semoga bermanfaat

1. BAB
III
Sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear
A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
B. Sistem Pertidaksamaan Linear DuaVariabel (SPtLDV)

2. A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1. Mengingat Kembali Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Halaman Bab
4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
5. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel

3. Halaman Bab
1. Mengingat Kembali Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Halaman Subbab
a. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdiri atas
beberapa persamaan linear dua variabel yang saling berkaitan.
Bentuk umum SPLDV:
ax + by = c ….. (1)
dx + cy = e ….. (2)
b. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
SPLDV dapat diselesaikan dengan cara atau metode grafik,
eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi.

4. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui SPLDV berikut.
5x – 2y = -21 ….. (1)
4x + 3y = 20 ….. (2)
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLDV
tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

5. Latihan Soal
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut.
x + 3y = 10 ….. (1)
2x – y = -1 ….. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

6. 2. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri atas
beberapa persamaan linear tiga variabel yang saling
berkaitan. Bentuk umum SPLTV:
a1x + b1y + c1z = d1 ….. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 ….. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 ..... (3)
Jika d1, d2, dan d3 bernilai nol, SPLTV dinamakan sistem
persamaan linear homogen. Jika d1, d2, atau d3 tidak bernilai
nol, SPLTV dinamakan sistem persamaan linear tidak homogen
(nonhomogen).
Halaman Bab Halaman Subbab

7. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
2x + 3y + zp = 3 ….. (1)
x + 2yq + 4z = -6 ….. (2)
4xr + y + 5z = 1 ..... (3)
Jika sistem tersebut termasuk SPLTV, tentukan nilai (p + q)r.
Sistem persamaan tersebut termasuk SPLTV sehingga nilai p, q,
dan r adalah 1.
(p + q)r = (1 + 1)1
= 2
Jadi, nilai (p + q)r adalah 2.
Halaman Bab Halaman Subbab

8. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
x + 2y + zp + 2 = 4 ….. (1)
3x + yq – 1 + z = 1 ….. (2)
2xr + 5y + z = 6 ..... (3)
Tentukan nilai p – q + r.
Halaman Bab Halaman Subbab

9. 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penyelesaian SPLTV adalah nilai-nilai yang memenuhi persamaan-persamaan anggota
SPLTV.
SPLTV dapat mempunyai 1 penyelesaian, banyak penyelesaian, dan tidak mempunyai
penyelesaian.
a1x + b1y + c1z = d1 ….. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 ….. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

10. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
3x + ay = 5 ….. (1)
bx – y + z = 3 ….. (2)
x + 2y + z = 8 ..... (3)
Jika penyelesaian SPLTV tersebut (1, 2, 3), tentukan nilai a dan
b.
Penyelesaian SPLTV tersebut (1, 2,
3), sehingga:
3x + ay = 5
 3 + 2a = 5
 a = 1
bx – y + z = 3
 b – 2 + 3 = 3
 b + 1 = 3
 b = 2
Halaman Bab Halaman Subbab

11. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
2x – y – z = 5 ….. (1)
x + y + 3z = 1 ….. (2)
5x + 3y + 2z = 10 ..... (3)
Apakah SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian? Jelaskan
jawabanmu.
Halaman Bab Halaman Subbab

12. 4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan cara eliminasi, substitusi, dan
gabungan eliminasi-substitusi.
Cara atau metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan
dua variabel hingga nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya
langkah serupa dilakukan sehingga semua nilai variabel diperoleh.
Halaman Bab Halaman Subbab

13. Cara substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan didahului mengubah salah
satu variabel menjadi bentuk variabel lainnya (bentuk eksplisit). Selanjutnya
bentuk eksplisit yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan anggota SPLTV. Untuk
lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pada uraian selanjutnya.
Halaman Bab Halaman Subbab

14. Cara eliminasi-substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan
dua variabel hingga nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya nilai
yang diperoleh disubstitusikan sehingga semua nilai variabel diperoleh. Cara atau
metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan dua
variabel hingga nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya langkah
serupa dilakukan sehingga semua nilai variabel diperoleh.
Halaman Bab Halaman Subbab

15. Contoh Soal 1
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
3x + y + 3z = 16 ….. (1)
4x + 2y + 3z = 19 ….. (2)
5x + 3y + 2z = 19 ..... (3)
Gunakan cara eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLTV
tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

16. Halaman Bab Halaman Subbab

17. Halaman Bab Halaman Subbab

18. Contoh Soal 2
Jawaban
Gunakan cara substitusi untuk menentukan penyelesaian SPLTV
berikut.
2x + 3y + z = 6 ….. (1)
x + 4y + 3z = 13 ….. (2)
4x – y + 2z = 12 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

19. Halaman Bab Halaman Subbab

20. Contoh Soal 3
Jawaban
Gunakan cara eliminasi-substitusi untuk menentukan penyelesaian
SPLTV berikut.
4x + y + 3z = 1 ….. (1)
3x – y + 6z = 1 ….. (2)
2x + 3y + 2z = 6 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

21. Halaman Bab Halaman Subbab

22. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
20x – 4y + 15z = –187 …. (1)
5x + 8y + 9z = 41 …. (2)
10x + 5y + 4z = –48 …. (3)
Tentukan:
a. penyelesaian SPLTV,
b. nilai x – y – z
Halaman Bab Halaman Subbab

23. 5. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPLTV, dilakukan langkah-
langkah berikut.
a. Memisalkan nilai yang belum diketahui menjadi variabel.
Variabel digunakan untuk mewakili nilai yang belum diketahui. Variabel yang
digunakan misalnya x, y, dan z.
b. Menyusun model matematika berbentuk SPLTV.
Cermati permasalahan yang disajikan kemudian bentuklah persamaan-persamaan
linear anggota SPLTV.
c. Menyelesaikan SPLTV.
Tentukan penyelesaian SPLTV sehingga nilai variabel-variabel dapat ditemukan.
d. Menafsirkan penyelesaian SPLTV sesuai dengan permasalahan semula.
Cocokkan nilai variabel yang telah ditemukan dengan nilai yang diwakilinya.
Selanjutnya gunakan nilai-nilai tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
ditanyakan. Halaman Bab Halaman Subbab

24. Contoh Soal
Jawaban
Sebuah koperasi sekolah menjual 3 jenis paket alat tulis. Paket 1
berisi 1 pensil, 2 bolpoin, dan 3 buku tulis serta dijual seharga
Rp16.900,00. Paket 2 berisi 2 pensil, 2 bolpoin, 4 buku tulis serta
dijual seharga Rp22.200,00. Paket 3 berisi 3 pensil, 4 bolpoin, dan
5 buku tulis. Harga paket 3 sebesar Rp33.500,00. Berapakah harga 1
pensil?
Halaman Bab Halaman Subbab

25. Halaman Bab Halaman Subbab

26. Latihan Soal
Nela mempunyai kotak perhiasan berbentuk balok. Keliling alas
kotak tersebut 52 cm. Selisih antara panjang dan tinggi kotak 8
cm. Jika lebar dikurangi tinggi hasilnya –2 cm, tentukan volume
kotak tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

27. B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
1. Bentuk dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2. Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Halaman Bab
3. Menyelesaikan Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
4. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel

28. Halaman Bab
1. Bentuk dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Halaman Subbab
a. Bentuk Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Secara umum, pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV)
dinyatakan dengan bentuk-bentuk berikut.

29. b. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian atau daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel
berupa himpunan nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan.
Misalkan diketahui pertidaksamaan ax + by > c. Penyelesaian pertidaksamaan
tersebut ditentukan dengan langkah-langkah berikut.
1) Daerah penyelesaian ax+ by > c dibatasi oleh persamaan ax + by = c.
Terlebih dahulu akan digambar garis ax + by = c. Jika pertidaksamaan
menggunakan tanda > atau <, garis digambar sebagai garis putus-putus.
Jika pertidaksamaan menggunakan tanda ≥ atau ≤, garis digambar sebagai
garis penuh.
2) Pilihlah salah satu titik di luar garis ax + by = c sebagai titik uji.
Jika ax + by = c tidak melalui titik O (0, 0), gunakan titik O (0, 0)
sebagai titik uji.
3) Ujikan titik uji ke dalam pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan menjadi
benar, berarti titik uji tersebut termasuk daerah penyelesaian. Jika
tidak, daerah penyelesaian terletak di seberangnya.
4) Arsir atau blok daerah penyelesaian tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

30. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui pertidaksamaan 3x + 4y > 12. Tentukan daerah penyelesaian
pertidaksamaan tersebut.
Daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 dibatasi
oleh persamaan 3x + 4y = 12. Grafik digambar
sebagai garis putus-putus karena
pertidaksamaan memuat tanda >.
Pilih titik O (0, 0) sebagai titik uji.
3x + 4y = 3 × 0 + 4 × 0 = 0
0 < 12 sehingga daerah penyelesaian 3x + 4y >
12 tidak memuat titik O (0, 0).
Diperoleh daerah penyelesaian yang
ditunjukkan pada gambar di samping.
Halaman Bab Halaman Subbab

31. Latihan Soal
Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y ≤ 15.
Halaman Bab Halaman Subbab

32. 2. Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel memuat beberapa
pertidaksamaan linear. Oleh karena itu, semua bentuk aljabar
anggota SPtLDV harus memuat tanda pertidaksamaan, yaitu: >, <,
≥, atau ≤.
Contoh SPtLDV sebagai berikut.
a. 2x + 9y > 18 …. (1)
5x – y ≥ 15 …. (2)
b. 6x – 7y ≤ 42 …. (1)
8x + 7y > 56 …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

33. Contoh Soal
Jawaban
Selidikilah bentuk-bentuk berikut. Bentuk manakah yang termasuk
SPtLDV?
a. 5 – 3y > 2x + 6y …. (1)
2x + 5y < 6 …. (2)
b. 3x – y < 9 …. (1)
8x + 2y = 16 …. (2)
c. x + 2y > 4xy …. (1)
4x + 3y > 12 …. (2)
a. Merupakan SPtLDV karena kedua pertidaksamaan berbentuk
linear dua variabel.
b. Bukan SPtLDV karena memuat bentuk persamaan.
c. Bukan SPtLDV karena memuat bentuk pertidaksamaan nonlinear.
Halaman Bab Halaman Subbab

34. Latihan Soal
Diketahui SPtLDV berikut.
3x – y > -x – 5y + 7 …. (1)
2x – 5 > -3y + 1 …. (2)
Ubahlah SPtLDV tersebut menjadi bentuk ax + by > c dan dx + ey
> f kemudian tentukan nilai a + d.
Halaman Bab Halaman Subbab

35. 3. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Penyelesaian atau daerah penyelesaian SPtLDV merupakan himpunan nilai-
nilai yang memenuhi semua pertidaksamaan anggota sistem.
Misalkan diketahui pertidaksamaan ax + by > c dan dx + ey > f.
Penyelesaian SPtLDV tersebut ditentukan dengan langkah-langkah
berikut.
1) Gambarlah daerah penyelesaian ax+ by > c.
2) Pada bidang koordinat yang sama, gambarlah daerah penyelesaian dx +
ey > f.
3) Daerah penyelesaian SPtLDV adalah daerah yang memenuhi
pertidaksamaan ax + by > c dan dx + ey > f. Daerah tersebut biasanya
berupa irisan atau daerah yang diarsir dua kali.
Halaman Bab Halaman Subbab

36. Contoh Soal
Jawaban
Tentukan daerah penyelesaian SPtLDV 3x + 4y > 12 dan 6x + 2y >
12.
Mula-mula digambar daerah penyelesaian 3x +
4y > 12.
Pada daerah yang sama, digambar daerah
penyelesaian 6x + 2y > 12.
Daerah yang berwarna biru tua dibentuk oleh
irisan daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 dan
6x + 2y > 12. Daerah tersebut menunjukkan
daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 dan 6x + 2y
> 12.
Halaman Bab Halaman Subbab

37. Latihan Soal
Gambarlah daerah penyelesaian SPtLDV berikut.
6x – 3y > 18 …. (1)
3x – 6y ≤ 18 …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

38. 4. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
(SPtLDV)
Secara umum, untuk menyelesaikan masalah SPtLDV, lakukan
langkah–langkah berikut.
1. Lakukan pemisalan atau pemilihan variabel.
2. Ubahlah permasalahan menjadi model matematika berbentuk
SPtLDV.
3. Gambarlah grafi daerah penyelesaian SPtLDV.
4. Tafsirkan daerah penyelesaian sesuai permasalahan yang
dimaksud.
Halaman Bab Halaman Subbab

39. Contoh Soal
Jawaban
Bu Tuti membawa uang belanja Rp240.000,00. Ia ingin membeli tepung
terigu dan tepung panir kemasan 1 kilogram. Harga tepung terigu
Rp12.000,00 per kilogram. Harga tepung panir Rp18.000,00 per
kilogram. Sepeda motor yang ia gunakan hanya dapat digunakan untuk
mengangkut 15 kilogram belanjaan. Apakah Bu Tuti dapat membeli
beberapa kg tepung terigu dan 13 kg tepung panir?
Misalkan: x = banyak tepung terigu yang dapat dibeli
y = banyak tepung panir yang dapat dibeli
Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
12.000x + 18.000y ≤ 240.000
⇔ 2x + 3y ≤ 40 …. (1)
x + y ≤ 15 …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

40. Tepung terigu dan tepung panir dijual dalam kemasan
1 kilogram sehingga x ≥ 1 dan y ≥ 1.
Grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
sebagai berikut.
Daerah penyelesaian SPtLDV ditunjukkan oleh daerah berwarna
hijau tua. Dari grafi daerah penyelesaian diketahui koordinat
(x, 13) tidak termasuk daerah penyelesaian. Dengan demikian,
Bu Tuti tidak dapat membeli beberapa kg tepung terigu dan 13
kg tepung panir.
Halaman Bab Halaman Subbab

41. Latihan Soal
Ardian mempunyai persediaan kain flanel 800 cm2
. Kain tersebut
akan digunakan untuk membuat ornamen berbentuk kelinci dan
kucing. Setiap ornamen kelinci membutuhkan kain 60 cm2. Setiap
ornamen kucing membutuhkan kain 80 cm2. Jumlah ornamen yang akan
dibuat maksimum 12 unit. Jika Ardian menginginkan ornamen
kelinci lebih sedikit daripada ornamen kucing, tentukan
kemungkinan banyak ornamen kucing yang dapat dibuat.
Halaman Bab Halaman Subbab