1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Άπληστος Αλγόριθμος (Αντιπαράδειγμα ε μη ορθό αλγόριθμο υπολογισμού συντομότερου μονοπατιού)
3.1) 0*1*11*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ και Κανονική Γραμματική
3.2) Διακριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών Όχι Χωρίς Συμφραζόμενα (Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Αυτόματο Στοίβας) και (Λήμμα Άντλησης για Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα.
5.1) Μηχανή Turing για συμπλήρωμα ισότητας
5.2) Αναγωγές μη Επιλυσιμότητας
6) NP-πληρότητα (το πρόβλημα της κομβικής επικάλυψης και το πρόβλημα του ανεξαρτήτου συνόλου)
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2.1) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί
2.2) Διαίρει και Βασίλευε αλγόριθμος (αναδρομική σχέση και υπολογισμός φραγμάτων)
3.1) (011+11)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ανισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Ανισότητα 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Αναλογία 3 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας
6) Σωστά/Λάθος για NP-πληρότητα
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας - Το γραπτό των πανελλαδικών εξετάσεωνPanagiotis Prentzas
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας (ΑΟΘ): Τι πρέπει να προσέξουν οι υποψήφιοι κατά τη διάρκεια των πανελλαδικών εξετάσεων στη δομή των απαντήσεών τους, αλλά και στην εμφάνιση του γραπτού τους.
Μπορείτε να δείτε και τη διαδραστική παρουσίαση στο www.study4economy.edu.gr.
1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 27 1
ΠΛΗ20 – ΤΕΣΤ27
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ
(1) Ο αριθµός των τρόπων να τοποθετήσουµε 8 µη διακεκριµένα σφαιρίδια σε 6 διακεκριµένες
υποδοχές είναι ίσος µε:
1. Το συντελεστή του x6
στη γεννήτρια συνάρτηση (1+x + x2
+ x3
+ 1)8
2. Το συντελεστή του x8
στη γεννήτρια συνάρτηση (1+x + x2
+ x3
+ 1)6
3. Toν αριθµό των λέξεων που σχηµατίζονται από 7 Α και 8 Β και αρχίζουν και τελειώνουν µε Α.
4. Το πλήθος των διαφορετικών αποτελεσµάτων που µπορούν να προκύψουν από τη ρίψη δύο
ζαριών (σαν διαφορετικά αποτελέσµατα θεωρούµε π.χ. τους δύο άσσους, το άσσος – δύο, το
άσσος – τρία, κλπ, όπου δεν έχει σηµασία τι θα φέρει το πρώτο και τι το δεύτερο ζάρι).
(2) Θεωρούµε δύο κληρώσεις ενός ακέραιου αριθµού από το 1 µέχρι το 10. Κάθε αριθµός προκύπτει
µε πιθανότητα 1/10 σε κάθε κλήρωση και τα αποτελέσµατα των δύο κληρώσεων είναι ανεξάρτητα.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Η πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι περιττός αριθµός και στις δύο κληρώσεις είναι 1/4.
2. Η πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι άρτιος αριθµός σε τουλάχιστον µία από τις δύο
κληρώσεις είναι 3/4.
3. Η πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι 10 και στις δύο κληρώσεις είναι 1/100.
4. Η πιθανότητα το αποτέλεσµα να είναι 10 σε τουλάχιστον µία από τις δύο κληρώσεις
είναι 19/100.
(3) Πόσοι τετραγωνικοί πίνακες διαστάσεων 4×4 υπάρχουν στους οποίους κάθε στοιχείο του πίνακα
είναι 0 ή 1;
1. Όσα τα κατευθυνόµενα γραφήµατα µε σύνολο κορυφών {u1, u2, u3, u4 } (δεν επιτρέπεται η
αλλαγή του ονόµατος των κορυφών) στα οποία µπορεί να υπάρχουν ανακυκλώσεις και
αντιπαράλληλες ακµές (π.χ. (u, v), (v, u)), αλλά δεν µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία
παράλληλες ακµές µε την ίδια διεύθυνση (π.χ. (u, v), (u, v)).
2. Όσοι ο συντελεστής του x4
στη γεννήτρια συνάρτηση (1 + x)16
.
3. 216
4. Όσοι ο συντελεστής του x16
/ 16! στη γεννήτρια συνάρτηση e2x
.
2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 27 2
(4) Οι παρακάτω τύποι είναι ταυτολογίες
1. ↔ ∧
2. ↔ →
3. ↔ →
4. ∨ → ∨
(5) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγόρηµα P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή
σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κορυφών {v1,v2} και σύνολο ακµών {(v1,v1),(v2,v1)} ώστε οι
µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές του γραφήµατος και το σύµβολο P µε τη σχέση που
αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει η ακµή από την a στην b. Ποιες
από τις παρακάτω προτασεις αληθέυουν και ποιες όχι;
1. ∃ ∀ ,
2. ∀ ∀ ,
3. ∃ ∀ ,
4. ∀ ∀ , →
(6) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του
γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη σχέση όλων των
ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή. O τύπος ∀ ∃ ∃ ∧ , ∧ , ικανοποιείται
στα γραφήµατα:
1.
2. ,
3.
4.
3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 27 3
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν:
1. Το περιέχει ως επαγόµενο υπογράφηµα το ,
2. Το περιέχει ως υπογράφηµα το
3. Το έχει κύκλο Hamilton
4. Το έχει κύκλο Euler
(8) Για οποιαδήποτε ισόµορφα γραφήµατα G,H ισχύει:
1. Οι πίνακες γειτνίασης των G και H είναι ίσοι
2. Το G έχει κορυφή βαθµού 1 αν και µόνο αν το H έχει κορυφή βαθµού 1
3. Ο αριθµός των κύκλων Hamilton του G είναι ίσος µε τον αριθµό των κύκλων Hamilton του H.
4. Υπάρχει µία κορυφή του G που έχει µικρότερο βαθµό από όλες τις κορυφές του H
(9) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Κάθε υπογράφηµα ενός επίπεδου γραφήµατος, είναι επίπεδο γράφηµα.
2. Κάθε υπογράφηµα ενός πλήρους γραφήµατος, είναι πλήρες γράφηµα.
3. Κάθε υπογράφηµα ενός µη επιπέδου γραφήµατος, είναι µη επίπεδο γράφηµα
4. Κάθε υπογράφηµα ενός γραφήµατος µε χρωµατικό αριθµό 2, έχει χρωµατικό αριθµό 2.
4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 27 4
Β’ΜΕΡΟΣ
Άσκηση 1
Πόσα υπογραφήµατα του Κ100 (όλες οι κορυφές του είναι διακεκριµένες) είναι ισόµορφα µε το ακόλουο
γράφηµα;
Άσκηση 2
(1) ∆ώστε τυπική απόδειξη της πρότασης:
→ → ⊢ → ! → → " → ! → → #
µπορείτε να χρησιµοποιήσετε οποιοδήποτε θεώρηµα του προτασιακού λογισµού, αλλά όχι τα
θεωρήµατα εγκυρότητας-πληρότητας
(2) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα
αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται σε κορυφές και το
κατηγορηµατικό σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία
υπάρχει η ακµή από την κορυφή a στην κορυφή b.
i. Ορίστε έναν τύπο κατηγορηµατικής λογικής που να αληθεύει στο γράφηµα K5,5 και να µην αληθεύει στο
γράφηµα Κ3.
ii. Ορίστε έναν τύπο κατηγορηµατικής λογικής που να αληθεύει στο γράφηµα Κ1 και να µην αληθεύει στο
γράφηµα Κ1,1