SlideShare a Scribd company logo
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
Επιπεδότητα και ∆ένδρα
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Θεωρία Γράφων/2 – Μάθηµα 5.3: Επίπεδα Γραφήµατα
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.1: Βασικοί Ορισµοί στα ∆ένδρα
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.2: Συνδετικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι)
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.3: ∆υαδικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι)
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Το πακέτο αυτών των µαθηµάτων είναι απαραίτητο για τα Σ/Λ (όπου πέφτουν 2-3 οµάδες που είναι
από τις πιο εύκολες). Θα πρέπει να επαναλάβετε από τα µαθήµατα, εκτός από την θεωρία και τα Σ/Λ
των αντίστοιχων παρουσιάσεων οπωσδήποτε. Οι ασκήσεις Β’µέρους που πέφτουν σε αυτήν την ύλη
είναι αρκετά δύσκολες. Ρίξτε το βάρος στις ασκησεις επιπεδότητας οι οποίες πέφτουν πολύ συχνά στις
εξετάσεις.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Τα παρακάτω γραφήµατα είναι δυνατό να κατασκευαστούν.
∆ένδρο µε 10 κορυφές και 12 ακµές.1.
Γράφηµα 6 κορυφών, εκ των οποίων 3 έχουν βαθµό 3 και 3 έχουν βαθµό 4.2.
Επίπεδο γράφηµα 6 κορυφών, όπου όλες έχουν βαθµό τουλάχιστον 3.3.
Συνδεόµενο γράφηµα 10 κορυφών, 14 ακµών που έχει επίπεδη αποτύπωση µε 5 όψεις.4.
Ερωτήσεις 2
Έστω G απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα του οποίου όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθµό. Ποιες από τις παρακάτω
προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
Το G µπορεί να είναι διµερές (διχοτοµίσιµο).1.
2. Το G δεν µπορεί να είναι δέντρο.
3. Το G δεν µπορεί να έχει περιττό αριθµό κορυφών.
4. Το G µπορεί να περιέχει ακµή που δεν ανήκει σε κύκλο.
Ερωτήσεις 3
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
∆ύο οµοιοµορφικά γραφήµατα έχουν πάντα τον ίδιο αριθµό κορυφών1.
Ο τύπος του Euler (F+V=E+2) δεν ισχύει σε µη συνδεόµενα γραφήµατα2.
Οποιαδήποτε επίπεδη αποτύπωση ενός γραφήµατος περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό όψεων3.
Το συµπληρωµατικό ενός δένδρου είναι πάντα επίπεδο γράφηµα4.
Ερωτήσεις 4
Έστω G και H απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα που είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν;
Αν το G είναι επίπεδο γράφηµα, πρέπει και το Η να είναι επίπεδο γράφηµα.1.
Αν το G είναι δέντρο, πρέπει και το H να είναι δέντρο.2.
Αν τα G και H είναι επίπεδα γραφήµατα, πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όψεων.3.
Αν τα G και H έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών, πρέπει να είναι ισοµορφικά µεταξύ τους.4.
Ερωτήσεις 5
∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 8 κορυφές και 11 ακµές
Το G µπορεί να είναι δένδρο.1.
To G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο.2.
Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 5 όψεις.3.
Αν Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του G, τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα Υ=Α+Α
2
+…+Α
7
θα είναι µεγαλύτερο είτε4.
ίσο του 2
Ερωτήσεις 6
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Σε κάθε δένδρο µε τουλάχιστον 3 κορυφές, τα φύλλα αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.
2. Υπάρχει δένδρο µε n κορυφές και n(n-1)/2 ακµές.
3. Υπάρχει αυτοσυµπληρωµατικό δένδρο.
4. Ο πίνακας πρόσπτωσης ενός δένδρου έχει n(n-1) στοιχεία.
Ερωτήσεις 7
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Υπάρχει κορυφή του K3,4 που αν αφαιρεθεί προκύπτει επίπεδο γράφηµα
2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές και n-1 ακµές είναι συνδεόµενο.
3. Η προσθήκη µιας ακµής µεταξύ δύο οποιονδήποτε φύλλων, δηµιουργέί κύκλο µήκους 4.
4. Αν ένα δένδρο έχει 2 φύλλα, τότε ο βαθµός κάθε κορυφής είναι µικρότερο ή ίσος του 2.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
∆είξτε ότι ένα απλό επίπεδο γράφηµα µε 8 κορυφές και 13 ακµές δε µπορεί να χρωµατιστεί µε δύο χρώµατα.
Άσκηση 2
1. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό γράφηµα µε τουλάχιστον 3 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία κορυφή µε
βαθµό µικρότερο ή ίσο του 5.
2. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό διµερές γράφηµα µε τουλάχιστον 4 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία
κορυφή µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 7.
Άσκηση 3
∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο απλό επίπεδο γράφηµα µε ελάχιστο µήκος κύκλου (girth) g≠2 ισχύει η σχέση ݉ ൑
௚ሺ௡ିଶሻ
௚ିଶ
όπου
n το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος
Άσκηση 4
Ένα δυαδικό δένδρο µε ρίζα ονοµάζεται ισορροπηµένο όταν για κάθε εσωτερική κορυφή v :
i) αν η v έχει δύο παιδιά, τα ύψη των δύο υποδένδρων µε ρίζες τα παιδιά της διαφέρουν το πολύ κατά 1.
ii) αν η v έχει µόνο ένα παιδί, αυτό είναι κατ’ ανάγκη φύλλο.
1) Σχεδιάστε τα ισορροπηµένα δυαδικά δένδρα µε τον ελάχιστο αριθµό κορυφών µε ύψος από 0h = έως 4h = .
Επιβεβαιώστε ότι ο αριθµός των κορυφών hn των ισορροπηµένων δυαδικών δένδρων που κατασκευάσατε, επαληθεύει την
ισότητα:
3 1h hn f += −
όπου 3hf + είναι ο 3h + -οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci.
2) ∆είξτε µε επαγωγή στο ύψος h , ότι η παραπάνω ισότητα ισχύει για τον ελάχιστο αριθµό κορυφών hn κάθε
ισορροπηµένου δυαδικού δένδρου ύψους h .
Υπενθύµιση: Η ακολουθία Fibonacci έχει πρώτους όρους f1 = f2 = 1 και για κάθε φυσικό k ≥ 3, ο k-οστός της όρος δίνεται
από την αναδροµική σχέση fk = fk-1 + fk-2 .
Άσκηση 5
Ονοµάζουµε ένα συνδεδεµένο γράφο «µονοκυκλικό» εάν περιέχει ακριβώς έναν κύκλο. ∆είξτε ότι τα παρακάτω είναι
ισοδύναµα:
1. G είναι µονοκυκλικός
2. G-e είναι δένδρο για κάποια ακµή e.
3. G είναι συνδεδεµένος και |V(G)|=|E(G)|
Άσκηση 6
Έστω µη συνδεδεµένος γράφος G=(V,E), που αποτελείται από k συνεκτικές συνιστώσες. ∆είξτε ότι m ≥ n-k

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
 

Viewers also liked

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9

Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία ΑθήναςΔύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
Them math esp_palaio_200617
Them math esp_palaio_200617Them math esp_palaio_200617
Them math esp_palaio_200617
ChristosKatsandris
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
Michael Magkos
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
Dimitris Psounis
 
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
ygoumas
 
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
Lia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2
Christos Loizos
 
Them mat op_c_hmer_110618
Them mat op_c_hmer_110618Them mat op_c_hmer_110618
Them mat op_c_hmer_110618
Christos Loizos
 
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσειςΜαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
Θεόδωρος Μαραγκούλας
 
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Μάκης Χατζόπουλος
 
Them math hmer_palaio_200617
Them math hmer_palaio_200617Them math hmer_palaio_200617
Them math hmer_palaio_200617
ChristosKatsandris
 
θεματα ανακεφαλαιωτικου διαγωνισματος 2015
θεματα ανακεφαλαιωτικου  διαγωνισματος 2015θεματα ανακεφαλαιωτικου  διαγωνισματος 2015
θεματα ανακεφαλαιωτικου διαγωνισματος 2015
Μάκης Χατζόπουλος
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
ireportergr
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
aristos arestos
 
Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908
Μάκης Χατζόπουλος
 
Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908
Christos Loizos
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9 (20)

Them mat kat d esp 2014
Them mat kat d esp 2014Them mat kat d esp 2014
Them mat kat d esp 2014
 
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία ΑθήναςΔύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
 
Them math esp_palaio_200617
Them math esp_palaio_200617Them math esp_palaio_200617
Them math esp_palaio_200617
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2016
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
 
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης, Θέματα Πανελλαδικών 2014
 
Mathkat 2014 e
Mathkat 2014 eMathkat 2014 e
Mathkat 2014 e
 
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
Θέματα Γ Θετ-Τεχν Κατεύθυνση 2014
 
Them mat kat_c_hmer_2014
Them mat kat_c_hmer_2014Them mat kat_c_hmer_2014
Them mat kat_c_hmer_2014
 
προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2
 
Them mat op_c_hmer_110618
Them mat op_c_hmer_110618Them mat op_c_hmer_110618
Them mat op_c_hmer_110618
 
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσειςΜαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
Μαθηματικά 2018 πανελλαδικές εξετάσεις
 
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
 
Them math hmer_palaio_200617
Them math hmer_palaio_200617Them math hmer_palaio_200617
Them math hmer_palaio_200617
 
θεματα ανακεφαλαιωτικου διαγωνισματος 2015
θεματα ανακεφαλαιωτικου  διαγωνισματος 2015θεματα ανακεφαλαιωτικου  διαγωνισματος 2015
θεματα ανακεφαλαιωτικου διαγωνισματος 2015
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
 
Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106Them mat gen_c_hmer_no_1106
Them mat gen_c_hmer_no_1106
 
Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908
 
Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908Them mat kat_c_omog_150908
Them mat kat_c_omog_150908
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

Recently uploaded

ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ  ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptxΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ  ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
roulazax
 
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptxΔ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
36dimperist
 
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
Σάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
elyiem
 
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docxερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
VetaPougaridou1
 
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
elyiem
 
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
elyiem
 
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
elyiem
 
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptxΦιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
36dimperist
 

Recently uploaded (9)

ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ  ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptxΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ  ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΤΟΜΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ Η ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ.pptx
 
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptxΔ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
Δ τάξη - Σύνδεση με Ζάκυνθο μέσω Webex.pptx
 
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
Το αστεράκι. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα που συνοδεύεται από έ...
 
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
Εκφοβισμός | Πληροφορία τότε και τώρα: Φίλος ή εχθρός; | Ίδρυμα Αικατερίνης Λ...
 
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docxερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
ερωτησεις επαναληψης ιστορια Α λυκείου .docx
 
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
Οικονομική απάτη στο διαδίκτυο | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα "Πληροφορία τότε και ...
 
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
Φυσικές Καταστροφές (Βίντεο) | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώ...
 
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
Φυσικές Καταστροφές | Εκπαιδευτικό πρόγραμμα “Πληροφορία τότε και τώρα. Φίλος...
 
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptxΦιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
Φιγούρες Θεάτρου Σκιών από την Α΄ τάξη.pptx
 

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 1 ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9 Επιπεδότητα και ∆ένδρα Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Επαναλάβετε τα µαθήµατα: • Θεωρία Γράφων/2 – Μάθηµα 5.3: Επίπεδα Γραφήµατα • ∆ένδρα – Μάθηµα 6.1: Βασικοί Ορισµοί στα ∆ένδρα • ∆ένδρα – Μάθηµα 6.2: Συνδετικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι) • ∆ένδρα – Μάθηµα 6.3: ∆υαδικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι) Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Το πακέτο αυτών των µαθηµάτων είναι απαραίτητο για τα Σ/Λ (όπου πέφτουν 2-3 οµάδες που είναι από τις πιο εύκολες). Θα πρέπει να επαναλάβετε από τα µαθήµατα, εκτός από την θεωρία και τα Σ/Λ των αντίστοιχων παρουσιάσεων οπωσδήποτε. Οι ασκήσεις Β’µέρους που πέφτουν σε αυτήν την ύλη είναι αρκετά δύσκολες. Ρίξτε το βάρος στις ασκησεις επιπεδότητας οι οποίες πέφτουν πολύ συχνά στις εξετάσεις. Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων. Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη: Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’ Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’ Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’ Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 2 Ερωτήσεις Ερωτήσεις 1 Τα παρακάτω γραφήµατα είναι δυνατό να κατασκευαστούν. ∆ένδρο µε 10 κορυφές και 12 ακµές.1. Γράφηµα 6 κορυφών, εκ των οποίων 3 έχουν βαθµό 3 και 3 έχουν βαθµό 4.2. Επίπεδο γράφηµα 6 κορυφών, όπου όλες έχουν βαθµό τουλάχιστον 3.3. Συνδεόµενο γράφηµα 10 κορυφών, 14 ακµών που έχει επίπεδη αποτύπωση µε 5 όψεις.4. Ερωτήσεις 2 Έστω G απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα του οποίου όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθµό. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; Το G µπορεί να είναι διµερές (διχοτοµίσιµο).1. 2. Το G δεν µπορεί να είναι δέντρο. 3. Το G δεν µπορεί να έχει περιττό αριθµό κορυφών. 4. Το G µπορεί να περιέχει ακµή που δεν ανήκει σε κύκλο. Ερωτήσεις 3 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; ∆ύο οµοιοµορφικά γραφήµατα έχουν πάντα τον ίδιο αριθµό κορυφών1. Ο τύπος του Euler (F+V=E+2) δεν ισχύει σε µη συνδεόµενα γραφήµατα2. Οποιαδήποτε επίπεδη αποτύπωση ενός γραφήµατος περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό όψεων3. Το συµπληρωµατικό ενός δένδρου είναι πάντα επίπεδο γράφηµα4. Ερωτήσεις 4 Έστω G και H απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα που είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; Αν το G είναι επίπεδο γράφηµα, πρέπει και το Η να είναι επίπεδο γράφηµα.1. Αν το G είναι δέντρο, πρέπει και το H να είναι δέντρο.2. Αν τα G και H είναι επίπεδα γραφήµατα, πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όψεων.3. Αν τα G και H έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών, πρέπει να είναι ισοµορφικά µεταξύ τους.4. Ερωτήσεις 5 ∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 8 κορυφές και 11 ακµές Το G µπορεί να είναι δένδρο.1. To G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο.2. Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 5 όψεις.3. Αν Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του G, τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα Υ=Α+Α 2 +…+Α 7 θα είναι µεγαλύτερο είτε4. ίσο του 2 Ερωτήσεις 6 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; 1. Σε κάθε δένδρο µε τουλάχιστον 3 κορυφές, τα φύλλα αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας. 2. Υπάρχει δένδρο µε n κορυφές και n(n-1)/2 ακµές. 3. Υπάρχει αυτοσυµπληρωµατικό δένδρο. 4. Ο πίνακας πρόσπτωσης ενός δένδρου έχει n(n-1) στοιχεία. Ερωτήσεις 7 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; 1. Υπάρχει κορυφή του K3,4 που αν αφαιρεθεί προκύπτει επίπεδο γράφηµα 2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές και n-1 ακµές είναι συνδεόµενο. 3. Η προσθήκη µιας ακµής µεταξύ δύο οποιονδήποτε φύλλων, δηµιουργέί κύκλο µήκους 4. 4. Αν ένα δένδρο έχει 2 φύλλα, τότε ο βαθµός κάθε κορυφής είναι µικρότερο ή ίσος του 2.
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 3 Ασκήσεις Άσκηση 1 ∆είξτε ότι ένα απλό επίπεδο γράφηµα µε 8 κορυφές και 13 ακµές δε µπορεί να χρωµατιστεί µε δύο χρώµατα. Άσκηση 2 1. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό γράφηµα µε τουλάχιστον 3 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία κορυφή µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 5. 2. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό διµερές γράφηµα µε τουλάχιστον 4 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία κορυφή µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 7. Άσκηση 3 ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο απλό επίπεδο γράφηµα µε ελάχιστο µήκος κύκλου (girth) g≠2 ισχύει η σχέση ݉ ൑ ௚ሺ௡ିଶሻ ௚ିଶ όπου n το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος Άσκηση 4 Ένα δυαδικό δένδρο µε ρίζα ονοµάζεται ισορροπηµένο όταν για κάθε εσωτερική κορυφή v : i) αν η v έχει δύο παιδιά, τα ύψη των δύο υποδένδρων µε ρίζες τα παιδιά της διαφέρουν το πολύ κατά 1. ii) αν η v έχει µόνο ένα παιδί, αυτό είναι κατ’ ανάγκη φύλλο. 1) Σχεδιάστε τα ισορροπηµένα δυαδικά δένδρα µε τον ελάχιστο αριθµό κορυφών µε ύψος από 0h = έως 4h = . Επιβεβαιώστε ότι ο αριθµός των κορυφών hn των ισορροπηµένων δυαδικών δένδρων που κατασκευάσατε, επαληθεύει την ισότητα: 3 1h hn f += − όπου 3hf + είναι ο 3h + -οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. 2) ∆είξτε µε επαγωγή στο ύψος h , ότι η παραπάνω ισότητα ισχύει για τον ελάχιστο αριθµό κορυφών hn κάθε ισορροπηµένου δυαδικού δένδρου ύψους h . Υπενθύµιση: Η ακολουθία Fibonacci έχει πρώτους όρους f1 = f2 = 1 και για κάθε φυσικό k ≥ 3, ο k-οστός της όρος δίνεται από την αναδροµική σχέση fk = fk-1 + fk-2 . Άσκηση 5 Ονοµάζουµε ένα συνδεδεµένο γράφο «µονοκυκλικό» εάν περιέχει ακριβώς έναν κύκλο. ∆είξτε ότι τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: 1. G είναι µονοκυκλικός 2. G-e είναι δένδρο για κάποια ακµή e. 3. G είναι συνδεδεµένος και |V(G)|=|E(G)| Άσκηση 6 Έστω µη συνδεδεµένος γράφος G=(V,E), που αποτελείται από k συνεκτικές συνιστώσες. ∆είξτε ότι m ≥ n-k