Лекция 2 Сортировки, поиск и порядковые статистики

1. Анализ комбинаторных
алгоритмов
Лекция №2
Сортировки, поиск и
порядковые статистики

2. Сортировка. Общие понятия
 Задача сортировки получает на входе
последовательность и в
результате выдает перестановку ,
такую что
 Обычно сортируются не отдельные числа, а
целые записи. При этом поле, по которому
производится сортировка, называется ключом,
а остальные поля – дополнительными.
),,,,( 321 naaaa 
naaaa ′≤≤′≤′≤′ 321
),,,,( 321 naaaa ′′′′ 

3. Сортировка. Общие понятия
 Алгоритмы сортировки, которые не требуют
выделения дополнительного массива для
промежуточного хранения данных, часто
называют алгоритмами сортировки без
дополнительной памяти.
 Если предполагается, что все данные
алгоритма помещаются в оперативной памяти,
то говорят о внутренней сортировке.

4. Сортировка. Общие понятия
При оценке качества алгоритма сортировки
рассматривают две основные величины:
среднее количество сравнений и среднее
количество перестановок.

5. Для алгоритма «пузырьковой» сортировки верно, что
как в худшем, так и в лучшем случае.
Алгоритм №1.
«Пузырьковая» сортировка.
Исходный
массив
d c a b
1-ый проход a d c b
2-ой проход a b d c
3-ий проход a b c d
void Buble_Sort(n, A)
{
for(i=1; i<n; i++){
for(j = n-1; j>=i; j--){
if (A[ j-1 ] > A[ j ]) {
key = A[ j-1];
A[ j-1] = A[ j ];
A[ j ] = key; }
}
)()( 2
nOnT =

6. Алгоритм №2.
Сортировка отбором.
Для алгоритма сортировки отбором верно, что
как в худшем, так и в лучшем случае. Однако число
перестановок для данного алгоритма пропорционально n log n.
Исходный
массив
d c a b
1-ый проход a c d b
2-ой проход a b d c
3-ий проход a b c d
)()( 2
nOnT =

7. Алгоритм №2.
Сортировка отбором.
void Select_Sort(n, A) {
for(i=0; i<n; i++){
c = i; t = A[ i ]; exchange=0;
for(j = i+1; j<n; j++){
if (A[ j ]<t) {
c = j;
t = A[ j ];
exchange = 1;}
}
if (exchange==1) {
A[ c ] =A[ i ];
A[ i ] = t; } }
}

8. Алгоритм №3.
Сортировка методом Шелла.
Исходный
массив
f d a c b e
1-ый проход c b a f d e
2-ой проход a b c d e f
Результат a b c d e f

9. Алгоритм №3.
Сортировка методом Шелла.
 Сортировка Шелла более эффективна, чем
ранее рассмотренные методики, поскольку
сдвигаемые элементы быстро попадают на
свои места. Среднее время работы
В худшем случае время работы .
 Последовательность изменения приращений
может меняться. Хорошо зарекомендовала
себя последовательность 9, 5, 3, 2, 1.
)()( 25.1
nOnT =
)()( 5.1
nOnT =

10. Алгоритм №3.
Сортировка методом Шелла.
st = { 9,5,3,2,1 }
void Shell_Sort(n, A) {
for(k=0; k<5; k++){
gap = st[ k ];
for( i=gap; i<n; i++){
x = A[ i ];
for ( j=I - gap; x<A[ j ] && j>=0; j = j - gap)
A[ j + gap] = A[ j ];
A[ j + gap ] = x;
}
}
}

11. Выбор метода сортировки.
 Необходимый метод сортировки всегда
выбирается исходя из контекста задачи.
 При сортировке массивов больших размеров
лучше использовать метод Шелла или
быструю сортировку. На небольших
массивах лучшие результаты могут показать
алгоритмы сортировки вставками, выбором
и даже пузырьковая сортировка.

12. Выбор метода сортировки.
 Существует ряд методов сортировки,
позволяющих сортировать массивы за меньшее
время, при условии, что заранее известна
структура сортируемых объектов.
 Для сортировки последовательности чисел
используются алгоритмы сортировки
подсчетом, вычерпыванием и цифровой
сортировки, обеспечивающих среднее время:
)()( nOnT =

13. Алгоритм №4.
Сортировка подсчетом.
 Алгоритм применим, если каждый элемент
сортируемой последовательности – целое
положительное число, не превосходящее
заранее известное k.
 Идея алгоритма в том, чтобы для каждого
элемента X подсчитать сколько элементов
входной последовательности больше него, а
затем вставить его в нужное место выходного
массива.

14. Алгоритм №4.
Сортировка подсчетом.
void Counting_Sort(n, A, B) {
for(i=0; i<k; i++){ C[ i ] = 0; }
for(i=0; i<n; i++){ C[ A[ i ] ] = C[ A[ i ]]+1 };
for(i=1; i<k; i++){ C[ i ] = C[ i ]+C[ i-1 ] };
for(i = n; i>=0; i--) {
B [ C[ A[ i ] ] ] = A[ i ];
C [ A[ i ] ] = C[ A[ i ] ] -1;
}
}

15. Поиск.
 Нахождение информации в неотсортированном
массиве требует последовательного поиска,
начиная с первого элемента и завершая его при
нахождении совпадения или достижении конца
массива. Этот процесс также называют
линейным поиском.
 Усовершенствовать алгоритм поиска можно,
если входная последовательность будет
отсортирована.

16. Алгоритм №5.
Бинарный поиск.
void Binary_Search(A, n, key) {
low = 0; high=n-1;
while(low<=high){
mid = (low+high)/2;
if(key<A[mid]) high=mid-1;
else if (key>A[mid]) low=mid+1;
else return mid;
}
return -1;
}

17. Порядковые статистики.
 Если расположить элементы входной
последовательности по возрастанию, i-ый по
счету ее элемент называется i-той
порядковой статистикой.
 Минимум последовательности – 1-ая
порядковая статистика.
 Максимум последовательности – n-ая
порядковая статистика.
 Медиана – элемент, находящийся посредине
между максимумом и минимумом.