01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика

Множество - набор различимых предметов,
объединенных по некоторому признаку.

{ … }
{ … , … , … , … , … }

{ … , … , … , … , … }
{ … , … , … , … , … }
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Чаще всего обозначаются большими буквами латинского алфавита: A,B,C...

{ … , … , … , … , … }
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Способы задания множеств
1) Перечисление

2) Задание посредством свойств
{................. | ……………...}
Описание структуры
объекта
“такое, что” Свойство, которым
обладает объект

{................. | ……………...}
{ цвет | ……………...}
{ страна | ……………...}
{ x | ……………...}
{ (x,y) | ……………...}
{ {.....} | ……………...}

{................. | ……………...}
{ цвет | присутствует в радуге}
{ страна | находится в Африке}
{ x | ……………...}
{ (x,y) | ……………...}
{ {.....} | ……………...}

{ x | ……………...}
{ x | x ∈ ℝ,ℕ,ℤ }
Знак принадлежности
множеству
Целые
Натуральные
Вещественные

{ x | ……………...}
{ x | x ∈ ℕ и “делится на 3” }
= {3, 6, 9, ...}

{ (x,y) | ……………...}
{ (x,y) | x ∈ {1,2,3,4,5,6}, y ∈ ℤ }

Мощность множества
A = {1,2,3,4,5,6,7}
|A| = 7
Обозначение мощности, может быть ∞

{ , , }
Подмножества
{ ∅ }
Мощность 0 1 2 3
{ }
{ }
{ }
{ , }
{ , }
{ , }
{ , , }

Действия над множествами
1) Объединение
Обозначение Смысл Пример
⋃
A⋃B
A B
A = {4, 7, 12, 25}
B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}
A⋃B = {2,4,7,12,13,25,28,30}

2) Пересечение
⋂
A⋂B
A B
A = {4, 7, 12, 25}
B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}
A⋂B = {7,12}

3) Дополнение
A
A
A = { , , }
X = {цвет | присутствует в радуге}
A = { , , , }X

Правило суммы
A B
|A⋃B| = |A|+|B|

A
BA⋂B

A
B
|A⋃B| ≠ |A|+|B|
A⋂B

A
BA⋂B
A’ B’
A = A’ ⋃ (A⋂B)
B = B’ ⋃ (A⋂B)
➕
＝
A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)

A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)
A
BA⋂B
A’ B’
|A⋃B| = |A’ ⋃ B’ ⋃ (A⋂B)| =
=|A’| + |B’| + |(A⋂B)| =
= |A - (A⋂B)| + |B - (A⋂B)| +
+ |(A⋂B)| = |A| + |B| - |(A⋂B)|
Обобщенное правило суммы: |A| + |B| - |(A⋂B)|

A B
A⋂B
1 12
Тот же результат: |A| + |B| - |(A⋂B)|

Декартово произведение
A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}

A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}
A = {1,2,3}, B = {4,5,6}
A B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}
|A B| = |A| * |B|

A B C = {(a,b,c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}
|A B C| = |A| * |B| * |C|

A B C D = {(a,b,c,d) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d ∈ D}
|A B C D| = |A| * |B| * |C| * |D|

Метод включения-исключения
|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - ...
1
1 1
22
2
3
A
B
C

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + ...
1
1 1
11
1
0
A
B
C

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|
1
1 1
11
1
1
A
B
C

{ , , }
Подмножества = Сочетания
{ ∅ }
Мощность 0 1 2 3
{ }
{ }
{ }
{ , }
{ , }
{ , }
{ , , }
Сочетания
из 3 по 0 из 3 по 1 из 3 по 2 из 3 по 3

Принцип пастуха
Если знаем количество ног -
легко посчитать количество овец

Принцип пастуха
Если знаем количество ног -
легко посчитать количество овец
Если знаем количество овец -
легко посчитать количество ног

Количество сочетаний
n-множество сочетания из n
по m
m-перестановки

n-множество сочетания из n
по m
m-перестановки
Знаем мощности

1
2
3
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)

1
2
3
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)
1 m-сочетание = m! перестановок

Свойства сочетаний

1)

1)
Соответствует полному или пустому множеству

2)

3)

3)
1 2 3 4 5 6 7

3)
1 2 3 4 5 6 7
Подмножество размера 3

3)
1 2 3 4 5 6 7

3)
Принцип биекции: если мы можем
взаимооднозначно разбить элементы двух множеств
по парам, то мощности этих множеств равны

4)

4)
Общее количество подмножеств

4)
1 2 3 4 ……………………………. n

4)
1 2 3 4 ……………………………. n
берем не берем
2

4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 2

4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 2 2

4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 2 2 2 …………………………….. 2

4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 * 2 * 2 * 2 * …………………………….. * 2

5)

5)
Количество подмножеств
четной мощности
Количество подмножеств
нечетной мощности

5)
1
1

5)
1
1
удаление/добавление единицы
удаление/добавление единицы

6)

6)
Подмножества с единицей Подмножества без единицы

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64
Уровни
0
1
2
3
4
5
6
7
8

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64
Уровни
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Диагонали
0
1
2
3
4
5
6
7
8

(0,0)
(x,y)
Все искомые пути длины x+y

(0,0)
(x,y)
Все искомые пути длины x+y
Всего путей

Задача о разбиении числа на слагаемые

Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.

Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.
Пример:
Различны, если

2 = 2 + 0 + 0
2 = 0 + 2 + 0
2 = 0 + 0 + 2
2 = 1 + 1 + 0
2 = 1 + 0 + 1
2 = 0 + 1 + 1

Перевод числа в унарную систему счисления
0 = (пустое место)
1 = 1
2 = 11
3 = 111
4 = 1111
…

8 = 3 + 2 + 0 + 3
8 = 111 + 11 + + 111
в обычной системе счисления
в унарной системе счисления

8 = 3 + 2 + 0 + 3
8 = 111 + 11 + + 111
в обычной системе счисления
в унарной системе счисления
Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет
n + m - 1 знак

Задача и о разбиении числа на слагаемые
8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления
n + m - 1 знак
……………………………………….
n+m-1 позиция, необходимо выбрать m-1, чтобы поставить “+”

8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления
n + m - 1 знак
Количество разбиений числа m на n
неотрицательных слагаемых:

Задача о сумме треугольных чисел

n 1 2 3 4 5
1 3 6 10 15

Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

1.
2.
В каждой скобке x

1.
2.
В n-1 скобке - x, в 1 - y

1.
2.
В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - y

1.
2.
В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - y
В 1 скобке - x, в (n-1) - y
В каждой скобке y

Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции

…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N

…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1

…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1 N-2

…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 2 1

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 N-K-2

…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 N-K-2 N-K-1

Перестановки с повторениями

Мультимножества
Пример (легко понять):

Мультимножества
Пример (легко понять):
Формально верно:

Перестановки с повторениями
MISSISSIPPI

Циклические перестановки

1
2
3
4
5

1
2
3
4
5
1
2
3 4
5

1
2
3
4
5
1
2
3 4
5
5
1
2 3
4

1
2
3
4
5
5
1
2 3
4
5
1
2 3
4

5
1
2
3
4

5
1
2
3
4
2
3
4
5
1
4
5
1
2
31
2
3
4
5
3
4
5
1
2

5
1
2
3
4
Общее количество перестановок с “помеченным местом”

5
1
2
3
4
Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна
без пометок

5
1
2
3
4
Количество перестановок без пометок -

5
1
2
3
4
Количество перестановок без пометок -
А если гостей больше чем мест, то

01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика

More Related Content

What's hot

Similar to 01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика

More from Roman Brovko

01 - Введение в дискретную математику. Теория множеств и комбинаторика