1. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ตรรกศาสตร ม.4 เทอมตน สาระการเรียนรูเพิ่มเติม
ประพจน
การแจกแจงคาความจริง
การเชื่อมประพจน นิเสธของประพจน
ประพจนที่สมมูลกัน
สัจนิรันดร
การอางเหตุผล
ประโยคเปด และ ตัวบงปริมาณ
1

2. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ประพจน
ประพจน คือ ประโยคที่มคาความจริง เปนจริงหรือเท็จ อยางใดอยางหนึ่งเทานัน
ี ้
ขอสังเกต
ประโยคที่เปนประพจน จะมีลักษณะเปน ประโยคบอกเลา หรือ ปฏิเสธ
ประโยคที่ไมเปนประพจน จะมีลักษณะเปน ประโยคคําถาม, คําสั่ง, ขอรอง, อุทาน
การแจกแจงคาความจริง
จริง ใชสญลักษณ T
ั
เท็จ ใชสญลักษณ F
ั
มี 2 ประพจนแจกแจงคาความจริงไดดงนี้
ั มี 3 ประพจนแจกแจงคาความจริงไดดงนี้
ั
p q p q r
T F T F T
T T T T T
F T F T T
F F F F T
แจกแจงคาความจริงได 4 แบบ T F F
T T F
F T F
F F F
แจกแจงคาความจริงได 8 แบบ
จํานวนวิธีการแจกแจง = 2n โดยที่ n คือจํานวนประพจน
เชน ถามี 4 ประพจน จะเขียนแจกแจงคาความจริงได 24 = 16 แบบ
หรือ ถามี 5 ประพจน จะเขียนแจกแจงคาความจริงได 25 = 32 แบบ
2

3. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การเชื่อมประพจน และ นิเสธของประพจน
การเชื่อมประพจน
และ ( ∧ ) หรือ (∨)
p q p∧q p q p∨q
T F F T F T
T T T T T T
F T F F T T
F F F F F F
ขอสังเกต ขอสังเกต
เชื่อมกันดวย และ ( ∧ ) เชื่อมกันดวย หรือ ( ∨ )
เปนจริงได กรณีเดียว คือ เปนจริงทั้งคู เปนเท็จได กรณีเดียว คือ เปนเท็จทั้งคู
(มีเท็จอยู เปนเท็จเลย) (มีจริงอยู เปนจริงเลย)
ถา...แลว (→) ก็ตอเมื่อ (↔)
p q p→q p q p↔q
T F F T F F
T T T T T T
F T T F T F
F F T F F T
ขอสังเกต ขอสังเกต
เชื่อมกันดวย ถา...แลว ( → ) เชื่อมกันดวย ก็ตอเมื่อ ( ↔ )
เปนเท็จได กรณีเดียว คือ เปนจริงได เมื่อ ทั้งคูมีคาความจริงเหมือนกัน
ขางหนาเปนจริง ขางหลังเปนเท็จ
นิเสธ (∼)
p ∼p
T F
F T
ขอสังเกต ∼ (∼ p) ≡ p
3

4. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
***ขอควรระวังในการหาคาความจริงของประพจน***
ถามีวงเล็บใหหาคาความจริงภายในวงเล็บกอน
แตถาไมมีวงเล็บใหหาคาความจริง ∼ กอน แลวจึง ∧ , ∨ แลวจึง → แลวจึง ↔ ตามลําดับ
ประพจนที่สมมูลกัน
ประพจนท่สมมูลกัน คือ ประพจนท่มคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี
ี ี ี
***ประพจนที่สมมูลกันที่ตองจํา
1) น → ล ≡ ∼ น ∨ ล , น ∨ ล ≡ ∼ น → ล
2) ∼ (น → ล) ≡ น ∧ ∼ ล , ∼ (น ∧ ล) ≡ น → ∼ ล
3) น → ล ≡ ∼ ล → ∼ น
4) ∼ (น ∨ ล) ≡ ∼ น ∧ ∼ ล , ∼ (น ∧ ล) ≡ ∼ น ∨ ∼ ล
5) น ↔ ล ≡ (น → ล) ∧ (ล → น)
6) น ∧ (ก ∨ ล) ≡ (น ∧ ก) ∨ (น ∧ ล) , น ∨ (ก ∧ ล) ≡ (น ∨ ก) ∧ (น ∨ ล)
4

5. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
สัจนิรันดร
ประพจนท่เปนสัจนิรนดร คือ ประพจนทมีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี
ี ั ี่ 
การพิสูจนสจนิรันดร
ั
ขั้นแรก
สมมุติใหประพจนที่ตองการพิสูจนสัจนิรันดร เปนเท็จ
ขั้นตอมา
หาคาความจริงของประพจนยอย
สรุป
ถาคาความจริงของประพจนยอยขัดแยงกัน สรุป เปนสัจนิรันดร
ถาคาความจริงของประพจนยอยไมขัดแยงกัน สรุป ไมเปนสัจนิรันดร
ถาสรุปหาคาความจริงของประพจนยอยไมได สรุป ไมเปนสัจนิรนดรั
***หมายเหตุ
สําหรับประพจนทเี่ ปนเท็จไดหลายกรณี เชน ประพจนที่เชื่อมดวย ↔
กอนจะสรุปวาเปนสัจนิรดร ตองพิสูจน ใหครบทุกกรณีกอนวาประพจนยอยขัดแยงกัน
ั 
แตถาพบกรณีใดไมขัดแยงกัน(คลอยตาม)สามารถสรุปไดเลยวาไมเปนสัจนิรนดร
ั
สําหรับตัวเชื่อม ↔ จะดูแบบนีก็ได
้
ถาประพจนทางดานซาย กับ ทางดานขวา ของเครื่องหมาย ↔
สมมูลกัน จะสรุปไดวา เปนสัจนิรันดร
แตถา
ไมสมมูลกัน จะสรุปไดวา ไมเปนสัจนิรันดร

5

6. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การอางเหตุผล
(เหตุที่1 ∧ เหตุที่2 ∧ ... ∧ เหตุที่ n ) → ผล
พิสูจนสัจนิรนดร
ั
ขั้นแรก
สมมุติใหประพจนที่ตองการพิสูจนสัจนิรันดร เปนเท็จ
ขั้นตอมา
หาคาความจริงของประพจนยอย
สรุป
ถาคาความจริงของประพจนยอยขัดแยงกัน สรุป เปนสัจนิรันดร

ถาคาความจริงของประพจนยอยไมขัดแยงกัน สรุป ไมเปนสัจนิรันดร

ถาสรุปหาคาความจริงของประพจนยอยไมได สรุป ไมเปนสัจนิรันดร
ถาประพจนนี้เปนสัจนิรันดร ถาประพจนนไมเปนสัจนิรันดร
ี้
การอางเหตุผลนี้จะสมเหตุสมผล การอางเหตุผลนี้จะไมสมเหตุสมผล
***ดังนันการพิสูจนวา การอางเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม
้
จะตองพิสจนวาประพจนนี้เปนสัจนิรนดรหรือไม
ู ั
6

7. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ประโยคเปด และ ตัวบงปริมาณ
ประโยคเปด
ประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลาหรือปฏิเสธที่มตวแปร โดยเมื่อแทนคาตัวแปรดวยสมาชิกใน
ี ั
เอกภพสัมพัทธ ประโยคเปดจะกลายเปนประพจน
สัญลักษณ ประโยคเปดที่มี x เปนตัวแปร ใชสัญลักษณ P( x), Q( x),...
***ประโยคเปดใชตัวเชื่อมตางๆ (∧, ∨, →, ↔) และ นิเสธ (∼) ไดเหมือนกับที่ใชกับประพจน
ตัวบงปริมาณ 1 ตัว
กําหนดให U คือ เอกภพสัมพัทธ
∀x [ P ( x) ] หมายถึง สมาชิกทุกตัว (แตละตัว) ในเอกภพสัมพัทธ
แทนคาใน x ของประโยคเปด P( x)
∃x [ P ( x) ] หมายถึง สมาชิกอยางนอย 1 ตัว ในเอกภพสัมพัทธ
แทนคาใน x ของประโยคเปด P( x)
∀x [ P ( x) ] มีคาความจริงเปนจริง
เมื่อ สมาชิกทุกตัว(แตละตัว)ในเอกภพสัมพัทธแทนคาใน P( x) แลวเปนจริง
∀x [ P ( x) ] มีคาความจริงเปนเท็จ
เมื่อ มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธแทนคาใน P( x) แลวเปนเท็จ
∃x [ P ( x ) ]มีคาความจริงเปนจริง
เมื่อ มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธแทนคาใน P( x) แลวเปนจริง
∃x [ P( x) ] มีคาความจริงเปนเท็จ
เมื่อ ไมมีสมาชิกตัวใดเลยในเอกภพสัมพัทธที่แทนคาใน P( x) แลวเปนจริง
สูตรนี้ออกสอบบอยมาก!!!
∼ ∀x [ P ( x) ] ≡ ∃x [ ∼ P ( x) ]
∼ ∃x [ P( x)] ≡ ∀x [ ∼ P ( x) ]
รูไวนะ!!!
กําหนดให P( x) คือ 3x ≥ 2 จะได ∼ P( x) คือ 3x < 2
7

8. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ตัวบงปริมาณ 2 ตัว
กําหนดให U คือ เอกภพสัมพัทธ
มีทั้งหมด 8 แบบ
1) ∀x∀y [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําแตละตัวใน U แทนใน x แลวสามารถนําทุกตัวใน U แทนใน y แลวเปนจริง
2) ∀x∃y [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําแตละตัวใน U แทนใน x แลวสามารถนําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน y แลวเปนจริง
3) ∃x∀y [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน x แลวสามารถนําทุกตัวใน U แทนใน y แลวเปนจริง
4) ∃x∃y [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน x แลวสามารถนําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน y แลวเปนจริง
5) ∀y∀x [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําแตละตัวใน U แทนใน y แลวสามารถนําทุกตัวใน U แทนใน x แลวเปนจริง
6) ∀y∃x [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําแตละตัวใน U แทนใน y แลวสามารถนําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน x แลวเปนจริง
7) ∃y∀x [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน y แลวสามารถนําทุกตัวใน U แทนใน x แลวเปนจริง
8) ∃y∃x [ P( x, y)] เปน จริง
เมื่อ นําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน y แลวสามารถนําอยางนอย 1 ตัวใน U แทนใน x แลวเปนจริง
สูตรนี้ออกสอบบอยมาก!!!
∼ ∀x∀y [ P( x, y )] ≡ ∃x∃y [ ∼ P( x, y ) ]
∼ ∃x∃y [ P ( x, y )] ≡ ∀x∀y [ ∼ P( x, y ) ]
∼ ∀x∃y [ P ( x, y ) ] ≡ ∃x∀y [ ∼ P( x, y ) ]
∼ ∃x∀y [ P ( x, y ) ] ≡ ∀x∃y [ ∼ P( x, y ) ]
สิ่งที่นาสนใจ
∀x∀y [ P ( x, y ) ] ≡ ∀y∀x [ P ( x, y ) ]
∃x∃y [ P( x, y ) ] ≡ ∃y∃x [ P( x, y ) ]
8