1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
- The document discusses strategies for improving an organization's performance including restructuring departments, improving processes, and training employees.
- Key recommendations include consolidating overlapping roles, streamlining procedures, and providing skills development opportunities for staff.
- The changes aim to gain efficiencies, reduce costs, and boost productivity across the organization.
1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Νόμοι Προτασιακής Λογικής
1.1) Εύρεση Ταυτολογικά ισοδύναμου τύπου με δεδομένους συνδέσμους.
2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.1) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς
2.3) Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
- The document discusses strategies for improving an organization's performance including restructuring departments, improving processes, and training employees.
- Key recommendations include consolidating overlapping roles, streamlining procedures, and providing skills development opportunities for staff.
- The changes aim to gain efficiencies, reduce costs, and boost productivity across the organization.
1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Νόμοι Προτασιακής Λογικής
1.1) Εύρεση Ταυτολογικά ισοδύναμου τύπου με δεδομένους συνδέσμους.
2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.1) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς
2.3) Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) The document discusses a new method for analyzing genetic data that provides higher resolution and more accurate results.
2) It presents a new algorithm and computational approach that allows for improved detection of genetic variants from DNA sequencing data.
3) This new technique provides a more detailed understanding of genetic variations and promises to help advance the fields of medicine and biology.
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Τι είναι σύνολο
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
1. Τι είναι σύνολο
2. Συµπληρωµατικοί Ορισµοί
3. Σχέσεις Συνόλων
1. Υποσύνολο
2. Γνήσιο Υποσύνολο
4. Πληθάριθµος Συνόλου
5. Πράξεις Συνόλων
1. Ένωση
2. Τοµή
3. ∆ιαφορά
4. Συµπλήρωµα
5. Καρτεσιανό Γινόµενο
6. ∆υναµοσύνολο
Γ.Ασκήσεις
3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Επίπεδο Α
Ορισµός Συνόλου
Συµπληρωµατικοί Ορισµοί
Σχέσεις Συνόλων
Πράξεις Συνόλων
Επίπεδο Β
(-)
Επίπεδο Γ
(-)(-)
4. Β. Θεωρία
1. Τι είναι σύνολο
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
ΣΥΝΟΛΟ είναι οποιαδήποτε συλλογή στοιχείων
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ:
Το σύνολο των ελληνικών φωνηέντων:
Το σύνολο των φυσικών αριθµών από το 1 εώς το 9
Συνήθως τα σύνολα αναπαρίστανται µε κεφαλαία γράµµατα και τα στοιχεία
τους είναι µέσα σε άγκιστρα χωρισµένα µε κόµµατα. Η αναπαράσταση των
},,,,,,{ ωυοιηεα=Α
}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=Β
τους είναι µέσα σε άγκιστρα χωρισµένα µε κόµµατα. Η αναπαράσταση των
στοιχείων τους µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους:
Με ρητή αναπαράσταση των µελών του. Π.χ. Όπως στο ακόλουθο
σύνολο:
Με περιγραφικό τρόπο, χρησιµοποιώντας την | που διαβάζεται «τέτοιο
ώστε»:
}20,18,16,14,12,10{=Γ
}2010|{ ≤≤=Γ xόίxx µεςφυσικαρτιοςναιε
5. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Έχουµε ήδη γνωρίσει κάποια σύνολα αριθµών. Αυτά είναι:
Το σύνολο των φυσικών αριθµών:
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
(Προσοχή ότι συµπεριλαµβάνεται και το 0)
Το σύνολο ακεραίων αριθµών:
Το σύνολο των ρητών αριθµών:
Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R που περιλαµβάνει τους ρητούς
και τους άρρητους αριθµούς
Και βέβαια το περίφηµο κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο που δεν
περιλαµβάνει στοιχεία: {}=∅
6. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Εισάγουµε τώρα έναν συµβολισµό για να απεικονίζουµε ότι ένα στοιχείο
ανήκει ή δεν ανήκει αντίστοιχα σε ένα σύνολο:
Γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 5 ανήκει στο σύνολο των
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
N∈5Γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 5 ανήκει στο σύνολο των
φυσικών αριθµών
Ενώ γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 4.4 δεν ανήκει στο
σύνολο των φυσικών αριθµών
Η σηµαντική πληροφορία για ένα σύνολο είναι ποια στοιχεία περιέχει (και όχι
η σειρά µε την οποία τα περιέχει)
Έτσι τα σύνολα
και
N∈5
N∉4.4
}3,2,1{=A
}2,1,3{=Bκαι
Είναι ίδια (αφού περιέχουν τα ίδια στοιχεία)
Ενώ τα σύνολο είναι λανθασµένη αναπαράσταση
συνόλου, αφού κάθε στοιχείο πρέπει να περιέχεται ακριβώς µία φορά
στο σύνολο.
Συνεπώς το Γ είναι ακριβώς το ίδιο σύνολο µε το σύνολα Α και Β
Και ορίζουµε ότι Α=Β=Γ (τα σύνολα είναι ίσα)
}2,1,3{=B
}3,3,2,2,2,1,1{=Γ
7. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Τα σύνολα λοιπόν είναι συλλογές αντικειµένων. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούν
να περιλαµβάνουν αντικείµενα οποιουδήποτε τύπου. Ας δούµε µερικά
παραδείγµατα:
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
παραδείγµατα:
Ένα σύνολο αριθµών:
Ένα σύνολο συµβολοσειρών:
Ένα σύνολο συναρτήσεων:
,...}13,11,7,5,3,2{=A
},,,{ patjimjohntom=Β
}1)(,1)(,)({ 4 32
++=+===Γ xxxhxxgxxf
Ένα σύνολο συνόλων!
Ένα σύνολο από ετερόκλητα στοιχεία:
}1)(,1)(,)({ ++=+===Γ xxxhxxgxxf
},},5,2{},3,2,1{{ Ν∅=∆
}}5,1{,7,5,,2,14.3,{ tom∅=Ε
8. Β. Θεωρία
3.Σχέσεις Συνόλων
1.Υποσύνολο
Ορίζουµε ότι:
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε ) ανBA ⊆
Παραδείγµατα:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε ) αν
κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο Α ανήκει και στο συνολο Β
BA ⊆
},,,{},,{ dcbacba ⊆
N⊆}3,5,1{
}3,2,1{}3,2,1{ ⊆
}3,2,1{}4,3,2,1{ ⊆
}3,1{}2,1{ ⊆∆εν ισχύει ότι:
Τυπικά ο ορισµός της σχέσης υποσυνόλου είναι ο εξής:
Ενω µε χρήση του υποσυνόλου ορίζουµε τυπικά την ισότητα συνόλων:
}3,1{}2,1{ ⊆
BxύAxBA ∈∈∀⊆ καιειισχανν
ABBABA ⊆⊆= καιανν
9. Β. Θεωρία
3.Σχέσεις Συνόλων
2.Γνήσιο Υποσύνολο
Ορίζουµε ότι:
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε )BA ⊂
Παραδείγµατα:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
∆ΕΝ Ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
Το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε )
αν το Α είναι υποσύνολο του Β, αλλά τα Α και Β δεν είναι ίσα.
BA ⊂
},,,{},,{ dcbacba ⊂
N⊂}3,5,1{
}3,2,1{}3,2,1{ ⊂
}3,2,1{}4,3,2,1{ ⊂
}3,1{}2,1{ ⊂∆εν ισχύει ότι:
Τυπικά ο ορισµός της σχέσης υποσυνόλου είναι ο εξής:
}3,1{}2,1{ ⊂
Β∈Α∉∃⊆⊂ xxBABA καικαιανν
10. Β. Θεωρία
4. Πληθάριθµος Συνόλου
Ήδη έχουµε δει σύνολα που περιέχουν πεπερασµένο πλήθος στοιχείων,
όπως π.χ. το
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
=Β
Το οποίο έχει 4 στοιχεία. Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου
ονοµάζεται πληθάριθµος ή πληθικός αριθµός του συνόλου και
συµβολίζεται µε |Β| (το σύνολο µέσα σε δύο κάθετες γραµµές).
Γράφουµε:
Επειδή το παραπάνω σύνολο έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, θα λέµε
ότι είναι ένα πεπερασµένο σύνολο.
Αντίθετα µε τα σύνολα που περιέχουν άπειρο πλήθος στοιχείων τα
},,,{ patjimjohntom=Β
4|| =Β
Αντίθετα µε τα σύνολα που περιέχουν άπειρο πλήθος στοιχείων τα
οποία ονοµάζονται άπειρα σύνολα ή απειροσύνολα, όπως π.χ. τα
σύνολα αριθµών N,Z,Q,R
Με χρήση αυτών των συµβολισµών έχουµε:
|||| BAόBA ≤⊆Α τετν
|||| BAόBA <⊂Α τετν
11. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
Ορίζουµε τώρα πράξεις επί των συνόλων. Συγκεκριµένα πάνω σε δύο
σύνολα Α και Β:
Η ένωση που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
BA∪Η ένωση που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία
των Α και Β
Η τοµή που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει τα κοινά στοιχεία
των Α και Β
Το συµπλήρωµα του Α που δίνει τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α
Η διαφορά που δίνει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν
ανήκουν στο Β
Και πιο περίπλοκες πράξεις που δίνουν νέα σύνολα που είναι σηµαντικά
BA∪
BA∩
BA −
Και πιο περίπλοκες πράξεις που δίνουν νέα σύνολα που είναι σηµαντικά
στην συνέχεια του µαθήµατος:
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β:
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου
AxB
)(AP
12. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
1.Ένωση Συνόλων
Ορίζουµε ότι:
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxήAxxBA ∈∈=∪
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}5,4,3,2,1,0{=∪ BA
13. Ορίζουµε ότι:
Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η τοµή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η τοµή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxAxxBA ∈∈=∩ και
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}3,2{=∩ BA
14. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων
Παρατηρήστε ότι δύο σύνολα:
Είτε θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους δεν θα είναι το κενό
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Είτε θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους δεν θα είναι το κενό
σύνολο.
δηλ. ισχύει: άρα και
Είτε δεν θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους θα είναι το κενό
∅≠∩ BA 0|| ≠∩ BA
A B
Είτε δεν θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους θα είναι το κενό
σύνολο
δηλ. ισχύει: άρα και∅=∩ BA 0|| =∩ BA
A
B
Στην περίπτωση αυτή θα λέγονται:
«ξένα µεταξύ τους σύνολα»
15. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων (Η αρχή εγκλεισµού – αποκλεισµού)
Η αρχή εγκλεισµού – αποκλεισµού είναι ένας µαθηµατικός τύπος που
σχετίζει τους πληθάριθµους της ένωσης και της τοµής δύο συνόλων.
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
σχετίζει τους πληθάριθµους της ένωσης και της τοµής δύο συνόλων.
Συγκεκριµένα ισχύει:
Η οποία γενικεύεται και για τρία σύνολα ως εξής:
|||||||| BABABA ∩−+=∪
|||||||| CBACBA ++=∪∪
||
||||||
||||||||
CBA
CBCABA
CBACBA
∩∩+
∩−∩−∩−
++=∪∪
16. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
3.Συµπλήρωµα Συνόλου
Ορίζουµε ότι:
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το συµπλήρωµα ενός συνόλου Α είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Το συµπλήρωµα ενός συνόλου Α είναι το σύνολο:
}|{ AxxA ∉=
A
U
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και U={0,1,2,3,4,5,6} τότε
}6,5,4{=A
17. Ορίζουµε ότι:
Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
4.∆ιαφορά Συνόλων
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η διαφορά δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η διαφορά δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxAxxBABA ∉∈==− και
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}1,0{=− BA {4,5}B A− =
18. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
5. Καρτεσιανό Γινόµενο
Ορίζουµε ότι:
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Προσοχή ότι µε τις παρενθέσεις στην παράσταση (x,y) εννοούµε το
διατεταγµένο ζεύγος µε πρώτο στοιχείο το x και δεύτερο στοιχείο το y, άρα η
σειρά απεικόνισης των µελών του ζεύγους έχει σηµασία (σε αντίθεση µε το
συµβολισµό µε τα αγκιστρα που απεικονίζει ότι η σειρά απεικόνισης των
µελών δεν έχει σηµασία)
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|),{( ByAxyxAxB ∈∈= και
µελών δεν έχει σηµασία)
Για παράδειγµα αν Α={1,2} και Β={a,b,c} τότε:
Ειδικά για τον πληθάριθµο του καρτεσιανού γινοµένου ισχύει:
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
ccbbaaBxA
cbacbaAxB
=
=
||*|||||| BABxAAxB ==
19. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
6. ∆υναµοσύνολο
Ορίζουµε ότι:
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Α (συµβολίζεται µε 2Α ή P(A) ) είναι το σύνολο:
Αν Α={1,2} τότε το δυναµοσύνολο του Α είναι το σύνολο:
Ενώ αν Α={1,2,3} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το σύνολο:
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Α (συµβολίζεται µε 2Α ή P(A) ) είναι το σύνολο:
Αποτελεί δηλαδή το σύνολο που περιέχει όλα τα υποσύνολα του Α
}|{)( Α= τουνολουποσναιε ύίxxAP
}}2,1{},2{},1{,{)( ∅=AP
Ενώ αν Α={1,2,3} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το σύνολο:
Θα αποδείξουµε σε επόµενο µάθηµα για τον πληθικό αριθµό ενός συνόλου:
}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)( ∅=AP
||
2|)(| Α
=AP
20. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις που αφορούν σύνολα ισχύουν ή δεν
ισχύουν:
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
∅∉∅
⊂∅
⊂
⊆
∈
Ν∈
.6
}2,1{.5
}2,1{}2,1{.4
}2,1{}2,1{.3
}2,1{}2,1{.2
5.1
RQZN
RQZN
⊆⊆⊆
⊂⊂⊂
∅∉∅
∅∉∅
.9
.8
}{.7
.6
21. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
Κατασκευάστε διαγράµµατα Venn που να απεικονίζουν τα σύνολα:
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
.1 BA∩
)()(.4
)()(.3
)(.2
.1
BABA
ABBA
CBA
BA
∩∪
−∪−
∪∩
∩
22. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
Κατασκευάστε τα δυναµοσύνολα των συνόλων:
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
}4,3,2,1{.1 =A
}}2,1{,1,{.2
}4,3,2,1{.1
∅=
=
B
A
23. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
Από ένα δείγµα 150 φοιτητών ενός πανεπιστηµιού οι 50 έχουν δηλώσει το
µάθηµα των διακριτών µαθηµατικών, οι 80 έχουν δηλώσει το µάθηµα της
εισαγωγής στην πληροφορική, ενώ 40 δεν εχουν δηλώσει κανένα από τα
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
εισαγωγής στην πληροφορική, ενώ 40 δεν εχουν δηλώσει κανένα από τα
δύο µαθήµατα. Να βρεθεί πόσοι φοιτητές έχουν δηλώσει και το µάθηµα των
διακριτών µαθηµατικών και της εισαγωγής στην πληροφορική.