Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ8
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Έχουµε στην διάθεση µας 15 αριθµηµένους βόλους και πρόκειται να τοποθετήσουµε 5 από αυτούς σε µία
σειρά. Οι διαφορετικοί τρόποι να γίνει η τοποθέτηση είναι ίσοι µε:
1. Τον συντελεστή του x5
στην παράσταση (1 + x )15
.
2. Τον συντελεστή του x5
/ 5! στην παράσταση e15x
.
3. Τον συντελεστή του x5
/ 5! στην παράσταση (1 + x )15
.
4. 15! 5!
(2) Θεωρούµε τα αποτελέσµατα της ταυτόχρονης ρίψης δύο ίδιων ζαριών (ένα ζάρι µπορεί να φέρει
1, 2, 3, 4, 5, ή 6, όλα τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και
ποιες όχι;
1. Ο αριθµός των διαφορετικών αποτελεσµάτων είναι 36 .
2. Η πιθανότητα τουλάχιστον ένα ζάρι να φέρει άρτιο αριθµό είναι ίση µε 3/4.
3. Η πιθανότητα τα δύο ζάρια να φέρουν το ίδιο αποτέλεσµα είναι ίση µε 1/6.
4. H πιθανότητα κάποιο ζάρι να φέρει 5 και το άλλο ζάρι να φέρει 6 είναι ίση µε 1/36.
(3) Σε µία συγκέντρωση συµµετέχουν 4 άνδρες και 6 γυναίκες. Όλοι οι άνδρες ανταλλάσσουν µεταξύ τους
χειραψία, όλες οι γυναίκες µεταξύ τους και 4 από τους άνδρες µε 4 από τις γυναίκες. Σε αυτή τη συγκέντρωση:
1. Οι χειραψίες που συµµετέχει τουλάχιστον ένας άνδρας είναι 28.
2. Οι χειραψίες που συµµετέχει τουλάχιστον µία γυναίκα είναι 31.
3. Ο συνολικός αριθµός χειραψιών είναι 28.
4. Ο µέγιστος αριθµός χειραψιών που συµµετέχει µία γυναίκα είναι 7.

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 2
(4) Έστω φ, ψ αυθαίρετα επιλεγµένοι τύποι. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς;
1. φ ∨ ¬φ |= φ → (ψ → φ)
2. ¬(φ → (ψ → φ)) |= φ → ¬φ
3. |= ψ → (φ → ψ)
4. |= φ → (¬φ → ¬φ)
(5) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο τύπος ∀x(P(x, y) ∧ Q(x)) → ∃yQ(y) είναι πρόταση.
2. Η µεταβλητή z εµφανίζεται ελεύθερη στον τύπο ∀zQ(z) → ∃xP(z, x)
3. Οι τύποι ∀x∀y(Q(x) ∨ R(y)) και ∀xQ(x)∨∀yR(y) είναι λογικά ισοδύναµοι.
4. Οι τύποι ∃x∃y(Q(x) ∨ R(y)) και ∃xQ(x)∨∃yR(y) είναι λογικά ισοδύναµοι.
(6) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης απλού µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G µε n≥2 κορυφές.
1. Αν ο A περιέχει τουλάχιστον 2n άσσους, τότε το G περιέχει κύκλο.
2. Αν H ο πίνακας γειτνίασης άλλου γραφήµατος 'G ισόµορφου µε το G , τότε A H= .
3. Ο A περιέχει πάντα άρτιο αριθµό 1.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη του A µε n άσσους.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 3
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ένα επίπεδο συνεκτικό γράφηµα µε k όψεις µπορεί να µετατραπεί σε δένδρο αν του αφαιρέσουµε k-1
ακµές.
2. Κάθε υπογράφηµα µη επιπέδου γραφήµατος είναι µη επίπεδο γράφηµα.
3. Υπάρχει επίπεδο γράφηµα µε 7 ακµές, 7 κορυφές και 3 όψεις
4. Το συµπληρωµατικό γράφηµα επιπέδου γραφήµατος είναι επίσης επίπεδο
(8) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αφορούν την επιπεδότητα αληθεύουν;
1. Υπάρχει επίπεδο γράφηµα που όλες οι κορυφές έχουν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 6.
2. Όλες οι αποτυπώσεις επίπεδου γραφήµατος έχουν ίδιο αριθµό όψεων.
3. Ένα µη επίπεδο γράφηµα περιέχει σαν υπογράφηµα το Κ5 ή/και το Κ3,3.
4. Ένα γράφηµα που δεν έχει κύκλο Hamilton είναι αναγκαστικά µη επίπεδο.
(9) Σε ένα συνδεόµενο γράφηµα G στο οποίο όλες οι ακµές έχουν θετικό βάρος ισχύει:
1. Ο αλγόριθµος του Dijkstra εφαρµοζόµενος στο G µε τα αρχικά του βάρη και στο G µε βάρος κάθε ακµής
αυξηµένο κατά την ίδια θετική ποσότητα, θα επιστρέψει το ίδιο ελάχιστο µονοπάτι µεταξύ δύο κορυφών.
2. Ο αλγόριθµος του Prim εφαρµοζόµενος στο G µε τα αρχικά του βάρη και στο G µε βάρος κάθε ακµής
αυξηµένο κατά την ίδια θετική ποσότητα, θα επιστρέψει το ίδιο ελάχιστο συνδετικό δένδρο.
3. Στο δένδρο διάσχισης κατά βάθος, ένα σηµείο κοπής είναι φύλλο.
4. Η βαρύτερη ακµή του G δεν µετέχει σε κανένα ελάχιστο συνδετικό του δένδρο.
(10) Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι δένδρο n≥3 κορυφών.
1. Αν ο µέγιστος βαθµός του Τ είναι ∆, τότε το Τ έχει τουλάχιστον ∆ φύλλα.
2. Κάθε ζευγάρι κορυφών του Τ ενώνονται µε ένα µοναδικό µονοπάτι.
3. Το συµπληρωµατικό του Τ είναι πάντα συνεκτικό γράφηµα.
4. Τα φύλλα του Τ αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Στη βιβλιοθήκη του ΕΑΠ υπάρχουν 10 διαφορετικά βιβλία τα οποία πρόκειται να τα δανειστούν οι 3 φοιτητές Α,
Β, Γ.
(1) Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο δανεισµός, αν ο Α δανείστηκε 5 βιβλία, ο Β δανείστηκε 3 βιβλία
και ο Γ δανείστηκε 2 βιβλία.
(2) Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο δανεισµός, αν ο Α δανείστηκε 4 βιβλία, ο Β δανείστηκε 3 βιβλία
και ο Γ δανείστηκε 3 βιβλία.
(3) ∆ώστε γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνετε τον όρο της γεννήτριας ο συντελεστής του οποίου δείχνει
τον τρόπο που µπορεί να γίνει ο δανεισµός αυτός αν κάθε φοιτητής πρόκειται να δανειστεί τουλάχιστον
ένα βιβλίο και ο Γ άρτιο αριθµό.
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ6 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(γ) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή,
αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι },),({φ ξψξχψ →→→ |- χφ → .
(Ερώτηµα 2)
(Α) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski, να δείξετε ότι ο τύπος
ψ ≡ ∃x∀yP(x,y) → ∀y∃xP(x,y)
είναι λογικά έγκυρος.
(Β) Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα) τι δηλώνει ο τύπος ψ όταν ερµηνευτεί σε δοµές που είναι απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα και το P(x, y) σηµαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε ακµή.
(Γ) Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα) τι δηλώνει ο τύπος ψ όταν ερµηνευτεί στη δοµή µε σύµπαν τους
φυσικούς αριθµούς και το P(x, y) σηµαίνει ότι το x είναι µικρότερο ή ίσο του y.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
(1) Έστω G απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα που δεν είναι συνδεόµενο. Να δείξετε ότι στο συµπληρωµατικό
γράφηµα G , κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται είτε µε ακµή είτε µε µονοπάτι µήκους 2.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
α) Έστω G απλό επίπεδο γράφηµα. Συµβολίζουµε µε n τον αριθµό των κορυφών του και µεm τον αριθµό των
ακµών του. ∆είξτε ότι 3 6m n≤ − . Στη συνέχεια, δείξτε ότι αν επιπλέον ισχύει ότι κάθε όψη του G είναι τρίγωνο,
τότε 3 6m n= − .
β) ΈστωG ένα απλό επίπεδο γράφηµα του οποίου κάθε όψη είναι τρίγωνο. Συµβολίζουµε µε pi τον αριθµό των
κορυφών βαθµού i στο G. ∆είξτε ότι (6 ) 12i pi− =∑ , όπου το άθροισµα είναι πάνω σε όλους τους βαθµούς i
που έχουν οι κορυφές του G .