SlideShare a Scribd company logo
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ7
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Οι 6-ψηφιες συµβολοσειρές που κατασκευάζονται µε τα 10 ψηφία {0,1,2,…,9} είναι:
2. 10
6 αν δεν υπάρχουν περιορισµοί στην επιλογή των ψηφίων.
3. 6
5 αν µόνο τα άρτια ψηφία µπορούν να χρησιµοποιηθούν.
4. 6!/(3!5!) αν τα µόνα επιτρεπόµενα ψηφία είναι το 3 και το 5
5. Όσοι ο συντελεστής του 6
x στην ( )
62 10
1 ....x x x+ + + +
(2) ‘Ο αριθµός των τρόπων διανοµής n µη διακεκριµένων αντικειµένων σε m διακεκριµένες υποδοχές είναι:
1. Όσες οι διατάξεις 1n m+ − αντικειµένων από τα οποία τα n αποτελούν µια οµάδα µη διακεκριµένων µεταξύ
τους αντικειµένων και τα υπόλοιπα µια άλλη.
2. Όσες οι δυαδικές συµβολοσειρές µε 1m − µηδενικά και n άσσους.
3. Όσες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 1 2 m
x x x n m+ + + = +L όπου κάθε µεταβλητή παίρνει τιµή
τουλάχιστον 1
4. Όσες οι επιλογές µιας διατεταγµένης n -άδας µε δυνατότητα επανάληψης από m διακεκριµένα
αντικείµενα.
(3) ∆ίδεται πίνακας Α διάστασης 3x4 που κάθε στοιχείο του είναι 0 ή 1
1. Οι διαφορετικοί πίνακες που µπορούν να κατασκευαστούν είναι 12
2
2. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι όσοι ο συντελεστής του k
x στην
παράσταση 12
(1 )x+ .
3. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι ίσοι µε ( )12
k
.
4. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους, αν ενδιαφέρει µόνο το πλήθος των άσσων που
έχουµε σε κάθε γραµµή, είναι όσοι ο συντελεστής του k
x στην παράσταση
2 3 4
(1 )x x x+ + + .
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 2
(4) Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2, p3 είναι προτασιακές µεταβλητές. Τότε ισχύει:
1. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( ) ( )|p p p p p p p∧ → → ∧ →=
2. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( ) ( )|p p p p p p p→ → ∨ →=∨
3. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( )|p p p p p p p∨ → ∨=∨ ∨
4. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( )|p p p p p p p∧ →=∧ ∧ ∧
(5) Στους παρακάτω τύπους σηµειώστε Σωστό εάν ο τύπος αληθεύει στους φυσικούς αριθµούς αν το διµελές
κατηγόρηµα ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< και το «⋅ » είναι η πράξη του πολλαπλασιασµού.
1. ( ( , ) )x y P x y x y∃ ∀ ∨ ≈
2. ( ( , ) ( ( , ) ( , )))x y P x y z P x z P z y∀ ∀ → ∃ ∧
3. ( 2 )x y y x∀ ∃ ≈ ⋅
4. ( )x y y x y∃ ∀ ≈ ⋅
(6) Στις παρακάτω προτάσεις τα φ και ψ είναι τύποι της κατηγορηµατικής λογικής
1. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x δεν υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ.
2. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ.
3. Για κάθε τύπο φ στον οποίο εµφανίζεται δεσµευµένη η µεταβλητή x, υπάρχει ισοδύναµος τύπος όπου η
x δεν εµφανίζεται καθόλου.
4. Στην κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου δεν παίζει ρόλο η σειρά των ποσοδεικτών.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 3
(7) ∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 6 κορυφές και 7 ακµές
1. Το G µπορεί να είναι δένδρο.
2. Το G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο.
3. Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 4 όψεις
4. Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του G. Τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα ⋯ θα
είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 2.
(8) Θεωρούµε ένα γράφηµα µε θετικά βάρη στις ακµές. Θεωρούµε επίσης ότι το γράφηµα G’ στο οποίο τα βάρη
όλων των ακµών έχουν πολλαπλασιαστεί µε τον ίδιο θετικό αριθµό καθώς και το γράφηµα G’’ στο οποίο όλα τα
βάρη των ακµών έχουν αυξηθεί κατά τον ίδιο θετικό αριθµό.
1. Ο αλγόριθµος του Dijkstra πάντα δίνει το ίδιο συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συκεκριµένων κορυφών
και στα τρία γραφήµατα G, G’ και G’’
2. Ο αλγόριθµος του Prim θα κατασκευάσει το ίδιο ελάχιστο συνδετικό δένδρο και στα τρία γραφήµατα G,
G’ και G’’ αν ξεκινήσει από την ίδια κορυφή.
3. Το συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συγκεκριµένων κορυφών πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου
βάρους.
4. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου βάρους.
(9) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ένα γράφηµα n κορυφών στο οποίο κάθε ζευγάρι κορυφών ενώνεται µε ένα και µόνο µονοπάτι έχει n-1
ακµές.
2. Ένα δένδρο είναι επίπεδο γράφηµα µε 0 όψεις.
3. Το µέγιστο µονοπάτι σε ένα δένδρο n κορυφών και n-1 φύλλων έχει µήκος 3.
4. Ένα δένδρο µε τουλάχιστον 2 κορυφές είναι διµερές γράφηµα.
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις διατηρούνται όταν προσθέτουµε ακµές σε ένα γράφηµα; ∆ηλαδή για
ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες ισχύει ότι αν G(V,E) είναι ένα γράφηµα που έχει την ιδιότητα Π, και
G’(V’,E’) µε Ε⊆Ε’ είναι ένα γράφηµα που προκύπτει από το G µε την προσθήκη επιπλέον ακµών (όχι
κορυφών) τότε το G’ διατηρεί την ιδιότητα Π
1. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton»
2. Η ιδιότητα «Το γράφηµα είναι επίπεδο»
3. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Euler»
4. Η ιδιότητα «Το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής»
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Γράψτε γεννήτρια συνάρτηση για τον αριθµό των τρόπων ra µε τους οποίους οι ρίψεις έξι ζαριών αθροίζονται
στο r , αν
α) Τα πρώτα 3 ζάρια έφεραν περιττό αριθµό και τα υπόλοιπα 3, άρτιο.
β) Το i -οστο ζάρι δεν έφερε i .
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ4 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή,
αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι χ¬¬ |- χχχ →¬→¬ )( .
(Ερώτηµα 2)
∆είξτε ότι η πρόταση: ∃ ∃ , είναι σηµασιολογική συνέπεια του συνόλου προτάσεων
∃ ∀ , , ∀ , → ∃ ,
(Ερώτηµα 3)
α) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα (χωρίς παράλληλες ακµές) ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται
ως κορυφές των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε την σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών
(a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην b.
1) Γράψτε µία πρόταση της Κατηγορηµατικής Λογικής που αληθεύει στα γραφήµατα τα οποία έχουν
τουλάχιστον µία κορυφή µε έξω-βαθµό 2. (Έξω-βαθµός είναι ο αριθµός των ακµών που φεύγουν από την
κορυφή.)
2) Θεωρούµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G µε κορυφές 1,2,3 και 4 και µε ακµές (1,2), (2,3), (1,3) και (3,4).
Θεωρούµε τον τύπο ∃y∃z(P(x,y) ∧ P(x,z)). Να βρείτε για ποιες κορυφές αληθεύει ο τύπος.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Να δείξετε ότι ένα συνδεόµενο, απλό µη κατευθυνόµενο 3-κανονικό επίπεδο γράφηµα που περιέχει ακριβώς 2
φορές το C3 σαν επαγόµενο υπογράφηµα θα έχει τουλάχιστον 6 κορυφές.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Για ένα γράφηµα G=(V,E) µε m ακµές και n κορυφές, συµβολίζουµε µε ∆ τον µέγιστο βαθµό κορυφής του G και
δ τον ελάχιστο βαθµό των κορυφών του G. Να δειχθεί ότι δ ≤ 2m/n ≤ ∆

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛ
ΠΛΠΛ
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
ΠΛ
ΠΛΠΛ
ΠΛ
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.7
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
 

Viewers also liked

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (18)

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
 

Similar to ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Christos Loizos
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Christos Loizos
 
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
Dimitris Psounis
 
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
Μάκης Χατζόπουλος
 
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία ΑθήναςΔύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Μάκης Χατζόπουλος
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakisBalg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Μάκης Χατζόπουλος
 

Similar to ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 (18)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
 
Plh20 test 21
Plh20 test 21Plh20 test 21
Plh20 test 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
 
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 18
 
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
Διαγωνίσματα προσομοίωση 2019 - Β Ψυχικού και Α Εκάλης - Αρσάκεια Λύκεια
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
 
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
Διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο (Εκάλης και Πάτρας)
 
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία ΑθήναςΔύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
Δύο διαγωνίσματα προσομοίωσης από Ιδιωτικά Σχολεία Αθήνας
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakisBalg sxol 2015-2016_papagrigorakis
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

Recently uploaded

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
athinadimi
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
nikzoit
 
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛΟι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
Newsroom8
 
Hardware Personal Computer a small Introduction
Hardware Personal Computer a small  IntroductionHardware Personal Computer a small  Introduction
Hardware Personal Computer a small Introduction
ssuserd4abe0
 
Θέματα χημείας -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
Θέματα χημείας  -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024Θέματα χημείας  -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
Θέματα χημείας -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
Θεόδωρος Μαραγκούλας
 
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
vastsielou
 
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
Tassos Karampinis
 
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdfΑπαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
athinadimi
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
nikzoit
 
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
athinadimi
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
nikzoit
 
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό", Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό",  Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό",  Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό", Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
Eugenia Kosmatou
 
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.docΣχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
Tassos Karampinis
 
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.pptΚοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
Χρύσα Παπακωνσταντίνου
 
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
athinadimi
 
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdfthem_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
konstantinantountoum1
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
nikzoit
 
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docxSxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
Tassos Karampinis
 
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docxΣχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
Tassos Karampinis
 

Recently uploaded (20)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ-ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
 
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛΟι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
Οι απαντήσεις στην Πληροφορική για τα ΓΕΛ
 
Hardware Personal Computer a small Introduction
Hardware Personal Computer a small  IntroductionHardware Personal Computer a small  Introduction
Hardware Personal Computer a small Introduction
 
Θέματα χημείας -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
Θέματα χημείας  -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024Θέματα χημείας  -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
Θέματα χημείας -Πανελλαδικές εξετάσεις 2024
 
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
MÜNCHEN.pptx (2. Gymnasium Korinth - Klasse A1)
 
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
Σχέδιο Δράσης Ομίλου Ρομποτικής - 56ου Γυμνασίου ΑθήναςSxedio2023-24OmilosRom...
 
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdfΑπαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
 
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ_ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ-2024.pdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
 
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό", Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό",  Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό",  Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
Περιβαλλοντικό πρόγραμμα "Πέτρα και νερό", Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολ...
 
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.docΣχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
Σχέδιο Δράσης - 56ο Γυμνάσιο ΑΘήνας. Sxedio2023-24OmilosEikastikwn.doc
 
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.pptΚοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
Κοινωνικές και πολιτικές διαστάσεις της βιομηχανικής επανάστασης.ppt
 
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdfΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ_ΛΑΤΙΝΙΚΑ__ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.pdf
 
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdfthem_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
them_arxaia_gel_arxaiaellinika2024gel.pdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
 
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docxSxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
SxedioDrasis2023-24ApologismosKainotomias-2F.docx
 
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docxΣχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
Σχέδιο Δράσης. Απολογισμός. SxedioDrasis2023-24ApologismosEikastikwn-2.docx
 

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 1 ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ7 ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) Οι 6-ψηφιες συµβολοσειρές που κατασκευάζονται µε τα 10 ψηφία {0,1,2,…,9} είναι: 2. 10 6 αν δεν υπάρχουν περιορισµοί στην επιλογή των ψηφίων. 3. 6 5 αν µόνο τα άρτια ψηφία µπορούν να χρησιµοποιηθούν. 4. 6!/(3!5!) αν τα µόνα επιτρεπόµενα ψηφία είναι το 3 και το 5 5. Όσοι ο συντελεστής του 6 x στην ( ) 62 10 1 ....x x x+ + + + (2) ‘Ο αριθµός των τρόπων διανοµής n µη διακεκριµένων αντικειµένων σε m διακεκριµένες υποδοχές είναι: 1. Όσες οι διατάξεις 1n m+ − αντικειµένων από τα οποία τα n αποτελούν µια οµάδα µη διακεκριµένων µεταξύ τους αντικειµένων και τα υπόλοιπα µια άλλη. 2. Όσες οι δυαδικές συµβολοσειρές µε 1m − µηδενικά και n άσσους. 3. Όσες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 1 2 m x x x n m+ + + = +L όπου κάθε µεταβλητή παίρνει τιµή τουλάχιστον 1 4. Όσες οι επιλογές µιας διατεταγµένης n -άδας µε δυνατότητα επανάληψης από m διακεκριµένα αντικείµενα. (3) ∆ίδεται πίνακας Α διάστασης 3x4 που κάθε στοιχείο του είναι 0 ή 1 1. Οι διαφορετικοί πίνακες που µπορούν να κατασκευαστούν είναι 12 2 2. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι όσοι ο συντελεστής του k x στην παράσταση 12 (1 )x+ . 3. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι ίσοι µε ( )12 k . 4. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους, αν ενδιαφέρει µόνο το πλήθος των άσσων που έχουµε σε κάθε γραµµή, είναι όσοι ο συντελεστής του k x στην παράσταση 2 3 4 (1 )x x x+ + + .
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 2 (4) Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2, p3 είναι προτασιακές µεταβλητές. Τότε ισχύει: 1. 1 2 3 1 3 2 3 ( ) ( ) ( )|p p p p p p p∧ → → ∧ →= 2. 1 2 3 1 3 2 3 ( ) ( ) ( )|p p p p p p p→ → ∨ →=∨ 3. 1 2 3 1 3 2 3 ( ) ( )|p p p p p p p∨ → ∨=∨ ∨ 4. 1 2 3 1 3 2 3 ( ) ( )|p p p p p p p∧ →=∧ ∧ ∧ (5) Στους παρακάτω τύπους σηµειώστε Σωστό εάν ο τύπος αληθεύει στους φυσικούς αριθµούς αν το διµελές κατηγόρηµα ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< και το «⋅ » είναι η πράξη του πολλαπλασιασµού. 1. ( ( , ) )x y P x y x y∃ ∀ ∨ ≈ 2. ( ( , ) ( ( , ) ( , )))x y P x y z P x z P z y∀ ∀ → ∃ ∧ 3. ( 2 )x y y x∀ ∃ ≈ ⋅ 4. ( )x y y x y∃ ∀ ≈ ⋅ (6) Στις παρακάτω προτάσεις τα φ και ψ είναι τύποι της κατηγορηµατικής λογικής 1. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x δεν υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ. 2. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ. 3. Για κάθε τύπο φ στον οποίο εµφανίζεται δεσµευµένη η µεταβλητή x, υπάρχει ισοδύναµος τύπος όπου η x δεν εµφανίζεται καθόλου. 4. Στην κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου δεν παίζει ρόλο η σειρά των ποσοδεικτών.
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 3 (7) ∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 6 κορυφές και 7 ακµές 1. Το G µπορεί να είναι δένδρο. 2. Το G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο. 3. Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 4 όψεις 4. Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του G. Τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα ⋯ θα είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 2. (8) Θεωρούµε ένα γράφηµα µε θετικά βάρη στις ακµές. Θεωρούµε επίσης ότι το γράφηµα G’ στο οποίο τα βάρη όλων των ακµών έχουν πολλαπλασιαστεί µε τον ίδιο θετικό αριθµό καθώς και το γράφηµα G’’ στο οποίο όλα τα βάρη των ακµών έχουν αυξηθεί κατά τον ίδιο θετικό αριθµό. 1. Ο αλγόριθµος του Dijkstra πάντα δίνει το ίδιο συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συκεκριµένων κορυφών και στα τρία γραφήµατα G, G’ και G’’ 2. Ο αλγόριθµος του Prim θα κατασκευάσει το ίδιο ελάχιστο συνδετικό δένδρο και στα τρία γραφήµατα G, G’ και G’’ αν ξεκινήσει από την ίδια κορυφή. 3. Το συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συγκεκριµένων κορυφών πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου βάρους. 4. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου βάρους. (9) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ένα γράφηµα n κορυφών στο οποίο κάθε ζευγάρι κορυφών ενώνεται µε ένα και µόνο µονοπάτι έχει n-1 ακµές. 2. Ένα δένδρο είναι επίπεδο γράφηµα µε 0 όψεις. 3. Το µέγιστο µονοπάτι σε ένα δένδρο n κορυφών και n-1 φύλλων έχει µήκος 3. 4. Ένα δένδρο µε τουλάχιστον 2 κορυφές είναι διµερές γράφηµα. (10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις διατηρούνται όταν προσθέτουµε ακµές σε ένα γράφηµα; ∆ηλαδή για ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες ισχύει ότι αν G(V,E) είναι ένα γράφηµα που έχει την ιδιότητα Π, και G’(V’,E’) µε Ε⊆Ε’ είναι ένα γράφηµα που προκύπτει από το G µε την προσθήκη επιπλέον ακµών (όχι κορυφών) τότε το G’ διατηρεί την ιδιότητα Π 1. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton» 2. Η ιδιότητα «Το γράφηµα είναι επίπεδο» 3. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Euler» 4. Η ιδιότητα «Το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής»
  • 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού) Άσκηση 1 (Μονάδες 25) (Ερώτηµα 1) Γράψτε γεννήτρια συνάρτηση για τον αριθµό των τρόπων ra µε τους οποίους οι ρίψεις έξι ζαριών αθροίζονται στο r , αν α) Τα πρώτα 3 ζάρια έφεραν περιττό αριθµό και τα υπόλοιπα 3, άρτιο. β) Το i -οστο ζάρι δεν έφερε i . (Ερώτηµα 2) (α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ4 έχει το Κ100; (β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100; (β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100; (β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
  • 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 5 Άσκηση 2 (Μονάδες 35) (Ερώτηµα 1) Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι χ¬¬ |- χχχ →¬→¬ )( . (Ερώτηµα 2) ∆είξτε ότι η πρόταση: ∃ ∃ , είναι σηµασιολογική συνέπεια του συνόλου προτάσεων ∃ ∀ , , ∀ , → ∃ , (Ερώτηµα 3) α) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα (χωρίς παράλληλες ακµές) ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε την σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην b. 1) Γράψτε µία πρόταση της Κατηγορηµατικής Λογικής που αληθεύει στα γραφήµατα τα οποία έχουν τουλάχιστον µία κορυφή µε έξω-βαθµό 2. (Έξω-βαθµός είναι ο αριθµός των ακµών που φεύγουν από την κορυφή.) 2) Θεωρούµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G µε κορυφές 1,2,3 και 4 και µε ακµές (1,2), (2,3), (1,3) και (3,4). Θεωρούµε τον τύπο ∃y∃z(P(x,y) ∧ P(x,z)). Να βρείτε για ποιες κορυφές αληθεύει ο τύπος.
  • 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 6 Άσκηση 3 (Μονάδες 20) Να δείξετε ότι ένα συνδεόµενο, απλό µη κατευθυνόµενο 3-κανονικό επίπεδο γράφηµα που περιέχει ακριβώς 2 φορές το C3 σαν επαγόµενο υπογράφηµα θα έχει τουλάχιστον 6 κορυφές.
  • 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 7 Άσκηση 4 (Μονάδες 20) Για ένα γράφηµα G=(V,E) µε m ακµές και n κορυφές, συµβολίζουµε µε ∆ τον µέγιστο βαθµό κορυφής του G και δ τον ελάχιστο βαθµό των κορυφών του G. Να δειχθεί ότι δ ≤ 2m/n ≤ ∆