Mata kuliah Matematika Dasar I membahas sistem bilangan riil, ketidaksamaan, nilai mutlak, fungsi trigonometri, limit, turunan, dan penerapannya. Topik-topik tersebut mencakup konsep-konsep dasar matematika seperti bilangan, fungsi, dan kalkulus.
- Definisi sistem koordinat polar (kutub);
- Mengubah koordinat polar ke koordinat kartesius dan sebaliknya;
- Kurva polar;
- Gradien garis singgung kurva polar;
- Luas area yang dilingkupi kurva polar;
- Panjang busur kurva polar;
- Luas permukaan dari kurva polar yang diputar terhadap sumbu tertentu.
- Definisi sistem koordinat polar (kutub);
- Mengubah koordinat polar ke koordinat kartesius dan sebaliknya;
- Kurva polar;
- Gradien garis singgung kurva polar;
- Luas area yang dilingkupi kurva polar;
- Panjang busur kurva polar;
- Luas permukaan dari kurva polar yang diputar terhadap sumbu tertentu.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
2. Materi perkuliahan sampai UTS
• Sistem bilangan riil
• Ketidaksamaan
• Nilai mutlak
• Fungsi dan operasi fungsi
• Fungsi Trigonometri
• Pendahuluan limit, Teorema limit, Fungsi Kontinu
• Pendahuluan Turunan, Aturan pencarian turunan, Aturan
Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Turunan Implisit
• Aplikasi turunan ; max-min, kemonotonan &
kecekungan,max-min lokal, limit tak hingga
3. Bilangan Real
• Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan
yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan irasional
• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q∈
Z, dengan q ≠0}
contoh :
• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan
bilangan rasional :
* Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}
* Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
p
q
1 4 57
, ,
3 9 1
−
4. – Himpunan bilangan irasional,
iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }
contoh : π, e, log 5,
– Teorema :
“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”
– Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir
atau berulang dengan pola yang sama :
contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….
13/11 =1.1818181818…
– Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal
berulang dan sebaliknya
contoh : x = 0.136136136….
y = 0.271271271…..
Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional
– Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan
sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….
p
q2
5. Garis bilangan
Setiap bilangan real berkorespondensi dengan
satu dan hanya satu titik pada sebuah garis
bilangan, yang disebut garis bilangan real.
0-1 1 2-4 π2
−5
2 3 5
6. • Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan
sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan
real.
• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :
* Sifat-sifat aljabar
* Sifat-sifat urutan
* Sifat-sifat kelengkapan
Sistem bilangan real
7. *Sifat-sifat aljabar bilangan real
Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2
bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,
dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk
memperoleh bilangan real yang baru.
contoh:
2 + 5⅛ = 7⅛
5-0,4 = 4,6
4 x ¾= 1
3 : 4 = ¾
8. *Sifat-sifat urutan bilangan real
• Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a
nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.
contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 >
0
• Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b,
jika b – a positif
contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0
9. Untuk setiap bilangan real a, b dan c
berlaku sifat urutan berikut:
• a < b ⇒ a + c < b + c
• a < b ⇒ a - c < b – c
• a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
• a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
• a > 0 ⇒
• Jika a dan b bertanda sama maka
1
0>
a
1 1
< ⇒ <a b
b a
10. *Sifat kelengkapan bilangan real
Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara
garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak
bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan
real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah
diantaranya
Contoh :
Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar
atau salah!
a. -2 < -5
b.
6 34
7 39
<
11. Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis
bilangan real yang mengandung paling sedikit 2
bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real
yang terletak diantara keduanya.
Interval bilangan real
Untuk setiap x, a, b, c ∈ R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup
2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup
atau terbuka
3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka
atau tertutup
4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
12. Interval – interval tak hingga
• (–∞, b] = {x | x ≤ b}
• (–∞, b) = {x | x < b}
• (a, ∞] = {x | x ≥ a}
• (a, ∞) = {x | x > a}
• (–∞, ∞] = {x | x ∈ R}
13. Ketidaksamaan
• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti
mencari interval atau interval-interval dari bilangan
yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.
• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :
1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama
2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif
3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi
tanda ketidaksaman berubah
Contoh:
Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah
kumpulan solusinya pada garis bilangan real!
a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
b.
c. (x – 1)2
≤ 4
x
x
−
+
>
2
4
2
14. Nilai Mutlak
• Definisi nilai mutlak :
• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan
|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:
• Secara Geometri:
|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.
|x – y| = jarak diantara x dan y
<−
≥
=
0,
0,
xx
xx
x
2
x x=
15. Sifat nilai mutlak
• |-a| = |a|
• |ab| = |a||b|
• |a + b| ≤ |a| + |b|
• |x|2
= x2
• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a
• |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a
• |x| < |y| jika dan hanya jika x2
< y2
• =
aa
b b