 1- 3 х , если х 1, -1- 1 х , если х 1. у= у = а
15. х у а=1 1 -1 а 1 а 1 о а=-1 -1 а -1 Если а є (-1;1), то уравнение имеет два решения. Если а є (-∞; -1 ]U[ 1 ;+∞), то уравнение имеет одно решение.
