1. Задачи с параметрами Выполнила: ученица 11 «А» класса МОУ СОШ №3 Волкова Татьяна. Учитель: Сергеева Л.А.

2. Что такое параметр? Вот как определяет параметр “Энциклопедический словарь” : “Параметр (от греч. parametron- отмеривающий) в математике- величина, числовое значение которой позволяет выделить определенный элемент ( например кривую) из множества элементов того же рода. Например, в уравнении х 2 +у 2 =r 2 величина r. В уравнении ах 2 + bx+c=0 a, b, c – параметры квадратного уравнения, в уравнении mx + n>0 m и n – параметры линейного неравенства”.

3. 7 класс

4. 1.Для каждого значения параметра а найдите решение уравнения ( неравенства). а) ах =5. Решение. Если а=0, то уравнение 0•х=5 решения не имеет. Если а  0, то х = – решение уравнения. Ответ : при а= 0 х= ; при а=0 решений нет. б) ах +1 >0. Решение. ах+1 >0  ах > -1 Если а=0, решением неравенства 0•x> –1 будет любое число. При а >0 x>- . При а< 0 х < - . Ответ: при а=0 х- любое число; при а >0 x>- ; при а< 0 х < - . 5 a 5 a 1 а 1 а 1 а 1 а

5. в) а-а 2 х < -2 . Решение. а- а 2 х < -2  a 2 x > a+2. При а =0 неравенство 0• x>2 решений не имеет. Если а  то x > Ответ: при а =0 решений нет; при а  x> г) (а 2 - 4)х = (а+ 2)(а -3). Решение. При а = -2 в уравнении 0•x= 0 х– любое число. При х= 2 уравнение0•x= –4 решений не имеет. При х  ±2 x= . Ответ: при а =-2 х -любое число; при а = 2 решений нет; при а  ±2 x= a+2 a 2 a+2 a 2 а -3 а -2 а -3 а -2

6. 2. Решите уравнение = 3 Решение. Очевидно а  0. При х  2а исходное уравнение равносильно уравнению а= 6а-3х, откуда х = а. Найдем значение а, при котором х = 2а. 2а= а. Равенство возможно лишь при а=0. Ответ: при а  0 х= а; при а=0 решений нет. 5 3 a 2a-x 5 3 5 3

7. 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения 2ах- 4х-а 2 +4а-4=0 есть корни больше 1? Решение . 2ах- 4х-а 2 +4а-4=0  2(a -2)x=(a -2) 2 . При а=2 решением уравнения 0•х=0 будет любое число, в том числе и больше 1. При а  2 x= . По условию х >1, то есть >1  a >4. Ответ: при а  {2}  +  ). a-2 2 а-2 2

8. 4. Решите неравенство 4ах-5х+3>2ax+3x+11. Решение. После простейших преобразований получим неравенство, равносильное исходному (a-4)x>4. При a=4 неравенство 0•x>8 решений не имеет. При a>4x> . При a<4x< . Ответ: при a>4 x > ; при a<4 x< ; при a=4 решений нет. 4 a-4 4 a-4 4 a-4 4 a-4

9. 5. Решите уравнение =1 Решение. при x  2 исходное уравнение равносильно уравнению a+3=x–2, откуда x=a+5. Найдем значение a, при котором x=2. 2=a+5, a= –3. Ответ: при а  -3х=а+5; при a= -3 корней нет. а + 3 x-2

10. 6. Решите уравнение -х-1=а Решение. При х  1 исходное уравнение будет равносильно уравнению x 2 +a– (x– 1)(x+1)= ax–a  a+1=ax–a  ax= 2a+1. При a  0 x= . Найдем значение а, при котором х=1: =1, отсюда а= -1. Ответ: при а  -1 и а  0 х= при а=0 и а= -1 решений нет х 2 +а х-1 2а+1 а 2а+1 а 2а+1 а

11. 7. При каких значениях параметра а корни уравнения =2 будут не меньше -1? Решение. При х  -а уравнение равносильно уравнению ax+a=2x+2 (a–2)x=a. Полагая а  2, получим х= . Если же а=2, то уравнение0•x=2 решения не имеет. Найдем значения а, при которых х= -а. =–a a =-a 2 +2a a(a– 1) =0 По условию х  , то есть        Учитывая условие(1), запишем ответ: при a   ах+а х+а а а-2 а а-2 a=0 a=1. а а-2 2a-2 a-2 a–2>0, 2a–2   a–2 <0,  a   a >2, a  a <2, a  a >2 a 

12. 8. При каких значениях параметра а корни уравнения — = принадлежит отрезку [–2;1]? Решение. – =     При а=3 уравнение 0·3 =12 решений не имеет. Найдем значения а , при которых х= 0, х=а, х= -а. 0= ,отсюда а =0. а= . Полагая а  0 , получим a 3=4, a=7. -а = , -а +3 =4, а= -1. По условию -2  x  , то есть x–3 ax–x 2 x a 2 –x 2 а а 2 х -х 3 x–3 x(a–x) х а 2 -х 2 a x(а 2 -х 2 ) (a +x)(x –3)–x 2 =а, x  x  a (a– 3)x =4a, x  x   a x  x  a, a  . 4a a–3, x= 4a a–3, 4a a–3, 4a a–3,

13. 4a a–3, 4a a–3,  ,       a     Учитывая, что а  -1 и а  0, сформулируем ответ. Ответ: при а   6а -6 а-3 3а+3 а -3 a– 3> 0, 6a –6   a +3   a– 3<0, 6a –6  3a +3  a >3, a  a  a< 3, a  a 

14. 9. Решите систему уравнений Решение.   Если а=1, то в уравнении 0 · у =0у– любое число, то есть у= k, где k  R , x=1–k. Если a=–1, то уравнение 0• y= –2—решений не имеет. Если a   , то у= , х= . Ответ : при а= -1 решений нет; при а =1 , где k  R при а   x = y= . ax +y =1, x +ay =1. ax +y =1, x +ay =1. x= 1– ay, a(1 – ay) +y= 1 x= 1– ay, (a 2 –1)y =a–1. 1 а +1 1 а +1 x =1 – k, y =k, 1 а +1

15. 10. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет решение, удовлетворяющее условию х <0 , у <0 Решение . Из второго уравнения выразим х и подставим в первое уравнение a(y +a) +( a–1)у = а 2 + а  (2 a - 1)y =a. При а= уравнение 0·у = решений не имеет. При а  y= ; x= . По условию x <0, y <0. <0,    0< a < . <0, Ответ: при а  0; ax +(a– 1)y=a 2 +а, х-у =а 1 2 1 2 1 2 a 2a - 1 2a 2 2a - 1 2a 2 2a - 1 a 2a - 1 2a - 1< 0, a >0 a< a> 0 1 2 1 2 1 2

16. 11. Найдите все значения параметра а, при которых данная система не имеет решений. 2х + а 2 у= а - 2 + а 2 , х + 2у =2 Решение. Исходная система равносильна системе  Рассмотрим второе уравнение. При а = 2 решением уравнения 0• у =0, будет любое число. При а= - 2 0•у = - 4. Решения нет. Ответ: при а = - 2. х= 2 -2у, 2(2 - 2у)+а 2 = а- 2 + а 2 х= 2- 2у, (а 2 -4)у = а 2 + а - 6.

17. Конец!