f45

1. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN, IRASIONAL, MUTLAK
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan linear, kuadratik ataupun polinomial
berbentuk hasil bagi. Penyebut pada suatu pertidaksamaan pecahan harus memuat variabel
(misal 𝑥). Di sini pembilang juga bisa berupa fungsi konstanta bukan 0.
Ada 4 macam bentuk pertidaksamaan pecahan, yaitu:
Dimana 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) adalah fungsi-fungsi dengan variabel 𝑥 𝑓 dan 𝑔 masing-masing adalah
fungsi dalam 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Pertidaksamaan pecahan dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep garis bilangan.
Metodenya sama seperti pertidaksamaan biasa namun memiliki sedikit perbedaan.
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan pecahan:
a. Menentukan pembuat nilai 0 bagianpembilang dan penyebut dari bentuk pecahan,
yaitu 𝑓( 𝑥) = 0 dan 𝑔( 𝑥) = 0.
b. Tentukan apakah nilai 0 tadi merupakan bulatan penuh atau bulatan kosong
bergantung dari bentuk pertidaksamaan yang diberikan. Khusus untuk penyebut
selalu bulatan kosong karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai 0.
c. Nilai nol yang telah didapat Pembuat nol dari pembilang dan penyebut ditempatkan
pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol Pembuat nol akan membagi garis
bilangan menjadi beberapa interval.
d. Tentukan tanda-tanda pada setiap interval (positif atau negatif) dengan cara
mengambil suatu nilai uji yang berada pada interval tersebut.
e. Setelah mendapatkan tanda-tanda interval kita dapat menentukan interval yang
memenuhi pertidaksamaan tersebut. Untuk pertidaksamaan kurang dari dan
kurang dari sama dengan, ambil interval daerah negatif (−), sebaliknya untuk
pertidaksamaan lebih dari dan lebih dari sama dengan ambil interval daerah positif
(+).
f. Terakhir, bila diminta tulislah himpunan penyelesaiannya.

2. Untuk lebih jelasnya mari kita masuk ke contoh soal
Contoh 1:
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
Langkah-langkah Penyelesaian:
a. Mencari pembuat nilai 0
 Nilai nol pembilang : 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2
 Nilai nol penyebut : 𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 = −5
b. Menentukan jenis bulatan
 𝑥 = 2, bulatan penuh (●) karena jenis pertidaksamaan lebih dari sama
dengan.
 𝑥 = −5, bulatan kosong (○) karena merupakan penyebut.
c. Membuat diagram garis bilangan
-5 2
Dari diagram di atas, terlihat bahwa ada tiga interval dalam soal di atas yaitu:
 Interval 𝑥 ≥ 2
 Interval −5 < 𝑥 ≤ 2
 Interval 𝑥 < −5
d. Menentukan tanda interval
 Dari diagram garis bilangan diatas, dapat kita lihat bahwa terdapat tiga
interval. Cara menentukan tanda interval adalah dengan nilai uji yang
berada di masing-masing interval.
 Untuk interval 𝑥 ≥ 2, ambil nilai uji 𝑥 = 3 →
3−2
3+5
=
1
8
> 0, interval bertanda +
 Untuk interval −5 < 𝑥 ≤ 2, ambil nilai uji 𝑥 = 0 →
0−2
0+5
=
2
5
< 0, interval
bertanda −
 Untuk interval 𝑥 < −5, ambil nilai uji 𝑥 = −6 →
−6−2
−6+5
=
−8
−1
= 8 > 0, interval
bertanda +

3. e. Maka diagram garis bilangan pada soal di atas menjadi
+ − +
-5 2
Karena soal adalah pertidaksamaan lebih dari sama dengan, maka dari gambar
diagram interval, interval yang memenuhi adalah interval yang bertanda positif
yaitu interval 𝑥 ≥ 2 dan interval 𝑥 < −5.
f. Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan di atas adalah
HP = {𝑥|𝑥 < −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 2, 𝑥 𝜖 𝑅}.
Catatan: Mengapa menggunakan atau, apa bedanya dengan dan? Di sini, konsep
dari pertidaksamaan adalah bahwa benar dapat terpenuhi oleh salah satu interval.
Dalam logika matematika (dibahas di topik lain) atau & dan memiliki pengertian
yang berbeda. Dan berarti semua komponen harus benar agar pernyataan benar
sementara atau berarti jika salah satu dari komponen benar, pernyataan benar.
Pada kasus ini lebih tepat menggunakan atau daripada dan karena interval yang
manapun, kebenaran dari pertidaksamaan sudah terpenuhi.
Contoh 2: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
Langkah-langkah Penyelesaian:
a. Mencari pembuat nilai 0
 Nilai nol pembilang : faktorkan 𝑥2
+ 5𝑥 + 4
Maka, 𝑥2
− 5𝑥 + 4 = ( 𝑥 − 4)( 𝑥 − 1) = 0 → 𝑥 = 4, 𝑥 = 1
 Nilai nol penyebut : persamaan 𝑥2
+ 4𝑥 + 5 tidak dapat difaktorkan
karena nilai diskriminannya lebih kecil daripada 0. (konsep diskriminan lebih
lanjut telah dibahas di topik persamaan kuadrat. 𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 dimana jika
𝐷 < 0, maka persamaan kudarat kuadrat tidak memiliki penyelesaian akar
real).
 Untuk kasus diskriminan lebih kecil daripada nol, setiap bilangan real yang
dimasukan disubstitusikan ke dalam persamaan akan memiliki tanda yang
sama baik itu positif ataupun negatif. menghasilkan suatu konstanta.

4.  Pada soal di atas, persamaan 𝑥2
+ 4𝑥 + 5 memiliki nilai positif (uji coba
masukkan 𝑥 = 0 → 02
+ 4.0 + 5 = 5 > 0). Sehingga tidak mempengaruhi
pertidaksamaan.
 Langkah berikutnya sama seperti pertidaksamaan biasa karena penyebut
diabaikan.
b. Menentukan jenis bulatan
 𝑥 = 1, bulatan kosong (○) karena jenis pertidaksamaan kurang dari.
 𝑥 = 4, bulatan kosong (○) karena jenis pertidaksamaan kurang dari.
c. Membuat diagram garis bilangan
1 4
Dari diagram di atas, terlihat bahwa ada tiga interval dalam soal di atas yaitu:
 Interval 𝑥 > 4
 Interval 1 < 𝑥 < 4
 Interval 𝑥 < 1
d. Menentukan tanda interval
 Untuk interval 𝑥 > 4, ambil nilai uji 𝑥 = 5 → 52
− 5 .5 + 4 = 4 > 0, interval
bertanda +
 Untuk interval 1 < 𝑥 < 4, ambil nilai uji 𝑥 = 2 → 22
− 5 .2 + 2 = −4 < 0,
interval bertanda −
 Untuk interval 𝑥 < 1, ambil nilai uji 𝑥 = 0 → 02
− 5 .0 + 2 = 2 > 0, interval
bertanda +
e. Maka diagram garis bilangan pada soal di atas menjadi
+ − +
1 4
Karena soal adalah pertidaksamaan kurang, maka dari gambar diagram interval,
interval yang memenuhi adalah interval yang bertanda positif yaitu interval 1 < 𝑥 <
4.
f. Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan di atas adalah

5. HP = {𝑥|1 < 𝑥 < 4, 𝑥 𝜖 𝑅}.
Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
Langkah Penyelesaian
Pembuat nilai nol: 𝑥 = −1, bulatan kosong (○), 𝑥 = 2, bulatan kosong (○), 𝑥 = 8, bulatan
penuh (●)
Maka ada empat interval
Untuk 𝑥 < −1, interval −
Untuk −1 < 𝑥 < 2, interval +
Untuk 2 < 𝑥 < 8, interval –
Untuk 𝑥 > 8, interval +
− + − +
-1 2 8
Pertidaksamaan lebih dari, ambil interval positif sehingga HP = {𝑥|𝑥 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 < 𝑥 ≤
8, 𝑥 𝜖 𝑅}
PETUNJUK :Ingat dalam soal seperti ini, jangan langsung dikali silang, tetapi kerjakan
dengan memindahkan ke salah satu ruas.
Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
Langkah Penyelesaian

6. Untuk pertidaksamaan secara umum, pembuat nilai nol: 𝑥 = −5, bulatan kosong (○), 𝑥 = 0,
bulatan kosong (○),
Maka ada tiga interval
Untuk 𝑥 < −5, interval −
Untuk −5 < 𝑥 < 0, interval +
Untuk 𝑥 > 0, interval +
− + +
-5 0
Pertidaksamaan lebih dari, ambil interval positif sehingga untuk pertidaksamaan secara
umum HP = {𝑥|𝑥 > −5 , 𝑥 ≠ 0, 𝑥 𝜖 𝑅}.
Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, pembuat nilai nol: 𝑥 = −5, bulatan penuh (●)
dimana berlaku 𝑥 ≥ −5.
− +
-5
Irisan dari kedua garis bilangan diatas adalah
-5 0
Jadi berlaku HP = {𝑥|𝑥 > −5 , 𝑥 ≠ 0, 𝑥 𝜖 𝑅}.
PETUNJUK
Ketika muncul pertidaksamaan bentuk akar, kita tidak boleh lupa mencantumkan syarat
bahwa bentuk akar harus lebih besar sama dengan 0.
Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar salah satu caranya adalah mengkuadratkan
kedua ruas.
Pada soal ini, karena ada bentuk akar maka harus dibuat dua garis bilangan untuk dari
pertidaksamaan secara umum dan syarat bentuk akar. Baru dicari irisan dari kedua garis
bilangan yang merupakan himpunan penyelesaian yang diminta.

7. Banyak soal yang memanfaatkan sifat-sifat bentuk akar ataupun nilai mutlak sehingga harus
berhati-hati.
Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
Langkah Penyelesaian
Secara umum, berlaku 𝑥 < −
1
2
dansyarat pertidaksamaan nilai mutlak, berlaku 𝑥 ≠ −3
Irisan dari kedua garis bilangan diatas adalah
-3 −
1
2
Jadi berlaku HP = {𝑥|𝑥 < −
1
2
, 𝑥 ≠ −3, 𝑥 𝜖 𝑅}.
PETUNJUK
Untuk soal nilai mutlak, ingat nilai mutlak adalah akar kuadrat dari komponen di dalamnya
sehingga dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.
Contoh 6 :Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
Langkah Penyelesaian

8. Pertidaksamaan secara umum, pembuat nilai nol: 𝑥 = −1, bulatan kosong (○), 𝑥 = 0,
bulatan kosong (○),
Untuk persamaan 𝑥2
+ 3𝑥 + 3 merupakan persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan
negatif dan kurvanya berada di atas sumbu 𝑥 sehingga positif untuk setiap 𝑥 elemen
bilangan real dan dapat diabaikan
Maka ada tiga interval
Untuk 𝑥 < −1, interval −
Untuk −1 < 𝑥 ≤ 0, interval −
Untuk 𝑥 ≥ 0, interval +
− − +
-1 0
Pertidaksamaan kurang dari sama dengan, ambil interval negatif sehingga untuk
pertidaksamaan secara umum HP = {𝑥|𝑥 ≤ −0 , 𝑥 ≠ −1, 𝑥 𝜖 𝑅}.
Untuk syarat pertidaksamaan mutlak, berlaku 𝑥 ≠ −1
Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, berlaku 𝑥 ≥ −1.
Irisan dari ketiga syarat diatas adalah

9. -1 0
Jadi berlaku HP = {𝑥| − 1 < 𝑥 ≤ 0, 𝑥 𝜖 𝑅}.
PETUNJUK
Soal di atas menggabungkan konsep pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan mutlak dan
pertidaksamaan bentuk akar sehingga dalam pengerjaannya harus berhati-hati agar syarat-
syarat masing-masing tidak terlupa.
Pada perhitungan ditemukan bentuk polinomial pangkat 3, hal ini dibahas lebih lanjut pada
topik sukubanyak namun dasarnya dipakai dalam soal di atas yaitu,