Peubah acak

1. 1. TEORI PENDUKUNG
•1.1 Pendahuluan
•1.2 Variabel acak
•1.3 Distribusi variabel acak diskrit
•1.4 Distribusi variabel acak
kontinu
•1.5 Distribusi multivariat
1

2. Definisi 1:
Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan acak. Notasi : S
2
Definisi 2:
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Sifat :
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A B
 
Prostok-1-firda
1.1 Pendahuluan

3. 3
Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A,
ditulis dengan sifat:
( )atau { }
P A P A
( )0 ( ) 1
i P A
 
( ) ( ) 1 dan ( ) 0.
ii P S P
  
( ) Untuksetiapkejadian A, ( ') 1 ( ).
iii P A P A
 
• Jika ,maka ( ) ( ).
A B P A P B
 
• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
( ) ( ) ( ) ( ).
P A B P A P B P AB
   
( ) ( ) ( ).
P AB P A P B

Prostok-1-firda

4. 4
• Jika A dan B dua kejadian , dengan
  ( )
( )
P A B
P B A
P A


( ) 0,
P A 
peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:
Jika kejadian-kejadian adalah partisi
dari ruang sampel S maka untuk kejadian B
sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0
berlaku:
1 2
, ,..., k
A A A
Teorema Bayes :
1
( ). ( )
( )
( )
( )
( ). ( )


 

i i
i
i k
i i
i
P B A P A
P A B
P A B
P B
P B A P A

5. Definisi 3:
Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel
ke himpunan bilangan real. (R)
Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x,
dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama
dengan x dinyakan dengan
Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan
nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.
5
1.2 Variabel Acak
( ).
P X x


6. Klasifikasi Variabel Acak:
1. Variabel Acak Diskrit
2. Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk
himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .
Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan
bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).
6

7. 7
Definisi 4:
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut
fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function
(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :
( ) ( )
p x P X x
 
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu
disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability
density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
  

8. 8
( ) ( ),
F x P X x x
      
( ) ( ) ( )
t x
F x P X x p t

  
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f t dt
 
  
Definisi 5:
Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel
acak X adalah:
• Untuk variabel acak diskrit :
• Untuk variabel acak kontinu :

9. 9
Definisi 6:
(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x),
maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )
x
E X xp x

(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang
f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )
E X x f x dx

 
 
Prostok-1-firda

10. 10
 
2
2
( ) ( ) ( )
Var X E X E X
 
Definisi 7:
Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:
Definisi 8:
Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X
merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu
 
( ) tX
X
M t E e
 
( ) ,
tx
e f x dx

 

( ),
tx
x
e p x

X variabel acak
kontinu
X variabel acak diskrit

11. 1.3 Distribusi variabel acak diskrit
11
a. Distribusi Bernoulli
1
( ) , 0,1
x x
p x p q x

 
( ) 
E X p
( ) (1 )
  
Var X p p pq
• pmf:
• mean:
• variansi:

12. 12
b. Distribusi Binomial
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,...,
x n x
n
p x p q x n
x

 
 
 
 
( )
E X np

( )
Var X npq

Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan binomial

13. 13
c. Distribusi Geometri
• pmf:
• mean:
• varians:
1
( ) , 1,2,3,...
x
p x pq x

 
1
( )
E X
p

2
( )
q
Var X
p

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha
sampai terjadinya sukses pertama kali

14. 14
d. Distribusi Poisson
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,2,...
!
x
e
p x x
x



 
( )
E X 

( )
Var X 

Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan poison

15. 1.4 Distribusi variabel acak kontinu
15
a. Distribusi Uniform
• pdf:
• mean:
• varians:
1
( ) ,
f x a x b
b a
  

( )
2


a b
E X
2
( )
Var ( )
12


b a
X

16. 16
b. Distribusi Eksponensial
• pdf:
• mean:
• varians:
( ) , 0
x
f x e x

 
 
1
( )
E X


2
1
( )
Var X



17. 17
c. Distribusi Normal
• pdf:
• mean:
• varians:
2
( )
1
2
1
2
( ) ,
x
f x x
e


 

 
 
 

     
( )
E X 

2
Var( ) 

X

18. 18
Fungsi peluang (Pmf) Mean Variansi Mgf
Distribusi Peluang Diskrit
1
( ) , 0,1
x x
p x p q x

  p pq t
q pe

( ) ,
0,1,...,
x n x
n
p x p q
x
x n

 
 
 

np npq (
n
t
q pe
 

 
1
( ) ,
1,2,3,...
x
p x pq
x



1
p
2
q
p (1 )
t
t
pe
qe

( ) ,
!
0,1,2,...
x
e
p x
x
x





  (1 )
t
e
e 
 
( , )
X B n p

( )
X Bernoulli p

( )
X GEO p

( )
X POI 


19. 19
Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf
1
( ) ,
f x a x b
b a
  

2
( )
1
2
1
2
( ) ,
x
f x
x
e


 

 
 
 


    
 2

2 2
1
2
t t
e
 
 

 
 
1
( ) , 0
( )
k k x
x e
f x x
k

  
 

k
 2
k

k
t


 
 

 
( ) , 0
x
f x e x

 
 
1
 2
1
 t

 
2
a b
 2
( )
12
b a

( )
bt at
e e
t b a


( , )
X U a b

( )
X EXP 

( , )
X GAM k


2
( , )
X N  

Distribusi Peluang Kontinu

20. 20
1.5 Distribusi multivariat
a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka
(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pmf marjinal dari X :
(iv) Pmf marjinal dari Y :
( , ) ( , )
XY
p x y P X x Y y
  
( , ) ( , )
XY XY
a x b y
F x y p a b
 

( ) ( , )
X XY
y
p x p x y

( ) ( , )
Y XY
x
p y p x y


21. 21
(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
Y
p x y
p x y p y
p y
 
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
a x Y
p a y
F x y p y
p y

 

[ | ] . ( )
XY
x
E X Y y x p x y
 
Prostok-1-firda

22. 22
b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka
(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pdf marjinal dari X :
(iv) Pdf marjinal dari Y :
2
( , )
( , )
XY
F x y
f x y
y x


 
( , ) ( , )
y x
XY XY
F x y f s t ds dt
   
 
( ) ( , )
X XY
y
f x f x y dy

( ) ( , )
Y XY
x
f y f x y dx


23. 23
(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y
Y
f x y
f x y f y
f y
 
|
( , )
( )
( )
x
XY
X Y
Y
f t y
F x y dt
f y
 

  | ( | )
X Y
E X Y y xf x y dx

 
  

24. 24
 [ ] [ ] [ ]
E X Y E X E Y
  
 Kovariansi dari X dan Y:
( , ) [ ] [ ] [ ]
Cov X Y E XY E X E Y
 
 Koefisien korelasi dari X dan Y:
( , )
( , )
( ). ( )
Cov X Y
X Y
Var X Var Y
 

25. Soal
1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masing-
masing berdistribusi Poisson dengan mean
Tunjukkan bahwa
variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan
mean
25
1 2
dan .
 
1 2 .
 

2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi
Asumsikan , tunjukkan bahwa
( ).
F x
0
. ( ) (1 ( ))
a E X F x dx

 

1
0
. ( ) (1 ( ))
n n
bE X nx F x dx


 

(0) 0,
F 
Prostok-1-firda