Credit by http://www.krumun.com/pat1setsolution1/

1. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
1
เฉลยละเอียด ข้อสอบ PAT 1
เรื่อง เซต
PAT 1 (มี.ค. 56)
2. ตอบ ข้อ 1.
วิธีทำ
จากรูปจะได้ว่า
 A B  a, d (1.1)
AB  b,e (1.2)
ABC  a,b,c,d,e, f , g (1.3)
จากสมการ (1.2) และ (1.3) จะได้ว่า
 ABABC  b,ea,b,c,d,e, f , g (1.4)
 ABABC  b,e (1.5)
ดังนั้นจะได้
A  A B ABC  a,b,d,e b,e (1.6)
จะได้ว่า
A   AB A BC  a, d (1.7)
จะเห็นว่าสมการ (1.1) เท่ากับสมการ (1.7) นั่นคือ ก. ถูก
พิจารณารูป จะเห็นว่า ABC  a (1.8)
 A B C  a (1.9)
ดังนั้นพาวเวอร์เซต ABC  a จึงเท่ากับเพาว์เวอร์เซต  A B C  a นั่นคือ ข. ถูก

2. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
2
26. ตอบ 7
วิธีทำ จากโจทย์เราสามารถวาดรูปคร่าวๆ ได้ดังนี้
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้จำวนวนสมาชิกของ PP AB 16  24
หมายความว่า nP AB  4  22 (1.10)
n AB  2 (1.11)
เนื่องจากสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 เซต
สมมติให้เซต A มีสมาชิกทั้งหมด X ตัว นำสมาชิกมาจัดกลุ่มๆ ละ 2 ตัว เขียนสมการได้เป็น
10
 X 
 
 2
 
(1.12)
  2 1
10 20 0
X X
2!
X X

     (1.13)
แก้สมการที่ (1.13) จะได n A  X  5
และในทำนองเดียวกัน สมมติให้เซต B มีสมาชิก Y ตัว ในทำนองเดียวกันจะได้
6
Y 
 
 2
 
(1.14)
แก้สมการที่ (1.14) จะได้ nB  Y  4
จาก n AB  n A  nB  n AB (1.15)
แทนค่าต่างๆ ลงไปในสมการที่ (1.15) จะได้
nAB  5 4  2  7

3. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
3
PAT 1 (ต.ค. 55)
1. ตอบ ข้อ 3.
วิธีทำ
จากรูปจะได้ว่า  A BC  a (1.16)
และ  A BAC  a,da,b  a,b,d (1.17)
จากสมการที่ (1.16) และสมการที่ (1.17) แสดงว่า ข้อ 1. ผิด
จากรูปจะได้ว่า  AB C  b (1.18)
และ  ACB C  b (1.19)
จากสมการที่ (1.18) และสมการที่ (1.19) แสดงว่า ข้อ 2. ถูก
จากรูปจะได้ว่า A B C  a, d,e (1.20)
และ ABC  ABC  a (1.21)
จากสมการที่ (1.20) และสมการที่ (1.21) แสดงว่า ข้อ 3. ผิด
จากรูปจะได้ว่า  AB C  a,b,c (1.22)
และ AB C  a,b,c,d,e (1.23)
จากสมการที่ (1.22) และสมการที่ (1.23) แสดงว่า ข้อ 4. ผิด

4. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
4
26. ตอบ 128
4x x 3x
วิธีทำ
ในข้อนี้แนะนำให้สมมติสมาชิกของเซต A และ B ด้วยด้วยจำนวนง่ายๆ !
จากโจทย์กำหนดให้สมาชิกจำนวน 20% ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
ดังนั้นถ้าเราสมมติให้เซต A มีสมาชิกเท่ากับ 5x ตัว
แสดงว่าจะมีสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต B เท่ากับ x
จากโจทย์กำหนดให้สมาชิกจำนวน 25% ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
และสมมติให้เซต B มีสมาชิกเท่ากับ 4x ตัว
แสดงว่าจะมีสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับ x
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ n  A  BB  A  112
พิจารณารูปแล้วจะได้ว่า 4x  3x  112 (1.24)
เราจะได้ x  16
แต่จาก n AB  n AnB  n AB (1.25)
จากรูปจะได้ว่า nAB  5x  4x  x (1.26)
หรือ n AB  8x (1.27)
เมื่อแทนค่า x  16 ในสมการที่ (1.27) จะได 
n AB 128

5. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
5
PAT 1 (มี.ค. 55)
1. ตอบ 48
วิธีทำ
พิจารณา n AB  nB 10 (1.28)
แสดงว่า nB  2 (1.29)
โจทย์กำหนดให n AB  4 (1.30)
เนื่องจาก AB  A B
ดังนั้นจะได้ว่า
n A B  4 (1.31)
จากสมการที่ (1.29) และสมการที่ (1.31) ทำให้ได้ว่า n A  6
จากรูปจะเห็นได้ว่า b สามารถมีสมาชิกได้ไม่เกิน 2 ตัว ซึ่งสามารถจัดได้ 3 วิธี
ส่วนของ a และ d จะมีสามาชิกอยู่ทั้งหมด 4 ตัว ซึ่งสามารถจัดได้ดังนี้คือ
1. ไม่มีสมาชิกเลยที่ a จัดได้ 1 วิธี
2. a มีสมาชิก 1 ตัว จัดได้ 4
4
 
  
 1

วิธี
3. a มีสมาชิก 2 ตัว จัดได้ 4
6
 
  
 2

วิธี
4. a มีสมาชิก 3 ตัว จัดได้ 4
4
 
  
 3

วิธี
5. a มีสมาชิก 4 ตัว จัดได้ 4
1
 
  
 4

วิธี
แสดงว่าเราสามารถจัดสมาชิกที่ a ได้ 16 วิธี
นั่นคือเราสามารถสร้างเซต C ได้ทั้งหมด 3 x 16 = 48 เซต

6. PHYSICS & MATHEMATICS
www.krumun.com
6
26. ตอบ 25
แนวคิด
ให้ A = เซตของคนที่ชอบอ่านนิยาย
B = เซตของคนที่ชอบอ่านหนังสือพิมพ 
C = เซตของคนที่ชอบอ่านนวนิยาย
จากรูปจะได้ว่า a  b  c  d  e  f  g 100 (1.32)
และจาก
       
n A  B  C  n A  n B 
n C
     
 
n A B n A C n B C
n A B C
     
  
(1.33)
100  75  70  85 b  e  d  e   f  e  e (1.34)
100  225 b  d  f  2e (1.35)
b  d  f  2e 125 (1.36)
จากสมการที่ (1.32) และ (1.36) จะได้ว่า
e  25 a  c  g (1.37)
จากสมการที่ (1.37) จะเห็นว่า e จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ a  c  g  0
นั่นคือ min e  25