SlideShare a Scribd company logo
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 1
ΠΛΗ20
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ-3
Ονοµατεπώνυµο:…………………………………………………………………
Ηµεροµηνία: ………………………………………………………………………
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Οι δυνατοί τρόποι µε τους οποίους µπορούν να µοιραστούν 10 όµοιες (µη διακεκριµένες) καραµέλες σε 3
διακεκριµένα παιδιά είναι:
1. Ίσος µε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν 10 από 12 παιδιά όπου έχει σηµασία η
σειρά επιλογής
2. Ίσος µε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν 10 από 12 παιδιά χωρίς να έχει σηµασία η
σειρά επιλογής
3. Ίσος µε τους τρόπους επιλογής 10 χρωµάτων από 3 χρώµατα όπου επιτρέπεται η επανάληψη και δεν έχει
σηµασία η σειρά επιλογής
4. Ίσος µε τους τρόπους επιλογής 3 χρωµάτων από 10 χρώµατα όπου επιτρέπεται η επανάληψη και δεν έχει
σηµασία η σειρά επιλογής
(2) Έστω Α σύνολο µε n στοιχεία
1. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε 2
n
2. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε το συντελεστή του n k
x −
στην παράσταση
(1 )n
x+
3. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε τους συνδυασµούς k στοιχείων από n-k+1
στοιχεία µε επανάληψη.
4. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των συντελεστών του πολυωνύµου
(1 )n
x+
(3)Θεωρούµε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετήσουµε 8 διακεκριµένα αντικείµενα σε 2
διακεκριµένες υποδοχές ώστε κάθε υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 2 αντικείµενα, όταν δεν ενδιαφέρει η
σειρά εµφάνισης των αντικειµένων στις υποδοχές. Αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε:
1. Το συντελεστή του x8
στη γεννήτρια συνάρτηση ( x2
+ x3
+ x4
)2
.
2. Το συντελεστή του x8
/ 8! στη γεννήτρια συνάρτηση (ex
– 1 – x) 2
.
3. Όσες οι δυαδικές συµβολοσειρές µήκους 8 µε τουλάχιστον 2 µηδέν και τουλάχιστον 2 άσσους.
4. Όσοι οι 2x4 πίνακες µε κάθε στοιχείο να είναι 0 ή 1 µε τουλάχιστον δύο µηδενικά και τουλάχιστον 2
άσσους.
(4) Θεωρούµε το σύνολο προτασιακών τύπων T = { p1 ∨ ¬p2 , p1 ∧ p2 , p1 ∨ p3 }. Ποιες από τις παρακάτω
ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι;
1. T |= ¬p1 → (p1 ∧ p2)
2. T |= (p1 ∧ p2) → p3
3. T |= (p2 ∨ p3) → (p1 ∧ p3)
4. T |= (p1 ∨ p2) → (¬p1 → ¬p3)
(5) Για τους προτασιακούς τύπους ,f g και h ισχύει: f |= g , g |-ΠΛ h¬ και h¬ |= f . Τότε πάντα ισχύει επίσης
και ότι:
Ο τύπος είναι ταυτολογία1.
Ο τύπος f g∨ είναι ταυτολογία2.
Και οι τρεις τύποι ,f g και h , περιλαµβάνουν τις ίδιες ακριβώς προτασιακές µεταβλητές3.
Ισχύει ότι{ , }f g |-ΠΛ h¬ , αλλά δεν ισχύει ότι { , }f g |= h¬4.
f h∨
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 2
(6) Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση ∀ ∀ , ∧ , →
1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών µε , να σηµαίνει
2. Το δυναµοσύνολο του συνόλου 1,2,3 µε , να σηµαίνει ⊆
3. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε , να σηµαίνει
4. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε , να σηµαίνει
(7) Ρίχνουµε 4 φορές ένα ζάρι
1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 4
x στην
( )
42 6
....x x x+ + + .
2. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία είναι C(9, 4).
3. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 46
όταν η σειρά έχει σηµασία.
4. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 4
x στην
( )
62 3 4
1 x x x x+ + + +
(8) Οι διαφορετικές δεκαδικές συµβολοσειρές µήκους n µε k (ακριβώς) µηδενικά είναι:
1. ( 1, )C n k k+ −
2. 10 9n n k−
−
3. 9 ( , )n k
C n k−
⋅
4. Όσες ο συντελεστής του !n
x n στην παράσταση 10x
e .
(9) Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2 είναι προτασιακές µεταβλητές
1. Kάθε τύπος συνεπάγεται ταυτολογικά µια αντίφαση
2. Kάθε τύπος συνεπάγεται ταυτολογικά µια ταυτολογία
3. Υπάρχει µία µόνο αποτίµηση των p1, p2 που δεν ικανοποιεί τον τύπο 1 2 1
( )p p p∧ ¬ → .
4. Ο τύπος 1 1 1
( )p p p¬ ↔ ↔ ¬ είναι ταυτολογία
(10) Θεωρούµε γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P
1. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y P x y P y x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< .
2. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y P x y P y x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y≤ .
3. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y z P y x P x z∀ ∃ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< .
4. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y z P y x P x z∀ ∃ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των πραγµατικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y<
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού – Μονάδες ~50/100)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
α) Στο γειτονικό βιβλιοπωλείο υπάρχουν 5 βιβλία Α που το καθένα κοστίζει 10 ευρώ, 8 βιβλία Β που το καθένα
κοστίζει 5 ευρώ και 5 βιβλία Γ που το καθένα κοστίζει 4 ευρώ. ∆ώστε γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνετε
τον όρο της γεννήτριας ο συντελεστής του οποίου δίχνει τον τρόπο που µπορεί να γίνει η αγορά των βιβλίων
έτσι ώστε:
(i) Να αγοραστούν 6 βιβλία µε τον περιορισµό να επιλεχθούν άρτια Α και περιττά Β.
(ii) Να αγοραστούν βιβλία αξίας 35 ευρώ µε τον περιορισµό να επιλεχθούν περιττά Γ, τουλάχιστον ένα Β και
το πολύ 2Α.
β) 100 πρωτοετείς και 50 δευτεροετείς φοιτητές παρακολουθούν το µάθηµα «∆ιακριτά Μαθηµατικά»
(i) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους χωρίσουµε σε οµάδες των 10 ατόµων για να πραγµατοποιήσουν
µια εργασία (κάθε οµάδα έχει το ίδιο θέµα)
(ii) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους χωρίσουµε σε οµάδες των 10 ατόµων για να πραγµατοποιήσουν
µια εργασία (κάθε οµάδα έχει διαφορετικό θέµα)
(iιi) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους τοποθετήσουµε σε µία σειρά, αν οι πρωτοετείς θεωρούνται µη
διακεκριµένοι και δεν πρέπει να βρίσκονται δευτεροετείς φοιτητές σε διαδοχικές θέσεις.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 4
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
α) Έστω , ,ϕ χ ψ προτασιακοί τύποι για τους οποίους δίνεται ότι ϕ |- ψ , ψ |- χ¬ και χ¬ |= ϕ . ∆είξτε ότι οι
τύποι ϕ και ψ είναι ισοδύναµοι.
β) ∆ώστε τυπική απόδειξη του τύπου ( ) ( )ϕ χ χ ϕ→ → ¬ → ¬ . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα γνωστά
θεωρήµατα εκτός από τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας και Πληρότητας.
γ) ∆ώστε κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου ∀ , → ∀ , → ,
δ) ∆ίνονται οι προτάσεις φ και ψ:
φ ≡ ∀x (Q(x) ∨ P(x)) → ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x))
ψ ≡ ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x)) → ∀x (Q(x) ∨ P(x))
όπου Q(x) και P(x) µονοµελή κατηγορηµατικά σύµβολα. Η µία από τις παραπάνω προτάσεις είναι λογικά
έγκυρη ενώ η άλλη όχι.
α) Ποια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας διατυπώνοντας µια ερµηνεία
(δοµή) στην οποία αυτή η πρόταση δεν αληθεύει.
β) Να δείξετε ότι η άλλη πρόταση είναι λογικά έγκυρη χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski.
Υπόδειξη: Μπορείτε να δείξετε πως δεν µπορεί να αληθεύει η υπόθεση του τύπου και να µην αληθεύει
το συµπέρασµά του.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 5
Άσκηση 3 (Μονάδες 25)
1. Θέλουµε να γεµίσουµε ένα ράφι βιβλιοθήκης που έχει µήκος 1 µέτρο µε βιβλία των οποίων το πάχος (µήκος
της ράχης) είναι 10 εκατοστά ή 5 εκατοστά. Να διατυπώσετε γεννήτρια συνάρτηση και να επισηµάνετε τον
όρο του οποίου ο συντελεστής δείχνει τον αριθµό των τρόπων να γεµίσει το ράφι, αν δεν έχει σηµασία η
σειρά τοποθέτησης των βιβλίων, τα βιβλία κάθε µεγέθους θεωρούνται µη διακεκριµένα, και πρέπει να
υπάρχει τουλάχιστον ένα βιβλίο κάθε µεγέθους στο ράφι. Να υπολογίσετε τον συγκεκριµένο συντελεστή.
2. Έχουµε στη διάθεσή µας 20 διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, όλα µε πάχος 5 εκατοστά. Να υπολογίσετε τον
αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετηθούν όλα τα βιβλία σε 3 διακεκριµένα ράφια µήκους 1
µέτρου το καθένα, αν έχει σηµασία η σειρά τοποθέτησης των βιβλίων σε κάθε ράφι.
3. Έχουµε στη διάθεσή µας 3 ίδια βιβλία µε πάχος 10 εκατοστά και 20 διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, όλα µε
πάχος 5 εκατοστά. Να υπολογίσετε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να γεµίσει ένα ράφι µήκους 1
µέτρου, αν έχει σηµασία η σειρά τοποθέτησης των βιβλίων στο ράφι.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 6
Άσκηση 4 (Μονάδες 15)
α) Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή,
αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι }{ ϕ¬ |- ψϕψ →→¬ )( .
β) Να αποδείξετε ότι |– ((φ → ψ) → ¬χ) → (χ → ¬(φ → ψ)). Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά
θεωρήµατα για τον Προτασιακό Λογισµό (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ.) αλλά όχι
τα θεωρήµατα εγκυρότητας – πληρότητας.
γ) ∆είξτε ότι δεν είναι λογικά έγκυρος ο τύπος ∀ ∃ , → ∃ ∀ , , περιγράφοντας µια ερµηνεία της
γλώσσας της Θεωρίας Αριθµών που να µην τον ικανοποιεί.

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
 
Plh20 test 21
Plh20 test 21Plh20 test 21
Plh20 test 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
 

Viewers also liked

ΠΛ
ΠΛΠΛ
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛ
ΠΛΠΛ
ΠΛ
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
Konstantinos Georgiou
 
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία ΣτατιστικήςΒασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Μάκης Χατζόπουλος
 
ALGEBRA B
ALGEBRA B ALGEBRA B
Important Probability distributions (in Greek)
Important Probability distributions (in Greek)Important Probability distributions (in Greek)
Important Probability distributions (in Greek)
Achilleas Papatsimpas
 
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
Christos Loizos
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Christos Loizos
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_aCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Μάκης Χατζόπουλος
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_aCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Christos Loizos
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
aristos arestos
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
ireportergr
 
Συνδυαστική 2019
Συνδυαστική 2019Συνδυαστική 2019
Συνδυαστική 2019
Μάκης Χατζόπουλος
 
1 7513kolegio athinon
1 7513kolegio athinon1 7513kolegio athinon
1 7513kolegio athinon
im1967
 
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Μάκης Χατζόπουλος
 
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασειςπροετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
Ρεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Pagkypries eksetaseis 2019
Pagkypries eksetaseis 2019Pagkypries eksetaseis 2019
Pagkypries eksetaseis 2019
Christos Loizos
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
Dimitris Psounis
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 (20)

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
 
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
Mathematica gr μαθ γεν παιδείας λύσεις θεμάτων 2014 (1η εκδοση)
 
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία ΣτατιστικήςΒασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Βασικές γνώσεις Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
 
ALGEBRA B
ALGEBRA B ALGEBRA B
ALGEBRA B
 
Important Probability distributions (in Greek)
Important Probability distributions (in Greek)Important Probability distributions (in Greek)
Important Probability distributions (in Greek)
 
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)καλαθάκης γιώργης   συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_aCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_aCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
 
Συνδυαστική 2019
Συνδυαστική 2019Συνδυαστική 2019
Συνδυαστική 2019
 
1 7513kolegio athinon
1 7513kolegio athinon1 7513kolegio athinon
1 7513kolegio athinon
 
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
 
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
 
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασειςπροετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις
 
Pagkypries eksetaseis 2019
Pagkypries eksetaseis 2019Pagkypries eksetaseis 2019
Pagkypries eksetaseis 2019
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 1 ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ-3 Ονοµατεπώνυµο:………………………………………………………………… Ηµεροµηνία: ……………………………………………………………………… ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) Οι δυνατοί τρόποι µε τους οποίους µπορούν να µοιραστούν 10 όµοιες (µη διακεκριµένες) καραµέλες σε 3 διακεκριµένα παιδιά είναι: 1. Ίσος µε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν 10 από 12 παιδιά όπου έχει σηµασία η σειρά επιλογής 2. Ίσος µε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν 10 από 12 παιδιά χωρίς να έχει σηµασία η σειρά επιλογής 3. Ίσος µε τους τρόπους επιλογής 10 χρωµάτων από 3 χρώµατα όπου επιτρέπεται η επανάληψη και δεν έχει σηµασία η σειρά επιλογής 4. Ίσος µε τους τρόπους επιλογής 3 χρωµάτων από 10 χρώµατα όπου επιτρέπεται η επανάληψη και δεν έχει σηµασία η σειρά επιλογής (2) Έστω Α σύνολο µε n στοιχεία 1. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε 2 n 2. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε το συντελεστή του n k x − στην παράσταση (1 )n x+ 3. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε τους συνδυασµούς k στοιχείων από n-k+1 στοιχεία µε επανάληψη. 4. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των συντελεστών του πολυωνύµου (1 )n x+ (3)Θεωρούµε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετήσουµε 8 διακεκριµένα αντικείµενα σε 2 διακεκριµένες υποδοχές ώστε κάθε υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 2 αντικείµενα, όταν δεν ενδιαφέρει η σειρά εµφάνισης των αντικειµένων στις υποδοχές. Αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε: 1. Το συντελεστή του x8 στη γεννήτρια συνάρτηση ( x2 + x3 + x4 )2 . 2. Το συντελεστή του x8 / 8! στη γεννήτρια συνάρτηση (ex – 1 – x) 2 . 3. Όσες οι δυαδικές συµβολοσειρές µήκους 8 µε τουλάχιστον 2 µηδέν και τουλάχιστον 2 άσσους. 4. Όσοι οι 2x4 πίνακες µε κάθε στοιχείο να είναι 0 ή 1 µε τουλάχιστον δύο µηδενικά και τουλάχιστον 2 άσσους. (4) Θεωρούµε το σύνολο προτασιακών τύπων T = { p1 ∨ ¬p2 , p1 ∧ p2 , p1 ∨ p3 }. Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι; 1. T |= ¬p1 → (p1 ∧ p2) 2. T |= (p1 ∧ p2) → p3 3. T |= (p2 ∨ p3) → (p1 ∧ p3) 4. T |= (p1 ∨ p2) → (¬p1 → ¬p3) (5) Για τους προτασιακούς τύπους ,f g και h ισχύει: f |= g , g |-ΠΛ h¬ και h¬ |= f . Τότε πάντα ισχύει επίσης και ότι: Ο τύπος είναι ταυτολογία1. Ο τύπος f g∨ είναι ταυτολογία2. Και οι τρεις τύποι ,f g και h , περιλαµβάνουν τις ίδιες ακριβώς προτασιακές µεταβλητές3. Ισχύει ότι{ , }f g |-ΠΛ h¬ , αλλά δεν ισχύει ότι { , }f g |= h¬4. f h∨
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 2 (6) Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση ∀ ∀ , ∧ , → 1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών µε , να σηµαίνει 2. Το δυναµοσύνολο του συνόλου 1,2,3 µε , να σηµαίνει ⊆ 3. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε , να σηµαίνει 4. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε , να σηµαίνει (7) Ρίχνουµε 4 φορές ένα ζάρι 1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 4 x στην ( ) 42 6 ....x x x+ + + . 2. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία είναι C(9, 4). 3. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 46 όταν η σειρά έχει σηµασία. 4. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 4 x στην ( ) 62 3 4 1 x x x x+ + + + (8) Οι διαφορετικές δεκαδικές συµβολοσειρές µήκους n µε k (ακριβώς) µηδενικά είναι: 1. ( 1, )C n k k+ − 2. 10 9n n k− − 3. 9 ( , )n k C n k− ⋅ 4. Όσες ο συντελεστής του !n x n στην παράσταση 10x e . (9) Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2 είναι προτασιακές µεταβλητές 1. Kάθε τύπος συνεπάγεται ταυτολογικά µια αντίφαση 2. Kάθε τύπος συνεπάγεται ταυτολογικά µια ταυτολογία 3. Υπάρχει µία µόνο αποτίµηση των p1, p2 που δεν ικανοποιεί τον τύπο 1 2 1 ( )p p p∧ ¬ → . 4. Ο τύπος 1 1 1 ( )p p p¬ ↔ ↔ ¬ είναι ταυτολογία (10) Θεωρούµε γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P 1. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y P x y P y x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< . 2. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y P x y P y x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y≤ . 3. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y z P y x P x z∀ ∃ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< . 4. Ο τύπος ( ( , ) ( , ))x y z P y x P x z∀ ∃ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των πραγµατικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y<
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού – Μονάδες ~50/100) Άσκηση 1 (Μονάδες 25) α) Στο γειτονικό βιβλιοπωλείο υπάρχουν 5 βιβλία Α που το καθένα κοστίζει 10 ευρώ, 8 βιβλία Β που το καθένα κοστίζει 5 ευρώ και 5 βιβλία Γ που το καθένα κοστίζει 4 ευρώ. ∆ώστε γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνετε τον όρο της γεννήτριας ο συντελεστής του οποίου δίχνει τον τρόπο που µπορεί να γίνει η αγορά των βιβλίων έτσι ώστε: (i) Να αγοραστούν 6 βιβλία µε τον περιορισµό να επιλεχθούν άρτια Α και περιττά Β. (ii) Να αγοραστούν βιβλία αξίας 35 ευρώ µε τον περιορισµό να επιλεχθούν περιττά Γ, τουλάχιστον ένα Β και το πολύ 2Α. β) 100 πρωτοετείς και 50 δευτεροετείς φοιτητές παρακολουθούν το µάθηµα «∆ιακριτά Μαθηµατικά» (i) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους χωρίσουµε σε οµάδες των 10 ατόµων για να πραγµατοποιήσουν µια εργασία (κάθε οµάδα έχει το ίδιο θέµα) (ii) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους χωρίσουµε σε οµάδες των 10 ατόµων για να πραγµατοποιήσουν µια εργασία (κάθε οµάδα έχει διαφορετικό θέµα) (iιi) Με πόσους τρόπους µπορούµε να τους τοποθετήσουµε σε µία σειρά, αν οι πρωτοετείς θεωρούνται µη διακεκριµένοι και δεν πρέπει να βρίσκονται δευτεροετείς φοιτητές σε διαδοχικές θέσεις.
  • 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 4 Άσκηση 2 (Μονάδες 35) α) Έστω , ,ϕ χ ψ προτασιακοί τύποι για τους οποίους δίνεται ότι ϕ |- ψ , ψ |- χ¬ και χ¬ |= ϕ . ∆είξτε ότι οι τύποι ϕ και ψ είναι ισοδύναµοι. β) ∆ώστε τυπική απόδειξη του τύπου ( ) ( )ϕ χ χ ϕ→ → ¬ → ¬ . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα γνωστά θεωρήµατα εκτός από τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας και Πληρότητας. γ) ∆ώστε κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου ∀ , → ∀ , → , δ) ∆ίνονται οι προτάσεις φ και ψ: φ ≡ ∀x (Q(x) ∨ P(x)) → ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x)) ψ ≡ ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x)) → ∀x (Q(x) ∨ P(x)) όπου Q(x) και P(x) µονοµελή κατηγορηµατικά σύµβολα. Η µία από τις παραπάνω προτάσεις είναι λογικά έγκυρη ενώ η άλλη όχι. α) Ποια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας διατυπώνοντας µια ερµηνεία (δοµή) στην οποία αυτή η πρόταση δεν αληθεύει. β) Να δείξετε ότι η άλλη πρόταση είναι λογικά έγκυρη χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski. Υπόδειξη: Μπορείτε να δείξετε πως δεν µπορεί να αληθεύει η υπόθεση του τύπου και να µην αληθεύει το συµπέρασµά του.
  • 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 5 Άσκηση 3 (Μονάδες 25) 1. Θέλουµε να γεµίσουµε ένα ράφι βιβλιοθήκης που έχει µήκος 1 µέτρο µε βιβλία των οποίων το πάχος (µήκος της ράχης) είναι 10 εκατοστά ή 5 εκατοστά. Να διατυπώσετε γεννήτρια συνάρτηση και να επισηµάνετε τον όρο του οποίου ο συντελεστής δείχνει τον αριθµό των τρόπων να γεµίσει το ράφι, αν δεν έχει σηµασία η σειρά τοποθέτησης των βιβλίων, τα βιβλία κάθε µεγέθους θεωρούνται µη διακεκριµένα, και πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα βιβλίο κάθε µεγέθους στο ράφι. Να υπολογίσετε τον συγκεκριµένο συντελεστή. 2. Έχουµε στη διάθεσή µας 20 διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, όλα µε πάχος 5 εκατοστά. Να υπολογίσετε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετηθούν όλα τα βιβλία σε 3 διακεκριµένα ράφια µήκους 1 µέτρου το καθένα, αν έχει σηµασία η σειρά τοποθέτησης των βιβλίων σε κάθε ράφι. 3. Έχουµε στη διάθεσή µας 3 ίδια βιβλία µε πάχος 10 εκατοστά και 20 διαφορετικά µεταξύ τους βιβλία, όλα µε πάχος 5 εκατοστά. Να υπολογίσετε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να γεµίσει ένα ράφι µήκους 1 µέτρου, αν έχει σηµασία η σειρά τοποθέτησης των βιβλίων στο ράφι.
  • 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 6 Άσκηση 4 (Μονάδες 15) α) Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι }{ ϕ¬ |- ψϕψ →→¬ )( . β) Να αποδείξετε ότι |– ((φ → ψ) → ¬χ) → (χ → ¬(φ → ψ)). Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά θεωρήµατα για τον Προτασιακό Λογισµό (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ.) αλλά όχι τα θεωρήµατα εγκυρότητας – πληρότητας. γ) ∆είξτε ότι δεν είναι λογικά έγκυρος ο τύπος ∀ ∃ , → ∃ ∀ , , περιγράφοντας µια ερµηνεία της γλώσσας της Θεωρίας Αριθµών που να µην τον ικανοποιεί.