1. 1
1. ความสัมพันธ์
1.1 คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับ (Ordered pairs)
คู่อันดับมักเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวัน เช่น คู่อันดับของ
ประเทศอาเซียนกับดอกไม้ประจาชาติเขียนแทนด้วยคู่อันดับดังนี้
(ไทย , ดอกราชพฤกษ์) , (บรูไนดารุสซาลาม , ดอกซิมปอร์) ,
(กัมพูชา , ดอกลาดวน) , (อินโดนีเซีย , ดอกกล้วยไม้ราตรี) , (ลาว ,
ดอกลีลาวดี) , (มาเลเซีย , ดอกพู่ระหง) , (ฟิลิปปินส์ , ดอกพุดแก้ว)
, (สิงคโปร์ , ดอกแวนด้า) , (เวียตนาม , ดอกบัว) ,
(พม่า , ดอกประดู่) สิ่งเหล่านี้คือ คู่อันดับ
นั่นคือ คู่อันดับแต่ละคู่ ประกอบด้วยสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิก
ตัวหลัง เช่น (ไทย , ดอกราชพฤกษ์) จะถือว่าสมาชิกตัวหน้าเป็นชื่อ
ประเทศในอาเซียน สมาชิกตัวหลังเป็นชื่อดอกไม้ประจาชาติของ
แต่ละประเทศ แต่ถ้าสลับที่กัน เช่น (ดอกราชพฤกษ์ , ไทย) สิ่งที่ได้
จะผิดความหมายจากที่กาหนดไว้เดิม
ดังนั้น (a , b) จะเท่ากับ (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าให้ (a , 2) = (6 , b) จงหาค่า a + b
วิธีทา จาก ( a , 2) = (6 , b) จะได้ a = 6 , b = 2
ดังนั้น จะได้ a + b = 6 + 2 = 8
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า a และ b ที่ทาให้
( a + 9 , b – 7) = (2a + 6 , 13 – b)
วิธีทา จาก ( a + 9 , b – 7) = (2a + 6 , 13 – b)
จะได้ a + 9 = 2a + 6 และ
ดังนั้น จะได้ a = 3 , b = 10
ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่
อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็น
สมาชิกของเซต B
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย
A B
A B  {(a , b)/a  A  b B}
ตัวอย่างที่ 3 ให้ A  {3,4} , b  {4,5} , c  {5,6}
จงหาค่าของ
1. A B
2. B A
3. A  (B  C)
4. (A  B)  (A  C)
5. A  (B  C)
6. (A  B)  (A  C)
7. A (B - C)
8. (A  B)  (A  C)
วิธีทา
1. A  B  {(3,4),(3,5), (4,4), (4,5)}
2. B  A  {(4,3),(4,4), (5,3), (5,4)}
3. A  (B  C)
จาก A  {3,4} และ (B  C)  {4,5,6}
จะได้
A  (B  C)  {(3,4),(3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6)}
4.
(A B)  (A  C)
จาก ……………………………………………………………………………….
จะได้ ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
นั่นคือ………………………………………………………………………………
5.
A  (B  C)
จาก ……………………………………………………………………………….
จะได้ ……………………………………………………………………………..
6.
(A B)  (A  C)
จาก ……………………………………………………………………………….
จะได้ ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
นั่นคือ………………………………………………………………………………
7.
A (B - C)
จาก ……………………………………………………………………………….
จะได้ ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
นั่นคือ………………………………………………………………………………
8.
(A B)  (A  C)
จาก ……………………………………………………………………………….
จะได้ ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………….
นั่นคือ………………………………………………………………………………
สรุป จากตัวอย่างข้างต้น จะได้
1. A B  B  A
2. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
3. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
4. A  (B - C)  (A  B)  (A  C)

2. 2
A  {1} , B  {2} และ C  
A C   และ B C  
A  C  B  C แต่ A  B
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้
จะได้
ดังนั้น
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ A  {2} , B  {2}
และ C  {4}
จะได้ A  C  {(2,4)} และ B  C  {(2,4)}
ดังนั้น
A  C  B C
และ
C 
จะได้
A B
สรุป จากตัวอย่างข้างต้น จะได้
1. A B   ก็ต่อเมื่อ A   หรือ
2. ถ้า
A  C  B C
และ
B 
C   จะได้ A  B
หมายเหตุ ถ้า A และ B เป็นเซตจากัดแล้ว
n(A B)  n(B  A)  n(A) n(B)

แบบฝึกหัด 1.1
1. เขียนคู่อันดับของประเทศอาเซียนกับ สกุลเงินประจาชาติ
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
2. ถ้า (2x  y,3)  (7,3x  y) แล้ว
จงหา x 2  y 2
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
3. ถ้า (3x  1,2y)  (2x  1, y  1) แล้ว
จงหา x  y
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
4. กาหนดให้
A  {1,2} , b  {0,1} , c  {1,3}
D   จงหา
4.1 A B
……………………………………………………………………………………….
4.2 B A
……………………………………………………………………………………….
4.3 B C
……………………………………………………………………………………….
4.4 C B
……………………………………………………………………………………….
4.5 C D
……………………………………………………………………………………….
4.6 D C
……………………………………………………………………………………….
4.7 A C
……………………………………………………………………………………….
4.8 C A
……………………………………………………………………………………….
4.9 D A
……………………………………………………………………………………….
4.10 A D
……………………………………………………………………………………….
5. กาหนดให้ A  {0,1} , b  {2,3} , c  {2,3,4}
จงหา 5.1 A  (B  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.2 (A  B)  (A  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.3 A  (B  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.4 (A  B)  (A  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.5 A (B - C)
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….

3. 3
5.6 (A  B)  (A  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.7 (B  C)  A
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.8 (B  C)  A
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.9 (B  C)  A
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
5.10 (C  A  B)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
6. จงอธิบายความแตกต่างระหว่าง (4,5) กับ (5,4)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
7. จงอธิบายความแตกต่างระหว่าง (5,7) กับ {5,7}
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8. กาหนดให้ n(A)  a , n(B)  b , n(C)  c โดยที่
เซต A , B และ C ต่อไปนี้ไม่มีสมาชิกร่วมกัน จงหา
8.1 n(A  B)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.2 n(B C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.3 n(A  C)
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.4 n[(A  B)  C]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.5 n[(B  A)  C]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.6 n[(A  B)  C]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.7 n[(C  B)  A]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.8 n[(C  A)  B]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.9 n[(A  B  C)  A]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
8.10 n[(A - B)  (B  A)]
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
1.2 ความสัมพันธ์
นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซต
ของ A B
r : A B  {(x, y)  A B/ เงื่อนไขของ x กับ y}
และถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A เรียก r ว่าเป็น
ความสัมพันธ์ใน A
ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ A  {2,4,6}
และ B  {8,16} จงหา
r1 คือ ความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B
r2 คือ ความสัมพันธ์ “เป็นรากที่สอง” จาก A ไป B
r3 คือ ความสัมพันธ์ “เป็นรากที่สอง” จาก A ไป B
วิธีทา
A B  {(2,8),(2,16),(4,8), (4,16),(6,8), (6,16)}
r1 ={(2,8),(2,16),(4,8),(4,16)}
r = {(4,16)}
r =
2
3

4. 4
ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้
จงหา r1 และ
A  {x/x เป็นจานวนเต็มลบ}
B  {x/x เป็นจานวนเต็มบวก}
r ต่อไปนี้ซึ่งเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
r1  {(x, y)  A  B/x  y  0}
วิธีทา
2
r2  {(x, y)  A  B/x  y 2 }
r1 ={(-1,1),(-2,2),(-3,3),(-4,4),...}
r =
2
ตัวอย่างที่ 8 กาหนดให้ A  {1,2,3}
และ B  {-2,0,2}
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือไม่
8.1 r1 = {(1,-2),(1,0),(3,2)} เป็นความสัมพันธ์ จาก A ไป B
ตอบ ถูก เนื่องจากสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับที่ใช้ใน r1 คือ 1,3
ซึ่งเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับที่ใช้ใน r1 คือ
-2,0,2 ซึ่งเป็นสมาชิกของ B
ดังนั้น r1 เป็นความสัมพันธ์ จาก A ไป B
8.2 r2 = {(0,1),(2,2),(3,1)} เป็นความสัมพันธ์ จาก B ไป A
ตอบ ผิด เนื่องจาก (3,1) r ซึ่ง 3 เป็นสมาชิกตัวหน้า ถ้า r2
2
เป็นความสัมพันธ์ จาก B ไป A สมาชิกตัวหน้าต้องเป็นสมาชิกของ
B แต่ 3B
ดังนั้น
r2 ไม่เป็นความสัมพันธ์ จาก B ไป A
8.3 r3 ={(-2,0),(-2,2),(0,2),(2,2) เป็นความสัมพันธ์ใน B
ตอบ
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
แบบฝึกหัด 1.2
1. กาหนดให้ A  {1,2,3,4} และ B  {1,4,9,12}
จงเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 r1 คือ ความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
1.2 r2 คือ ความสัมพันธ์ “หารลงตัว” ใน A
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
1.3 r3 คือ ความสัมพันธ์ “ไม่มากกว่า” จาก B ไป A
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
1.4 r4 คือ ความสัมพันธ์ “เป็นรากที่สอง” จาก A ไป B
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
2. กาหนดให้ A  {1,3,5} และ B  {0,2,4,6}
และความสัมพันธ์ r  {(x, y)  A  B/2y - x  3}
จงเขียน r แบบแจกแจงสมาชิก
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
,10} เพราะ r เป็น
3. กาหนดให้ A  {0,2,4,6,8
ความสัมพันธ์ใน A ที่
r={(0,2),(0,4),(2,4),(6,4),(6,8),(6,10)}
จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
3.1 {x A/xr4}
……………………………………………………………………………………….
3.2 {x A/0rx}
……………………………………………………………………………………….
3.3 {a A/6ra}
……………………………………………………………………………………….
4. กาหนดให้ A  {2,4,6} และ B  {1,2,3}
และความสัมพันธ์ r  {(x, y) B  A/x  y}
จงเขียน r แบบแจกแจงสมาชิก
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….

5. 5
การเขียนกราฟของความสัมพันธ์
r2  {(x, y) R  R/y  x  2}
นิยาม ให้ R เป็นเซตของจานวนจริง r เป็นสับเซตของ R x R
กราฟของความสัมพันธ์ r คือ
เซตของจุดในระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกสมาชิก
ของความสัมพันธ์ r
ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ r1={(-3, 3),(-1, 1),(-4, -4),(-2,-2)}
r2  {(x, y) R  R/y  x - 2}
ตัวอย่างที่ 10 กาหนดให้ r2 = {(2,2),(2,6),(2,8),(3,6),(4,8)}
2. กราฟพาราโบลา เช่น
r1  {(x, y) R  R/y  x 2 }
r2  {(x, y) R  R/y  x 2 }
1. กราฟเส้นตรงต่างๆ เช่น
r1  {(x, y) R  R/x  y}
r3  {(x, y) R  R/x  y 2 }

6. 6
r4  {(x, y) R  R/x  y 2 }
r5  {(x, y) R  R/ y  x - 1}
3. กราฟที่ติดค่าสัมบูรณ์ต่างๆ เช่น
r6  {(x, y) R  R/ y  x  1}
r1  {(x, y) R  R/y  x }
r2  {(x, y) R  R/y   x }
r3  {(x, y) R  R/x  y }
r7  {(x, y) R  R/ y  x }
r8  {(x, y) R  R/ x  y  1}
r9  {(x, y) R  R/3 x  4 y  12}
r4  {(x, y) R  R/x   y }

7. 7
r10  {(x, y) R  R/ x  y  4}
r11  {(x, y) R  R/ y - x  4}
4. กราฟที่ติดค่า Root เช่น
r1  {(x, y) R  R/y  x }
r2  {(x, y) R  R/y   x }
r12  {(x, y) R  R/y  x - 1  x  2 }
r3  {(x, y) R  R/x  y }
r13  {(x, y) R  R/y  x  2  x - 2 }
r4  {(x, y) R  R/x   y }
r14  {(x, y) R  R/y  x 2 - 4 }
r5  {(x, y) R  R/x2  y 2  4}

8. 8
r6  {(x, y) R  R/y  4  x 2 }
1.2 r2
 {(x, y) R  R/y  x  2  1}
r7  {(x, y) R  R/y   4  x 2 }
1.3 r3
 {(x, y) R  R/y  x  2  1}
1.4 r4
 {(x, y) R  R/y   x  2  2}
2
r8  {(x, y) R  R/x  4  y }
r9  {(x, y) R  R/x   4  y 2 }
1.5 r5  {(x, y) R  R/y   x  1  1}
แบบฝึกหัด 1.3
1. จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
1.1 r1  {(x, y) R  R/y 
1.6 r6
x  2 - 3}
 {(x, y) R  R/y   x  1  2}

9. 9
r7  {(x, y) R  R/x  y  3  1}
1.12 r12
 {(x, y) R  R/x  (y  1)2  1}
1.8 r8
 {(x, y) R  R/x   y  1  1}
1.13 r13
 {(x, y) R  R/y  x  2  1}
1.9 r9
 {(x, y) R  R/y  (x  2)2  1}
1.14 r14
 {(x, y) R  R/y   x  1  2}
1.7
1.10 r10
 {(x, y) R  R/y  (x  1)2  2}
1.11 r11  {(x, y) R  R/x  (y  1)2  2}
1.15 r15  {(x, y) R  R/x 
1.16 r16
y  2  1}
 {(x, y) R  R/x   y  2  1}

10. 10
1.17 r17
 {(x, y) R  R/x2  y 2  1}
1.18 r18
 {(x, y) R  R/(x - 1)2  (y - 1)2  1}
ตัวอย่างที่ 12 จงเขียนกราฟความสัมพันธ์
r  {(x, y) R  R/y  x}
ตัวอย่างที่ 13 จงเขียนกราฟความสัมพันธ์
r  {(x, y) R  R/x2  y 2  4}
วิธีทา
1. เขียนกราฟ x 2  y 2  4 ก่อน
การเขียนกราฟความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขเป็นรูปอสมการ
ตัวอย่างที่ 11 จงเขียนกราฟความสัมพันธ์
r  {(x, y) R  R/y  x}
วิธีทา
1. เขียนกราฟ y = x ก่อน
2. ลองนาจุด 1 จุดเหนือกราฟ y = x มาแทนใน y  x ดู
สมมติ นาจุด (0,1) ซึ่งอยู่เหนือกราฟ y = x แทนจะได้ 1 > 0 จริง
สรุปได้ว่า พื้นที่เหนือกราฟ และรวมกราฟ y = x เป็นกราฟของ r
2. ลองนาจุดภายในวงกลมสักจุดมาแทนดู จะทาให้
x 2  y 2  4 เป็นจริง
สรุป กราฟของ r  {(x, y) R  R/x2  y 2  4} คือ
พื้นที่ภายในวงกลมและรวมกราฟ x 2  y 2  4 ด้วย
ตัวอย่างที่ 14 จงเขียนกราฟความสัมพันธ์
r  {(x, y) R  R/x2  y 2  4}

11. 11
แบบฝึกหัด 1.4 จงเขียนกราฟความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r  {(x, y) R R/ x  y  1}
6.
r  {(x, y) R  R/y  x 2 }
7. r  {(x, y) R  R/y  x 2 }
2. r  {(x, y) R  R/ x  y  1}
8.
3.
r  {(x, y) R  R/y  x 2 }
r  {(x, y) R  R/ x  y  1}
9. r  {(x, y) R  R/y 
4.
r  {(x, y) R  R/ x  y  1}
10.
5.
x}
r  {(x, y) R  R/y  x 2 }
r  {(x, y) R  R/y  x }

12. 12
11.
r  {(x, y) R  R/y  x }
16.
r  {(x, y) R  R/y  x  2}
12.
r  {(x, y) R  R/y  x }
17.
r  {(x, y) R R/ y  x 1}
13.
r  {(x, y) R R/x  y 2 1}
18.
r  {(x, y) R  R/ y  x  1}
14.
r  {(x, y) R  R/x  -y 2  3}
19.
r  {(x, y) R  R/ y  x  1}
15.
r  {(x, y) R  R/y  x 2  1}
20.
r  {(x, y) R  R/ y  x  1}