десять способов решений кв. ур ий

Десять способов Решения квадратных уравнений.

Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить не сложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тотчас. ,[object Object]

Квадратные уравнения- это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В школьном курсе математике изучается формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеются десять способов решения квадратных уравнений. Подробно разберём каждый из них. ,[object Object]

1. Разложение левой части уравнения на множители. ,[object Object]

Решим уравнения x 2 +10x-24=0 . Разложим левую часть на множители: x 2 +10x-24=x 2 +12x-2x-24=x (x+12) -2 (x+12)= (x+12)(x-2). Следовательно, уравнения можно переписать так: ( x+12) (x-2)=0 Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при x=2 , а также при x=-12 . Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x 2 +10x-24=0 ,[object Object]

2. Метод выделения полного квадрата ,[object Object]

Поясним этот метод на примерах . 1.Решим уравнение x ²+6x-7=0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражения x²+6x в следующим виде. x²+6x=x²+2· x ·3. В полученном выражении первое слагаемое- квадрат числа x ,а второе- удвоенное произведение x на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 ² , так как x²+2·x·3+3²=(x+3)² Преобразуем теперь левую часть уравнения x²+6x-7=0 , прибавляя к ней и вычитая 3 ² . Имеем: x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-7=(x+3) ²-16 . Таким образом, данное уравнение можно записать так: (x+3) ²-16=0, т.е. (x+3) ²=16. Следовательно, x+3 = 4, x = 1 , или x+3 = - 4, x =-7 ,[object Object]

3. Решение квадратных уравнений по формуле. ,[object Object],[object Object],[object Object]

Решим уравнения: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

продолжение ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Формула (1)корней квадратного уравнения ax ²+bx+c=0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения(если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель который равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент. ,[object Object]

4. Решения уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной). ,[object Object]

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид: x ²+px+q=0 (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a=1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы( по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). ,[object Object]

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q>0) , то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p . Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0 , то оба корня положительны. ,[object Object],Например, а) x²-3x+2=0; x1=1 и x2 =2 , так как q=2 , 2 >0 и p=-3 , -3 <0 x²+8x+7=0; x1=-7 и x2 =-1 , так как q=7 , 7 >0 и p=8 , 8 >0 .

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q<0) , то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0 , или отрицателен, если p>0. Например, ,[object Object],б) x²+4x-5=0; x1=-5 и x2=1 , так как q=-5 , -5 <0 и p=4 , 4 >0 x²-8x-9=0; x1=9 и x2=-1 , так как q=-9 , -9 <0 и p=-8 , -8 <0

5. Решение уравнений способом «переброски» ,[object Object]

Рассмотрим квадратное уравнение ax ²+bx+c=0, где a≠0 . Умножая обе его части на a , получаем уравнение a ² x ²+ a bx+ a c=0 Пусть ax=y , откуда x= y/a ; тогда приходим к уравнению y²+by+ac=0 равносильного данному.Его корни y 1 и y 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем x 1 = y 1 /a и x 1 = y 2 /a . При этом коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. ,[object Object]

Решим уравнение 2x ² -11x+15=0, Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y²-11y+30=0 Согласно теореме Виета Ответ: 2,5; 3. ,[object Object]

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А). Пусть дано квадратное уравнение a x²+bx+c=0, где a≠0. 1. Если a +b+c =0( т.е. сумма коэффициента уравнения равна нулю), то x 1 =1 , x 2 =c/a 2. Если a - b+c =0, или b=a+c, то x 1 = - 1 , x 2 = - c/a Б). Если второй коэффициент b=2k - четное число, то формулу корней (слайд 8 формула 1) можно записать в виде ……………… В). Приведенное уравнение x ²+px+q=0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а=1, b=p и c=q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней (слайд 8 формула 1) принимает вид: ……………………………(3) Формулу (3) особенно удобно использовать когда p четное число. ,[object Object]

Решим уравнение 345 x 2 -137x-208=0. Решение. Так как a+b+c=0 (345- 137 -208 =0), то Ответ: ,[object Object],[object Object],[object Object]

Для запоминания формулы (3) для решения приведенного квадратного уравнения x ²+px+q=0 можно использовать такое стихотворение: р со знаком взяв обратным, Мы на два его разделим. И от корня аккуратно Знаком «минус», «плюс» отделим. А под корнем, очень кстати, Половина р в квадрате, Минус q – И вот решенье Небольшое уравненья:

7. Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении x ²+px+q=0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x ² = - px - q. Построим графики зависимостей y = x ² и y =-px-q. График первой зависимости- парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости- прямая .

Возможны следующие случаи: ,[object Object],[object Object],[object Object]

Решим графически уравнения x ²-3x-4=0 . ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. ,[object Object],[object Object],[object Object]

Решить уравнение x 2 -2x-3=0 ,[object Object],[object Object],[object Object]

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с. 83 (см. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. –М., Просвещение,1990). ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал- Хорезми

А вот, например, как древние греки решали уравнение y²+6y-16=0 Решение представлено на рис. , где y²+6y =16, или y²+6y +9=16+9. Решение. Выражения y²+6y +9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение y²+6y-16 +9-9=0- одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что y+3=±5, или y 1 =2, y 2 =-8( рис). y 2 3 y 3y 9

Литература. ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

десять способов решений кв. ур ий

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to десять способов решений кв. ур ий

Similar to десять способов решений кв. ур ий (20)

More from NovikovaOG

More from NovikovaOG (20)

десять способов решений кв. ур ий