Лекция по теме "Система Счисления"

1. Общие понятия
Система счисления - это так называемая знаковая система, способ
записи чисел с помощью знаков, именуемых цифрами.
Самой распространенной системой счисления в нашем мире является,
конечно же, всем известная, десятичная система счисления (система с
основанием 10). И не спроста - она имеет исторические корни. Одним из
суждений является то, что наши предки использовали для счета пальцы рук,
а их, как известно, десять.
Каждый день мы с ней сталкиваемся, так как практически все числовые
записи, которые мы видим день ото дня, находятся именно в ней: цены в
магазинах, номера страниц в любимой книге, практически весь курс
арифметики и т.д. Так как эта система счисления десятичная, то,
соответственно, в ней для записи чисел используется 10 знаков (цифр), а
именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Самая младшая цифра - это 0, а самая
старшая - это 9 и она всегда на единицу меньше, чем основание (10).
Самыми распространенными системами счисления в мире
компьютеров являются двоичная, восьмеричная, десятичная и
шестнадцатеричная системы счисления.
Двоичная система счисления
В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет
число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает
число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок
и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое
натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и
единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую
другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров
двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.
Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются

2. двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле,
транзисторный ключ.
 История двоичной системы счисления
В основу поисков инженеры и математики положили двоичную
двухпозиционную - природу элементов вычислительной техники.
Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор - диод. Он
может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический
ток - «открыт», или не проводит его - «заперт». А триггер? Он тоже имеет
два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие
элементы.
Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в
ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной
машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.
Не думайте, что двоичная система - современница электронных машин.
Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно.
Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.
Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он
говорил, что «вычисление с помощью двоек ... является для науки основным
и порождает новые открытия ... При сведении чисел к простейшим началам,
каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда
называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображалась
таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась
лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно
единицы».
Формула 1 Количество информации в битах
 Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

3. Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную
чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо
обработанных компьютером значений в более понятные пользователю
десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные
достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число
представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной
системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.
Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное.
В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого,
которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам
правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
101101102 = (1·27
)+(0·26
)+(1·25
)+(1·24
)+(0·23
)+(1·22
)+(1·21
)+(0·20
) =
128+32+16+4+2 = 18210
В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование,
называется дешифратором(декодером, англ. decoder).
Дешифратор — это схема преобразующая двоичный код, подаваемый
на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор
расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической
единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.
 Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления
Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита
информации.
Таким образом, для перевода целого двоичного числа в
шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры
(тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется
меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного
двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо

4. разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе
окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.
Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную
цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей
соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.
Шестнад-
теричное
число
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Двоичная
тетрада
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Таблица 1 Таблица шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад
 Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления
Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто,
для этого нужно:
1. Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр),
начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие
разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями
слева.
1. Под каждой триадой двоичного числа записать
соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей
таблицы.
Восьмеричное
число
0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичная триада 000 001 010 011 100 101 110 111
Таблица 2 Таблица восьмеричных чисел и двоичных триад

5. Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления — это позиционная система
счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе
используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).
Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и
шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной
технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась
в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).[17]
Широкое применение восьмеричной системы в электронной
вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий
перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все
цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных
триплетов (Таблица 4).
 История восьмеричной системы счисления
История: возникновение восьмеричной системы связывают с такой
техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между
ними (их всего восемь).
В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному
шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую
систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для
людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой
счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8.
Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести
ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.
 Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число
представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной

6. системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного
числа.
Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное.
В этом числе 4 цифры и 4 разряда ( разряды считаются, начиная с нулевого,
которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам
правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:
23578 = (2·83
)+(3·82
)+(5·81
)+(7·80
) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310
 Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления
Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую
цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр
триаду(Таблица 4).
 Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления
Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно
каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр
тетраду.
Шестнадцатеричная система счисления
Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.
Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются
десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения
цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).[26]
Широко используется в низкоуровневом программировании и
компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах
минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого
удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

7. В стандарте Юникода номер символа принято записывать в
шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости —
с ведущими нулями).
Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в
шестнадцатеричном виде.
 История шестнадцатеричной системы счисления
Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской
корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-
совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между
компонентами компьютера) единицей информации является байт,
состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра,
цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное
слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать
систему с основанием 16.[28]
 Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления
Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления
двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру
шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в
случае положительных чисел). Отметим только, что каждое
шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4
разрядов (в сторону старших разрядов).
 Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это
число представить в виде суммы произведений степеней основания
шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в
разрядах шестнадцатеричного числа.

8. Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в
десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды
считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В
соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы
степеней с основанием 16:
F45ED23C16 =
(15·167
)+(4·166
)+(5·165
)+(14·164
)+(13·163
)+(2·162
)+(3·161
)+(12·160
) =
409985490810
 Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления
Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную
систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное,
затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют
триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе.
Позиционные системы счисления
Рассмотренные выше системы счисления являются позиционными, т.к.
вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в числе. Также у
любой позиционной системы счисления есть свое основание, их мы с вами
рассмотрели выше. Например, про десятичное число 537 (основание 10)
можно сказать, что цифра 7 находиться в позиции единиц, цифра 3 - в
позиции десятков, а цифра 5 - в позиции сотен. Также обратите внимание на
то, что значения этих позиций равны основанию системы счисления (в
нашем случае 10), возведенному в степень, начинающуюся с нулевой и
увеличивающуюся на 1 при перемещении в числе на одну позицию влево.
Давайте теперь для сравнения рассмотрим двоичное число. Возьмем
для примера число 101. Про него можно сказать, что его первая правая цифра
(1) находиться в позиции единиц, следующая цифра (0) - находиться в
позиции двоек, и последняя самая левая цифра (1) - записана в позиции

9. четверок. Если двоичное число будет более длинным, то следующая цифра
будет записана в позиции восьми, слеюующее в позиции шестнадцати, далее
- позиция тридцати двух, шестидесяти четырех, сто двадцати восьми и т.д.
Восьмеричное число 348 состоит из: 8 - находиться в позиции единиц,
4 - находиться в позиции восьми, 3 - находиться в позиции шестидесяти
четырех.
Шестнадцатеричное число 8AF состоит из: цифра F расположена в
позиции единиц, A - в позиции шестнадцати, а 8 - в позиции двухсот
пятидесяти шести.