2. Определение системы счисления Определение № 1. Набор символов, правил счета и записи чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему счисления. Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы - цифрами.
3. Непозиционные системы счисления Определение № 2. В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных системах счисления (например, римской) - от взаимного расположения цифр .
4. Позиционные системы счисления Определение № 3. В позиционных системах счисления вес цифры в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами. Собственным весом цифры назовем значение одноразрядного числа записанного только с помощью этой одной цифры.
5. Основание системы счисления Определение № 4. Число q , равное количеству различных цифр в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления. В алфавите арабской системы счисления q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления.
6. Запись чисел с фиксированной точкой Запись ч исл а N q в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с фиксированной точкой : a n a n-1 .. . а 1 a o . a -1 a -2 ... a -m , где a n , a n -1 ,..., a 1 , а o , a -1 , a -2 ,..., a - m - цифры из алфавита А; п. п - 1,..., 1, 0, -1,-2, ...,-т - номера разрядов . Разделительная точка Старший разряд Младший разряд
7. Запись чисел с фиксированной точкой. Определения 5-7. 5. Разряды с номерами, которые больше или равны нуля , образуют целую часть числа . Разряды с номерами, меньшими нуля , образуют дробную часть числа . В записи числа эти части числа отделяются разделительной (дробной) точкой . 6. Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа. 7. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают ноль.
8. Запись чисел с плавающей точкой Запись ч исл а N q в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с плавающей точкой : a n a n-1 .. . а 1 a o . a -1 a -2 ... a -m q k , где a n , a n -1 ,..., a 1 , а o , a -1 , a -2 ,..., a - m - цифры алфавита А; п , п - 1,..., 1, 0, -1, -2, ..., -т - номера разрядов , k – абсолютный порядок числа. Пример: 0.035 10 99 = 0.35 10 98 = 0.0035 10 100 .
9. Применение систем счисления в ЭВМ Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из двух цифр: 0 и 1 . Основанием двоичной системы счисления является число два. Восьмеричная система счисления имеет алфавит из восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Основанием восьмеричной системы является число восемь. Д есятичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из д есяти цифр: 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Основанием двоичной системы счисления является число десять . Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит из шестнадцати цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a , b , c , d , e , f . Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать.
10. Запись чисел в системах счисления с основанием 2, 8. 10 и 16. Основная таблица. f 15 17 1111 7 7 7 111 e 14 16 1110 6 6 6 110 d 13 15 1101 5 5 5 101 c 12 14 1100 4 4 4 100 b 11 13 1011 3 3 3 11 a 10 12 1010 2 2 2 10 9 9 11 1001 1 1 1 1 8 8 10 1000 0 0 0 0 16 10 8 2 16 10 8 2
11. Перевод чисел из одной СС в другую СС 10 16 8 2 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4
12. Пример перевода из двоичной СС Выполнить перевод числа 101101 2 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления: 5 4 3 2 1 0 101101 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 +1 2 2 + 0 2 1 +1 2 0 = = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45 10.
13. Проверка решения. Перевод из десятичной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: 45:2 = 22 (1); 22:2 = 11 (0); 11:2 = 5 (1); 5:2 = 2 (1); 2:2 = 1 (0). Запишем число в двоичной системе счисления: 45 10 = 101101 2. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 101101 2 = 45 10 .
14. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления Выполнить перевод числа 1 dc 16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 2 1 0 1 dc 16 = 1 16 2 + 13 16 1 +12 16 0 = 256+208+12 = 476 10. Проверим результат перевода: 1.) 476:16 = 29 (12); 2.) 29:16 = 1 (13). Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 476 10 = 1 dc 16. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1 dc 16 = 476 10 .
15. Пример перевода чисел из двоичной СС в восьмеричную СС Выполнить перевод числа 1011 1 1 2 из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления: Разобьем исходную запись числа на триады двоичных разрядов: 1011 1 1 101 1 1 1. Поставим в соответствие каждой триаде восьмеричную цифру: 101 2 5 8 ; 101 2 7 8. Запишем число: 1011 1 1 2 = 5 7 8 .
16. Проверка решения. Перевод из восьмеричной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: Поставим в соответствие каждой восьмеричной цифре триаду: 5 8 101 2 ; 7 1 1 1 2 ; Запишем число: 5 7 8 = 1011 1 1 2 . Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1011 1 1 2 = 5 7 8.
17. Пример перевода дробных чисел Перевести 17.97 10 из десятичной системы счисления в восьмеричную систем у счисления и обратно из полученн ого представлени я числа в десятичную систему счисления. Перевод производить с точностью до 3 знаков. Сравнить результаты, полученные после «обратного» перевода в десятичную систему счисления с исходным десятичным числом. Определить относительную ошибку перевода.
18. Перевод в восьмеричную систему 1. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 1.1. Переводим целую часть числа: 1) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода. Итак, 17 10 = 21 8 1.2. Переводим дробную часть числа: 1) 0.97 8 = 7.76 (7); 2) 0.76 8 = 6.08 (6); 3) 0.08 8 = 0.64 (0); Итак, 0.97 10 = 0.760 8 Таким образом, 17.97 10 = 21.760 8
19. Перевод из восьмеричной в десятичную систему 4 Выполним перевод числа 21.760 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 1 0 -1-2-3 21.760 8 = 2 8 1 + 1 8 0 + 6 8 -2 + 0.8 -3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 = 17.96875 10 . Запишем искомое число: 21.760 8 = 17.96875 10 Имеем: 17.97 0 ≠ 17.96875 .
