Ένα λυμένο παράδειγμα με μία ταλάντωση με δύο ελατήρια όπου το ένα από τα δύο δεν είναι δεμένο πάνω στο σώμα.

1. Ταλάντωση με δύο ελατήρια
4 Οκτωβρίου 2016
΄Ασκηση (Σαββάλας, Τόμος Α΄, άσκ. 6.113)
Το σώμα του σχήματος, μάζας m = 0, 1kg, ηρεμεί στη Θέση O πάνω στο λείο
οριζόντιο επίπεδο. Τα δύο ιδανικά ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος και
σταθερές k1 = 10N
m και K2 = 30N
m . Το σώμα είναι δεμένο στο ελατήριο στα-
θεράς K1, ενώ απλά ακουμπά στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθερά K2.
1. Δίνουμε οριζόντια ταχύτητα στο σώμα στη διεύθυνση των αξόνω των
ελατηρίων. Να υπολογίσετε τότε την περίοδο της περιοδικής κίνησης του
σώματος.
2. Αν το σώμα είναι δεμένο και στα δύο ελατήρια και τη χρονική στιγμή
t0 = 0s εκτοξεύσουμε το σώμα με ταχύτητα v = 16m
s προς τα δεξιά, να
βρείτε:
(αʹ) τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σώματος,
(βʹ) τον ρυθμό μεταβολή της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή
t1 = 11π
120 s,
(γʹ) τη μεταβολή της ορμής του σώματος στο χρονικό διάστημα ∆t =
t3 − t2, όπου t3 = π
10s και t2 = π
2 s.
Λύση
1. Για το πρώτο ερώτημα πρέπει πρώτα να κάνουμε την εξής παρατήρηση:
Το σώμα θα χάνει την επαφή του με το ελατήριο σταθεράς
K2 κάθε φορά που θα διέρχται από την θέση ισορροπίας του,
δηλαδή την θέση στην οποία το ελατήριο K2 (όπως και το
K1) θα έχει το φυσικό του μήκος.
1

2. Πράγματι, μόλις το ελατήριο βρεθεί στην θέση O, θα ισχύει Fελ2 = 0,
άρα, αφού το σώμα δεν είναι δεμένο στο ελατήριο και δεν του ασκείται
πια κάποια δύναμη από αυτό, θα χαθεί η επαφή τους. Συνεπώς η περιο-
δική κίνηση (και όχι ταλάντωση· ούτε απλή ούτε σύνθετη) του σώματος
αναλύεται σε δύο τμήματα:
Αʹ Το πρώτο τμήμα της κίνησης, κατά το οποίο το σώμα είναι σε επαφή
και με τα δύο ελατήρια. Τότε, για τη δύναμη επαναφοράς σε μία
τυχούσα θετική απομάκρυνση x προς την μεριά του ελατηρίου K2
ισχύει:
ΣF = −Fελ1 − Fελ2 = −K1x − K2x = − (K1 + K2) x
άρα το σώμα θα εκτελέσει ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D1 =
K1 + K2 = 40N
m .
Βʹ Το δεύτερο τμήμα της κίνησης κατά το οποίο το σώμα είναι σε επαφή
μόνο με το ελατήριο K1. Τότε, για τη δύναμη επαναφοράς σε μία
τυχούσα θετικά απομάκρυνση x προς την μεριά του ελατηρίου K1
ισχύει:
ΣF = −Fελ1 = −K1x
άρα το σώμα θα εκτελέσει ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D2 =
K1 = 10N
m .
Παρατήρηση
Παρατηρήστε ότι στις δύο παραπάνω περιπτώσεις θεωρήσαμε διαφορετική
θετική φορά, καθώς είχαμε απομάκρυνση προς διαφορετική φορά ανά πε-
ρίπτωση. Είναι σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι θετική φορά, σε αυτές
τις περιπτώσεις είναι πάντα η φορά της απομάκρυνσης του σώματος από
την θέση ισορροπίας του.
Τώρα βλέπουμε ότι το σώμα θα εκτελέσει μία κίνηση η οποία θα μπορού-
σε να περιγραφεί ως εξής: ξεκινώντας από την θέση ισορροπίας του το
2

3. σώμα εκτελεί τμήμα ταλάντωσης (μισή ταλάντωση) με σταθερά επαναφο-
ράς D1 μέχρι να ξαναβρεθεί στην θέση ισορροπίας του και μετά εκτελεί
τμήμα ταλάντωσης (μισή ταλάντωση) με σταθερά επαναφοράς D2 μέχρ
να επιστρέψει για δεύτερη φορά στην θέση ισορροπίας του. Επομένως, η
περίοδος της περιοδικής κίνησής του θα είναι:
T =
T1
2
+
T2
2
=
1
2
(T1 + T2) =
1
2
2π
m
D1
+ 2π
m
D2
= 0, 15πs
2. Στην περίπτωση που και τα δύο ελατήρια είναι δεμένα διαρκώς στο σώμα,
για την δύναμη επαναφοράς εύκολα υπολογίζουμε ότι (θετικά προς τα
δεξιά):
ΣF = −Fελ1 − Fελ2 = −K1x − K2x = − (K1 + K2) x
άρα το σώμα θα εκτελέσει ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = K1 +
K2 = 40N
m (όπως στην πρώτη περίπτωση της παραπάνω διερεύνησης).
(αʹ) Για τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος έχουμε:
ω =
D
m
=
40
0, 1
=
√
400 = 20
rad
s
Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης θα είναι ίση με v0 = 16m
s
αφού αυτήν την ταχύτητα δίνουμε στο σώμα στη θέση ισορροπίας
του. Για την αρχική φάση έχουμε:
v = 16συν (20t + φ0)
t=0s
=====⇒
v=16m
s
16 = 16συν (φ0) ⇒ συν(φ0) = 1 ⇒ φ0 = 2kπ+0
k=0
===⇒ φ0 = 0
Συνεπώς, η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι:
v = 16συν (20t) (S.I.)
(βʹ) Διαδοχικά έχουμε:
∆p
∆t
= ΣF = −Dx
Βρίσκουμε τώρα το πλάτος της ταλάντωσης:
v0 = ωA ⇒ 16 = 20A ⇒ A = 0, 8m
Τώρα βρίσκουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης:
x = 0, 8ηµ (20t) (S.I.)
Οπότε έχουμε:
∆p
∆t
= −Dx = −40· 0, 8ηµ (20t)
t=11π
120
s
====== 16
kg· m
s2
3

4. (γʹ) Για την μεταβολή της ορμής του σώματος στο εν λόγω χρονικό
διάστημα υπολιγίζουμε πρώτα την ταχύτητα του σώματος τις δύο
αυτές χρονικές στιγμές:
v2 = 16συν 20
π
20
= −16
m
s
v3 = 16συν 20
π
10
= 16
m
s
Επομένως έχουμε:
∆p1,3 = p3 − p1 = mv3 − mv1 = m(v3 − v1) = 3, 2
kg· m
s
4