Downloaded 35 times
More Related Content
รวมเอกสารแนะแนวทาง
- 1. เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย แบบรูปและความสัมพันธ์ แบบรูป (pattern) แบบรูปเป็นหนึ่งในกลยุทธ์สาคัญที่เป็นพื้นฐานในการช่วยคิด แก้ปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจาวัน โดยที่เราได้เคยพบเห็นและได้ผ่านการใช้กระบวนการคิด วิเคราะห์ด้วยเหตุผลกับแบบรูปในลักษณะต่างๆกันมานานแล้ว เพียงแต่ยังไม่เห็นความสาคัญที่ จะหยิบยกมากล่าวถึงกันอย่างจริงจัง ซึ่งแบบรูปที่จะกล่าวถึงนี้เป็นการนาเสนอแบบรูป ในลักษณะต่างๆ เพื่อให้นักเรียนได้เห็นรูปแบบของการจัดลาดับและการกระทาซ้าอย่างต่อเนื่อง และเพื่อเป็นการกระตุ้นให้นักเรียนได้ใช้การสังเกต การวิเคราะห์ และการให้เหตุผลในการบอก ความสัมพันธ์ของสิ่งต่างๆที่สังเกตได้ และสามารถอธิบายความสัมพันธ์ต่างๆที่พบเห็นได้อย่าง ถูกต้องจนถึงขั้นสรุปเป็นกฎเกณฑ์ และสามารถนาความรู้เรื่องแบบรูปไปใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ตลอดจนสามารถสร้างแบบรูปขึ้นเองได้โดยใช้ความคิดสร้างสรรค์ การคิดหาหรือสรุปแบบรูปของ ความสัมพันธ์นั้นสามารถคิดได้หลากหลายไม่มีข้อจากัดว่าถูกหรือผิดตายตัว ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการคิด การให้เหตุผล และประสบการณ์ของผู้มอง แบบรูปอาจปรากฏให้เห็นในลักษณะต่างๆกัน เช่น รูปภาพ จุด เส้น ประโยค ตัวเลข สัญลักษณ์ต่างๆ เป็นต้น ความสัมพันธ์ (relation) ในชีวิตประจาวันเราจะพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างคน สัตว์ สิ่งของ ฯลฯ มากมายหลายความสัมพันธ์ ซึ่งแต่ละความสัมพันธ์จะแตกต่างกันออกไปขึ้นกับว่า เราเป็นผู้กาหนดว่าจะใช้เงื่อนไขใดเป็นตัวกาหนดให้เกิดความสัมพันธ์กันในรูปแบบใด ตัวอย่างที่ 1 สถานการณ์ปูกระเบื้อง รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 จากวิธีปูกระเบื้องในรูปพบว่า ถ้าเรียงกระเบื้องลายทาง 1 แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด 8 แผ่นล้อมรอบกระเบื้องลายทาง ถ้าเรียงกระเบื้องลายทาง 2 แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด 10 แผ่นล้อมรอบกระเบื้องลายทาง
- 2. 2 คาถาม 1.จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่นถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 4 แผ่น 2. จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่นถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 7 แผ่น 3. ถ้ามีกระเบื้องลายจุด 100 แผ่น กระเบื้องลายทางด้านในจะมีกี่แผ่น 4. ถ้าใช้กระเบื้องลายทาง n แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่น วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างกระเบื้องลายทางและกระเบื้องลายจุดสามารถนามาเขียน ความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ถ้าเราจัดเขียนเป็นความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. ถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 4 แผ่น ต้องใช้กระเบื้องลายจุด ……………………...แผ่น 2. ถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 7 แผ่น ต้องใช้กระเบื้องลายจุด ……………………...แผ่น 3. ถ้ามีกระเบื้องลายจุด 100 แผ่น สามารถหาจานวนกระเบื้องลายทางได้ดังนี้ ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 4. ถ้าใช้กระเบื้องลายทาง n แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด ………………………..……...แผ่น
- 3. 3 ตัวอย่างที่ 2ไม้ขีดไฟ รูปข้างบนเกิดจากการนาก้านไม้ขีดไฟมาเรียงต่อกัน ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 1 ด้านร่วมกัน 1. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 6 รูป 7 รูป 8 รูป 9 รูป และ 10 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมดกี่ก้าน 2. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 100 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมดกี่ก้าน วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ถ้าเราเขียนเป็นความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. คาตอบ 1. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 6 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 7 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 8 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 9 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน และถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 10 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน 2. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 100 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
- 4. 4 ตัวอย่างที่ 3จานวนจริง 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , … จากชุดของจานวนจริงที่กาหนดให้จงหาจานวนในลาดับต่อไปอีก 3 ลาดับ วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. สรุป ความสัมพันธ์ (relation) เกิดจากสองสิ่งใดๆ ที่มีความเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์ หรือเงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่ง แบบรูป (pattern) เป็นความสัมพันธ์ที่แสดงลักษณะร่วมกันของชุดของจานวน รูปเรขาคณิตหรืออื่นๆ เราสามารถคิดพิจารณาเพื่อหาความสัมพันธ์ของแบบรูปที่กาหนดให้
- 5. 5 เอกสารแนะแนวทางที่ 2เรื่องสมการเชงิเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย แบบรูปและความสัมพันธ์ สถานการณ์เก่งซอื้ข้าวสาร พิจารณาปัญหาต่อไปนี้ เก่งสงั่ซือ้ข้าวสารจากร้านค้า ราคาถุงละ 80 บาท และให้ทางร้านนามาส่งที่บ้าน ซึ่งต้องเสียค่าส่งเที่ยวละ 50 บาท ถ้าเขาจ่ายเงินซือ้ข้าวสารครัง้นีไ้ปทัง้หมด 690 บาท อยากทราบว่าเก่งซือ้ข้าวสารกี่ถุง วิธีหาคาตอบอาจหาจานวนข้าวสารโดยวิธีลองหาจานวนเงินที่จ่าย เมื่อเพิ่มจานวน ข้าวสารทีละถุงจนกว่าจะได้ 690 วิธีนีจ้ะต้องหาจานวนเงินถึง 8 ครัง้ จึงจะได้ 690 ดังตาราง ซึ่งทาให้เสียเวลามาก จานวนข้าวสาร (ถุง) ค่าข้าวสาร (บาท) ค่าส่ง (บาท) จา นวนเงินที่จ่าย (บาท) 1 80×1 50 (80×1)+50=130 2 80×2 50 (80×2)+50= 210 3 80×3 50 (80×3)+50= 290 4 80×4 50 (80×4)+50= 370 5 80×5 50 (80×5)+50= 450 6 80×6 50 (80×6)+50= 530 7 80×7 50 (80×7)+50= 610 8 80×8 50 (80×8)+50= 690 n 80×n 50 (80×n)+50 ในทางคณิตศาสตร์เราจะหาแบบรูปของความสัมพันธ์ระหว่างจานวนข้าวสารกับ จานวนเงินที่จ่าย เมื่อ n แทนจานวนข้าวสารเป็นถุง จานวนเงินที่จ่ายเป็นค่าข้าวสาร n ถุง จะเท่ากับ (80×n)+50
- 6. 6 ถ้าจานวนเงินที่จ่ายเป็น 690บาท เราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์เพื่อหา จานวนข้าวสารได้ดังนี้ (80×n)+50= 690 เรียกประโยคนีว้่า สมการ จาก สมการ (80×n)+50= 690 เมื่อแทน n ด้วย 8 จะได้ (80×8)+50=640+50 690 ดังนัน้ เก่งซือ้ข้าวสารมา 8 ถุง ในการหาคาตอบของเก่งดังตารางข้างต้นนีเ้ป็นการลองแทนค่า n ด้วย 1, 2, 3, 4, ..., 8 ในสมการ (80×n)+50= 690 จนเมื่อแทน n ด้วย 8 จึงทาให้สมการ (80×n)+50= 690 เป็นจริง สมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ เช่น (80×n)+50= 690 เป็นสมการที่มี n เป็นตัวแปร และ 3 – 5 = -2 เป็นสมการที่ไม่มีตัวแปร สมการ เป็นประโยคที่แสดงการเท่ากันของจานวนโดยมีสัญลักษณ์ = บอกการเท่ากัน
- 7. 7 เอกสารแนะแนวทางที่ 3เรื่องสมการเชงิเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย คา ตอบของสมการ คา สั่ง จงพิจารณาว่าสมการเป็นจริงหรือไม่ เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยค่าต่างๆที่กาหนดให้ใน ตารางต่อไปนี้ สมการ ค่าของตัวแปร แทนค่าตัวแปร สมการ เป็นจริง ไม่เป็นจริง x - 9 = -3 -2 (-3 ) - 9 -3 - 0 0 - 9 -3 3 3 - 9 -3 6 6 - 9 = -3 y + 5 = 1 -6 -4 2 6 จากตารางข้างต้น จานวนที่นาไปแทนตัวแปร x และ y ในสมการแล้วทาให้สมการ เป็นจริงคือคาตอบของสมการนนั่เอง จากตาราง สามารถสรุปความหมายของ “คาตอบของสมการ” ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่1 จงหาคาตอบของสมการ a + 7 = 2 โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร วิธีทา เนื่องจาก (-9)+ 7 = 2 เมื่อแทน a ด้วย -9 ใน a + 7 = 2 แล้วจะได้สมการเป็นจริง ดังนัน้ คาตอบของสมการ a + 7 = 2 คือ -9 คาตอบของสมการ คือ ................................................................................................
- 8. 8 ตัวอย่างที่ 2จงหาคาตอบของสมการ b 2- 4 = 12 โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร วิธีทา เนื่องจาก (4) 2- 4 = 12 เมื่อแทน b ด้วย 4 ใน b 2- 4 = 12 แล้วจะได้สมการเป็นจริง เนื่องจาก ( 4) 4 12 2 เมื่อแทน b ด้วย -4 ใน b 2- 4 = 12 แล้วจะได้สมการเป็นจริง ดังนัน้ คาตอบของสมการ b 2- 4 = 12 คือ 4 และ -4 ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาตอบของสมการ c + 5 = 5 + c โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน c ด้วยจานวนใดๆ ใน c + 5 = 5 + c แล้วจะได้สมการ เป็นจริงเสมอ ดังนัน้ คาตอบของสมการ c + 5 = 5 + c คือ จานวนทุกจานวน ตัวอย่างที่ 4 จงหาคาตอบของสมการ 2 + d = d โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร วิธีทา เนื่องจาก ไม่มีจานวนใดแทน d ใน 2 + d = d แล้วทาให้สมการเป็นจริง ดังนัน้ ไม่มีจานวนใดเป็นคาตอบของสมการ 2 + d = d จากตัวอย่างที่ 1, 2, 3 และ 4 สามารถจาแนกสมการได้ ...... แบบ ตามลักษณะ คาตอบของสมการ ดังนี้ ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................
- 9. 9 เอกสารแนะแนวทางที่ 4การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ในการแก้สมการ นอกจากจะใช้วิธีการแทนค่าตัวแปรเพื่อหาคา ตอบของสมการแล้ว เพื่อความรวดเร็วเราสามารถใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยในการหาคา ตอบ ได้แก่ 1. สมบัติสมมาตร การเขียนประโยคแสดงการเท่ากันของจา นวน 2 จา นวน สามารถเขียนได้ 2 แบบ ตัวอย่างเช่น 1. x = 3 หรือ 3 = x 2. -3 + x = 1 หรือ 1 = -3 + x 3. 2 p = -11 หรือ -11 = 2 p 4. s = t + 1 หรือ t + 1 = s 5. a + b = c หรือ c = a + b การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติสมมาตร ซึ่งกล่าวว่า 2. สมบัติถ่ายทอด การเขียนประโยคแสดงการเท่ากันของจา นวนตั้งแต่ 2 จา นวนขึ้นไป โดยใช้สมบัติของ การเท่ากันทา ให้ได้ข้อสรุป ดังตัวอย่างเช่น 1. ถ้า 2 = x และ x = y แล้วจะสรุปได้ว่า 2 = y หรือ y = 2 2. ถ้า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ความยาวด้าน 2 และ ความยาวด้าน 2 = 64 แลว้ จะสรุปได้ว่า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 64 3. ถ้า a + b = c และ c = 6 แล้วจะสรุปได้ว่า a + b = 6 4. ถ้า pq r และ r 2s 1 แล้วจะสรุปได้ว่า pq 2s 1 5. ถ้า x y และ y z แล้วจะสรุปได้ว่า x z การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติถ่ายทอด ซึ่งกล่าวว่า การแก้สมการ คือ ……………………………… ถ้า a b แล้ว b a เมื่อ a และ b แทนจา นวนใดๆ ถ้า a b และ b c แล้ว a c เมื่อ a, b และ c แทนจา นวนใดๆ
- 10. 10 จงเติมข้อความลงในช่องว่างให้สมบูรณ์ 1)ให้ 2x 2 1 ดังนั้น 2x ............... 2) ให้ p q และ q 4 ดังนั้น ............... = 4 3) ให้ 2a 1 b ดังนั้น b = ………… 4) ให้ s 4 t และ t 7 ดังนั้น s 4 ................ 5) ให้ y x 8 เมื่อ y 0 ดังนั้น y 8 .............. 6) ให้ 2b a 1 ดังนั้น ............... 2b a 7) ให้ xy 11 และ z 11 ดังนั้น xy ............... 8) ให้ p 5 q ดังนั้น q .............. 9) ให้ m 3n 5 2 ดังนั้น .................. m 5 2 10) ให้ y x 2 1 และ 12 y ดังนั้น 2x 1 ................ 3. สมบัติการบวก ถ้ามีจา นวน 2 จา นวนที่เท่ากัน เมื่อนา จา นวนหนึ่งมาบวกกับแต่ละจา นวนที่เท่ากันนั้น ผลลัพธ์จะได้เท่ากัน เช่น 1. ถ้า x = -5 แล้ว x - 3 = -5 - 3 2. ถ้า 22 4 แล้ว 223 43 3. ถ้า 5y 4 7 แล้ว 5y 4(4) 7 (4) 4. ถ้า p q แล้ว p(r) q(r) การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติการบวก ซึ่งกล่าวว่า หมายเหตุ จา นวนที่นา มาบวกกับแต่ละจา นวนที่เท่ากันนั้น อาจเป็นจา นวนบวกหรือจา นวนลบก็ได้ การบวกแต่ละจา นวนที่เท่ากันด้วยจา นวนลบ ก็คือการนา จา นวนบวกมาลบออกจากทั้ง สองจา นวนที่เท่ากันนั้นเอง ดังนี้ ถ้า a b แล้ว ac bc เมื่อ a, b และ c แทนจา นวนใดๆ ถ้า a b แล้ว ac bc เมื่อ a, b และ c แทนจา นวนใดๆ
- 11. 11 4. สมบัติการคูณ ถ้ามีจา นวน 2 จา นวนที่เท่ากัน เมื่อนา จา นวนหนึ่งมาคูณกับแต่ละจา นวนที่เท่ากันนั้น ผลลัพธ์จะได้เท่ากัน เช่น 1. ถ้า -3x = 4 1 แล้ว 4 4 1 (3x) 4 2. ถ้า 22 4 แล้ว 223 43 3. ถ้า x y แล้ว 2x 2y 4. ถ้า n m แล้ว n m 4 1 4 1 นั่นคือ n m 4 1 4 1 5. ถ้า z y x และ y 0 แล้ว x yz การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติการคูณ ซึ่งกล่าวว่า หมายเหตุ จา นวนที่นา มาคูณกับแต่ละจา นวนที่เท่ากันนั้น อาจเป็นจา นวนเต็มหรือเศษส่วนก็ได้ การคูณแต่ละจา นวนที่เท่ากันด้วยเศษส่วน เช่น k 1 เมื่อ k เป็นจา นวนเต็มใดๆ ที่ k 0 ก็คือการนา จา นวนเต็ม k มาหารทั้งสองจา นวนที่เท่ากันนั้นเอง ทา ให้สรุปได้ว่า ตัวอย่างที่1 จงแก้สมการ x 5 12 วิธีทา x 5 12 นา 5 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ x 5 5 125 x 17 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 17 ในสมการ x 5 12 จะได้ 17 5 12 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 17 เป็นคา ตอบของสมการ x 5 12 ตอบ 17 ถ้า a b แล้ว ca cb เมื่อ a, b และ c แทนจา นวนใดๆ ถ้า a b แล้ว c b c a เมื่อ a, b และ c แทนจา นวนใดๆ ที่ c 0
- 12. 12 ตัวอย่างที่ 2จงแก้สมการ 5 7 5 1 y วิธีทา 5 7 5 1 y นา - 5 1 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 5 1 5 7 5 1 5 1 y 5 6 5 7 1 y y ตรวจคาตอบ แทน y ด้วย 5 6 ในสมการ 5 7 5 1 y จะได้ 5 7 5 1 5 6 5 7 5 7 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 5 6 เป็นคา ตอบของสมการ 5 7 5 1 y ตอบ 5 6 ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ 7 3 1 x วิธีทา 7 3 1 x นา 3 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3 7 3 1 3 x x 21 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 21 ในสมการ 7 3 1 x จะได้ 21 7 3 1 7 7 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 21 เป็นคา ตอบของสมการ 7 3 1 x ตอบ 21
- 13. 13 ตัวอย่างที่ 4จงแก้สมการ 4y 12 วิธีทา 4y 12 นา 4 1 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 4 12 4 4 y y 3 ตรวจคาตอบ แทน y ด้วย 3 ในสมการ 4y 12 จะได้ 43 12 12 12 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 3 เป็นคา ตอบของสมการ 4y 12 ตอบ 3 ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ 3 5 2 x วิธีทา 3 5 2 x นา 3 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3 3 5 3 2 x 8 2 x นา 2 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 8 2 2 x x 16 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 16 ในสมการ 3 5 2 x จะได้ 3 5 2 16 8 3 5 5 5 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 16 เป็นคา ตอบของสมการ 3 5 2 x ตอบ 16
- 14. 14 ตัวอย่างที่ 6จงแก้สมการ 3x 7 28 วิธีทา 3x 7 28 นา 7 มาลบทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3x 7 7 28 7 3x 21 นา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3 21 3 3 x x 7 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 7 ในสมการ 3x 7 28 จะได้ 37 7 28 21 7 28 28 28 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 7 เป็นคา ตอบของสมการ 3x 7 28 ตอบ 7 ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ 4 3 2 1 3x วิธีทา 4 3 2 1 3x นา 2 1 มาลบทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 1 4 3 2 1 2 1 3x 4 1 3 4 3 2 3 x x นา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3 4 1 3 3 x 12 1 3 1 4 1 x x ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 12 1 ในสมการ 4 3 2 1 3x
- 15. 15 จะได้ 4 3 2 1 12 1 3 4 3 2 1 4 1 4 3 4 1 2 4 3 4 3 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนั้น 12 1 เป็นคา ตอบของสมการ 4 3 2 1 3x ตอบ 12 1 การแก้สมการที่มีเศษส่วนอย่างเช่นตัวอย่างที่ 7 อาจทา ได้อีกวิธีหนึ่ง คือ กา จัดส่วน ทั้งหมดในสมการให้หมดไป โดยการนา ส่วนทั้งหมดมาหา ค.ร.น. แล้วนา ค.ร.น. ที่ได้มาคูณ ตลอดสมการ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 8 จากโจทย์ในตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ 4 3 2 1 3x โดยวิธีกา จัดส่วน วิธีทา 4 3 2 1 3x หา ค.ร.น. ของส่วนคือ 2 และ 4 ได้ 4 นา ค.ร.น. คูณตลอดสมการ จะได้ 4 3 4 2 1 3 4 x 12 2 3 3 2 1 4 (3 ) 4 x x นา 2 มาลบทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 12x 2 2 3 2 12x 1 นา 12 มาหารทั้งสองข้างชองสมการ จะได้ 12 1 12 12 x 12 1 x ตอบ 12 1 จากตัวอย่างที่ 7 และ 8 จะเห็นว่า การแก้สมการที่มีเศษส่วนโดยวิธีปกติ และโดยวิธี กา จัดส่วน ต่างทา ให้ได้ผลลัพธ์เท่ากัน
- 16. 16 เอกสารแนะแนวทางที่ 5การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 9 จงแก้สมการ 3 2 4 3 2 1 3 2 x วิธีทา วิธีที่1 3 2 4 3 2 1 3 2 x นา 2 1 มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 2 1 3 2 4 3 2 1 2 1 3 2 x 12 7 3 2 12 9 8 6 3 2 2 1 3 2 4 3 3 2 x x x นา 2 3 มาคูณทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 2 3 12 7 2 3 3 2 x 8 7 x ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย 8 7 ในสมการ 3 2 4 3 2 1 3 2 x จะได้ 3 2 4 3 2 1 8 7 3 2 4 9 8 2 1 12 7 12 1 12 7 6 12 1 12 1 เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนัน้ 8 7 เป็นคาตอบของสมการ 3 2 4 3 2 1 3 2 x ตอบ 8 7 วิธีที่2 กาจัดส่วนของเศษส่วนในสมการ 3 2 4 3 2 1 3 2 x หา ค.ร.น. ของส่วนคือ 2, 3 และ 4 ได้ 12 นา ค.ร.น. คูณตลอดสมการ
- 17. 17 จะได้ 3 2 4 3 12 2 1 3 2 12 x 8 6 1 8 6 9 8 3 2 12 4 3 12 2 1 12 3 2 12 x x x นา …… มา………ทัง้สองข้างของสมการ จะได้ นา ...... มา........ทัง้สองข้างของสมการ จะได้ ................................................................. .................................................................. ตอบ ..................................................................... ตัวอย่างที่ 10 จงแก้สมการ 3(a3) 10 วิธีทา วิธีที่1 3(a3) 10 นา 3 1 มาคูณทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 3 10 3 3( 3) a 3 10 a 3 นา 3 มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ตรวจคำตอบ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ดังนัน้ ....... เป็นคาตอบของสมการ 3(a3) 10 ตอบ ................................................
- 18. 18 วิธีที่2 3(a3) 10 นา 3 มาคูณในวงเล็บ ( สมบัติการแจกแจง ) จะได้ 3a9 10 นา 9 มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 3a99 10 9 3a 1 นา 3 1 มาคูณทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 3 1 3 3 a 3 1 a ตอบ 3 1 จากตัวอย่างที่ 10 จะเห็นได้ว่า การแก้สมการที่มีวงเล็บ สามารถทาได้โดยอาศัยสมบัติ การแจกแจง ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับวิธีปกติ ตัวอย่างที่ 11 จงแก้สมการ 2 6 3 1 b โดยอาศัยสมบัติการแจกแจง วิธีทา 2 6 3 1 b นา ........ มา........ในวงเล็บ จะได้ ........................... นา ....... มา..........ทัง้สองข้างของสมการ จะได้ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ตรวจคำตอบ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ดังนัน้ ......... เป็นคาตอบของสมการ 2 6 3 1 b ตอบ ............
- 19. 19 เอกสารแนะแนวทางที่ 6การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 12 จงแก้สมการ 3x 15 2x 10 วิธีทา 3x 15 2x 10 นา 2x มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ (2x) 3x 15 (2x) 2x 10 15 10 ( 2) 3 15 ( 2) 2 10 x x x นา -15 มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ ................................................ .…………………………………. ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย -25 ในสมการ 3x 15 2x 10 จะได้ 3(25)15 2(25)10 75 15 50 10 3 ( 25) 15 2 ( 25) 10 ............................................. เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนัน้ ….. เป็นคาตอบของสมการ 3x 15 2x 10 ตอบ ………………………………………. ตัวอย่างที่ 13 จงแก้สมการ 3c 1 2c 3 โดยอาศัยสมบัติการแจกแจง วิธีทา 3c 1 2c 3 นา 3 และ 2 คูณแจกแจงเข้าไปในวงเล็บ จะได้ 3c 3 2c 6 นา 3 มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ 3c 3 3 2c 6 3 .................................. นา 2c มาบวกทัง้สองข้างของสมการ จะได้ (2c) 3c (2c) 2c 3 ................................................ .............................
- 20. 20 ตรวจคำตอบ แทนc ด้วย ....... ในสมการ 3c 1 2c 3 จะได้ ....................................... ........................................ .......................................... เป็นสมการที่เป็นจริง ดังนัน้ ........ เป็นคาตอบของสมการ 3c 1 2c 3 ตอบ .................................
- 21. 21 เอกสารแนะแนวทางที่ 7เรื่องสมการเชงิเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเก่ยีวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1. เจี๊ยบมีเงินอยู่จานวนหนงึ่ แม่ให้มาอีก 350 บาท เมื่อนาเงินที่มีอยู่เดิมมานับรวมกับเงินที่แม่ ให้จะนับได้ 678 บาท เดิมเจี๊ยบมีเงินอยู่เท่าไร วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 22. 22 2. น้าผึ้งซื้อสมุดมาจานวนหนึ่งนารวมกับสมุดที่มีอยู่เดิมอีก 148 เล่ม แจกให้นักเรียน 43 คน คนละ 6 เล่ม น้าผึ้งซื้อสมุดมากี่เล่ม วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 23. 23 3. แดงมีลูกหินอยู่จานวนหนึ่งดามีลูกหินมากกว่าสองเท่าของแดงอยู่5 ลูก ถ้าดามีลูกหิน 61 ลูก แดงจะมีลูกหินกี่ลูก วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 24. 24 4. 5เท่าของจานวนเป็ดที่นายแดงและนายดาเลี้ยงจะเท่ากับจานวนเป็ดของนายเขียว ถ้านายดามีเป็ด 48 ตัว นายเขียวมีเป็ด 500 ตัว นายแดงจะมีเป็ดจานวนกี่ตัว วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 25. 25 เอกสารแนะแนวทางที่ 8เรื่องสมการเชงิเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเก่ยีวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่1 5 เท่าของเลขจานวนหนงึ่มากกว่า 3 อยู่ 7 วิธีทา ให้ x แทนเลขจานวนหนึ่ง จะได้สมการคือ 5x – 3 = 7 นา 3 บวกทัง้สองข้างของสมการ 5x – 3 + 3 = 7 + 3 5x = 10 นา 5 1 คูณทัง้สองข้างของสมการ 5 1 5x = 5 1 10 x = 2 ตรวจคาตอบ ................................................................................................................ .......................................................................................................................................... …………………………………………………………………………………………………….. ตัวอย่างที่2 แม่ค้าซือ้มะม่วงมาขายจานวนหนงึ่ วันแรกขายได้ครึ่งหนึ่งของที่ซือ้มา วันที่สอง ขายได้อีก 5 3 ของจานวนมะม่วงที่เหลือจากวันแรก ถ้าวันที่สองขายมะม่วงได้ 111 ผล ให้หาว่าแม่ค้าซือ้มะม่วงมาขายทัง้หมดกี่ผล วิธีทา สมมติซือ้มะม่วงมาทัง้หมด ผล วันแรกขายได้ 2 x ผล วันที่สองขายได้ 5 3 ของที่เหลือ 10 3 5 2 3 x x ผล เนื่องจากวันที่สองขายได้ 111 ผล จะได้ 111 10 3 x 370 3 1,110 1,110 3 111 10 x x
- 26. 26 ตรวจคาตอบ แทนค่าx = 370 ในสมการ 111 10 3 x 111 10 3(370) 111 = 111 สมการเป็นจริง ดังนัน้ ซือ้มะม่วงมาทัง้หมด 370 ผล วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 27. 27 เอกสารแนะแนวทางที่ 9เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่าง ขณะนี้ตุ๊กกี้อายุ 17 ปี อีก 4 ปีข้างหน้าเธอจะอายุเป็น 3 เท่า ของอายุปุ๊กกี้ ปัจจุบันปุ๊กกี้อายุเท่าไร วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….………………………
- 28. 28 วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….………………………
- 29. 29 เอกสารแนะแนวทางที่ 10เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 1. นาย ก ให้นาย ข ยืมเงิน 7 บาท แต่นาย ก ขอยืมเงินจากนาย ค และนาย ง 15 บาท และ 32 บาท ตามลาดับ ก่อนหน้านั้น นาย ง เป็นหนี้ นาย ค และ นาย ข 3 บาท และ 7 บาทตามลาดับ ถ้ามีการชาระหนี้ทั้งหมดขึ้น ใครจะมีเงิน 18 บาท การแก้ปัญหา ข้อมูลที่โจทย์กาหนดให้ นามาหาความสัมพันธ์ได้ดังนี้ ขั้นที่ 1 ใช้จุด . แทน นาย ก , ข , ค ,ง ขั้นที่ 2 นาย ก ให้นาย ข ยืมเงิน 7 บาท นาย ก ขอยืมเงินจากนาย ค และนาย ง 15 บาท และ 32 บาท ขั้นที่ 3 นาย ง เป็นหนี้ นาย ค และนาย ข มาก่อน 3 บาท และ 7 บาท .ง .ก .ข .ค 15 7 32 นาย ง 3 32 7 15 7 นาย ค นาย ก นาย ข แทนการให้ยืม .ง .ก .ข .ค
- 30. 30 เมื่อมีการชาระหนี้ทั้งหมด จะเกิดความสัมพันธ์ดังนี้ ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 31. 31 ตัวอย่างที่ 2.ถ้าสามวันก่อนวันพรุ่งนี้ เป็นวันพฤหัสบดีแล้ว สี่วันหลังจากเมื่อวานเป็นวันอะไร การแก้ปัญหา จากโจทย์ หาความสัมพันธ์ ได้ดังนี้ ขั้นที่ 1 กาหนดวันพรุ่งนี้ แล้วหา 3 วันก่อนจากวันพรุ่งนี้ ขั้นที่ 2 หาวันนี้ และเมื่อวานนี้ ขั้นที่ 3 หาสี่วันต่อจากวันเมื่อวานนี้ ขั้นที่ 4 กาหนดวันทั้งหมด พฤ 3 วันก่อนพรุ่งนี้ พรุ่งนี้ พฤ 3 วันก่อนพรุ่งนี้ พรุ่งนี้ เมื่อวานนี้ วันนี้ พฤ 3 วันก่อนพรุ่งนี้ พรุ่งนี้ เมื่อวานนี้ วันนี้
- 32. 32 ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 33. 33 ตัวอย่างที่ 3.แม่แบ่งเงิน 150 บาท ให้ลูกสาวและลูกชายในอัตราส่วน 2:3 แบ่งเงินให้ลูกสาว เท่าไร ขั้นที่ 1 แม่แบ่งเงินให้ลูกสาว 2 ส่วน จากทั้งหมด 5 ส่วนซึ่งเงินทั้งหมด 5 ส่วน คิดเป็นเงิน 150 ขั้นที่ 2 เงิน 5 ส่วน คิดเป็น 150 บาท ถ้าจะหาเงิน 1 ส่วน จะต้องแบ่ง 150 บาท ออกเป็น 5 ส่วนด้วย ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… ลูกชาย 3 ส่วน ลูกสาว 2 ส่วน 5 ส่วน รวม เท่ากับ 150 บาท
- 34. 34 วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 4. ร้อยละ 60 ของนักเรียน 420 คน เป็นนักเรียนชาย มีนักเรียนชายกี่คน นักเรียนทั้งหมด 420 คน ร้อยละ 60 หมายถึง ถ้ามีนักเรียนอยู่ 100 คน จะเป็นนักเรียนชาย 60 คน 60 100 60 100 60 100 1 1 1 - - - เป็นชาย 100 คน 60 คน - - - 60 100 นักเรียน ทั้งหมด 1 คน เป็นชาย
- 35. 35 วิธีคิด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… สรุปคาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….……………………… วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
- 36. 36 ตัวอย่างที่5 ครอบครัวของด.ช.หมาก ซงึ่มีสมาชิก 3 คน ได้การทาบัญชีรายรับรายจ่าย ตาม หลักเศรษฐกิจพอเพียง โดยคานึงถึงความพอประมาณ มีเหตุผล และมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี โดย ในเดือนที่ผ่านมารายรับและรายจ่ายของครอบครัว มีข้อมูลดังนี้ รายรับ ได้แก่ เงินเดือนพ่อ 35,000 บาท และเงินเดือนแม่ 25,000 บาท รายจ่าย ได้แก่ ค่าผ่อนบ้าน 7,000 บาท ค่าเรียนพิเศษ 3,000 บาท ค่าอาหาร 9,000 บาท ค่านา้และไฟฟ้า 1,000 บาท ค่าซักผ้า 1,500 บาท ค่าเสือ้ผ้า 4,000 บาท ค่าฟิตเนส 3,000 บาท ค่าอุปกรณ์การเรียน 1,000 บาท ค่ารักษาพยาบาล 1,500 บาท ค่าผ่อนรถยนต์ 5,000 บาท ค่าเครื่องสาอางและนา้หอมของแม่ 2,000 บาท ค่าอุปกรณ์กีฬาของหมาก 1,000 บาท ค่าขนมไปโรงเรียนของหมาก 1,200 บาท ค่าใช้จ่ายเบ็ดเตล็ด 2,000 บาท ให้นักเรียนช่วย ด.ช.หมาก ทาบัญชีรายรับรายจ่าย และวางแผนการใช้เงินอย่างเหมาะสม โดยใช้ความรู้เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว