Лекция 13 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 2

1. Анализ комбинаторных
алгоритмов
Лекция № 13
Теоретико-числовые алгоритмы
Часть II

2. Китайская теорема об остатках
Теорема
Пусть n = n1*n2*…*nk, причем числа
n1,n2… попарно взаимно просты. Задано
соответствие a↔(a1,a2,…,ak), где a
принадлежит Zn, a1 - Z1и т.д. Данная
формула определяет однозначное
соответствие между Zn и декартовым
произведением Z1xZ2x…xZk

3. Китайская теорема об остатках
Следствие
Если a↔(a1,a2,…,ak) и b↔(b1,b2,…,bk):
1) (a+b) mod n ↔ ((a1+b1) mod n1, …..)
2) (a-b) mod n ↔ ((a1-b1) mod n1, …..)
3) (ab) mod n ↔ ((a1b1) mod n1, …..)
Следствие
Если n1,n2…nk попарно взаимно просты,
то равенство a ≡ x mod n равносильно
системе уравнений вида a ≡ x mod ni.

4. Китайская теорема об остатках
a ≡ 2 (mod 5)
a ≡ 3 (mod 13)
a ≡ x (mod 65)
x - ?
mi=n/ni : m1 = 13, m2 = 5
m1-1
=13-1
(mod 5) = -13 (mod 5) = 2
m2-1
= 5-1
(mod 13) = -5 (mod 13) = 8
сi = mi (mi
-1
mod ni) : с1=13*2 =26, c2= 5*8=40
a ≡ (a1c1+a2c2+…+akck) (mod n)
a ≡ 2*26 + 3*40 (mod 65) = 42 (mod 65)

5. Степени элемента
Рассмотрим в мультипликативной группе
последовательность степеней элемента
a: a0
,a1
,a2
… Всегда верно утверждение a0
mod n = 1.
Теорема (Эйлера)
аφ(n)
≡ 1 (mod n), для a из Z*n
Теорема (малая теорема Ферма)
Если p – простое a p-1
≡ 1 (mod n), для a из
Z*n (a p
≡ a (mod n))

6. Степени элемента
Если порядок элемента g равен |Z*n |, g
называют примитивным корнем или
образующей Z*n .
Если группа имеет образующую ее
называют циклической.
Теорема
Группа Z*n является циклической тогда и
только тогда, когда n равно 2, 4, имеет
вид pk
или 2pk
(где p>2 – простое число, k
– положительное целое)

7. Степени элемента
Теорема (о дискретном логарифме)
Пусть g – образующая Z*n, тогда
сравнение gx
≡ gy
(mod n) равносильно
сравнению x ≡ y (mod φ(n))
Теорема
При простом p>2 и положительном
целом k уравнение x2
≡ 1 (mod pk
) имеет
два решения x = 1 и x = -1.

8. Степени элемента
Пусть надо вычислить ab
mod n. b[0..k] –
битовая запись числа b.
void ModExp(a,b,n){
c = 0; d = 1;
for (i=k;i<=0;i--){
c = 2*c;
d = (d*d) % n;
if (b[i]=1){c = c+1; d = (d*a)%n;}
}
return d;
}

9. Степени элемента
79
mod 561 = 316
i 3 2 1 0
B 1 0 0 1
C 1 2 4 9
D 7 49 157 316

10. Криптосистема RSA с открытым ключом
Криптосистемы с открытым ключом
позволяют обмениваться секретными
сообщениями по открытому каналу, не
договариваясь заранее о ключе шифра.
Кроме того, методы используемые в
криптосистемах позволяют также
добавить к сообщению цифровую
подпись, удостоверяющую что
сообщение не фальсифицировано.

11. Криптосистема RSA с открытым ключом
При использовании криптосистем с
открытым ключом каждый участник
переговоров имеет два ключа:
Открытый (public key, Pk) - сообщается
остальным участникам или вообще всем
желающим.
Секретный (secret key, Sk) – хранится в
секрете, не открывается никому.

12. Криптосистема RSA с открытым ключом
Каждый ключ задает некоторую
перестановку множества возможных
сообщений D, которая обозначается
P() или S().
Пара ключей одного участника
должна задавать взаимообратные
переста-новки, т.е. M = S(P(M))
должно быть выполнено для любого
M – сообще-ния из D.

13. Криптосистема RSA с открытым ключом
Процесс пересылки сообщения в
криптосистеме с открытым ключе
происходит так:
B узнает открытый ключ A – Pa
B зашифровывает свое сообщение M –
C = Pa(M) – и отсылает его A.
A получает сообщение C и
расшифровывает его – M = Sa(C)

14. Криптосистема RSA с открытым ключом
Подписать сообщение цифровой
подписью можно следующим образом:
A вычисляет цифровую подпись σ=Sa(M)
A отсылает B пару (M, σ)
B получает пару (M, σ)
B удостоверяется в подлинности
сообщения, проверив равенство M=Pa(σ)

15. Криптосистема RSA с открытым ключом
Pa SaM M
C=Pa(M)
Шифрование с открытым ключом
PaPa
M M
M, σ
Цифровая подпись
σ = Sa(M) Pa(σ) = M?

16. Криптосистема RSA с открытым ключом
Криптосистема RSA основана на том
обстоятельстве, что в настоящее время
известны эффективные алгоритмы
поиска больших простых чисел, но не
известно приемлемого по времени
алгоритма разложения произведения
двух больших простых чисел на
множители.

17. Криптосистема RSA с открытым ключом
Этапы построения ключей криптосис-
темы RSA:
 Взять два больших простых числа p и q
 Вычислить n = pq
 Взять небольшое нечетное число e взаимно
простое с φ(n)
 Вычислить d = e-1
mod φ(n)
 Составить пару P = (e, n) – открытый ключ
 Составить пару S = (d, n) – секретный ключ

18. Криптосистема RSA с открытым ключом
Множеству допустимых сообщений D
соответствует Zn.
Открытому ключу соответствует
преобразование:
P(M) = Me
mod n
Секретному ключу соответствует
преобразование:
S(C) = Cd
mod n

19. Криптосистема RSA с открытым ключом
Для ускорения вычислений на
практике цифровая подпись
вычисляется не для всего сообщения,
а для некоторой хеш-функции от него
h(M), дающей в результате
небольшое по размеру значение.