Dokumen tersebut membahas konsep dan operasi bilangan pecahan, termasuk definisi pecahan biasa dan decimal, operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan, serta operasi pemadanan dan pengurangan pecahan.

1. SISTEM
BILANGAN

2. Konsep
Bilangan
2

3. Operasi
Bilangan
Pecahan
3

4. Operasi Bilangan Pecahan
▫ Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang benar, tidak
bulan atau tidak utuh. Berdasarkan penulisannya, bilangan
pecahan bias dibedakan atas pecahan biasa dan pecahan
decimal.
▫ Pecahan biasa selalu menunjukkan bentuk pembagian antara
dua bilangan, contoh
1
4
,
3
6
,
1
9
,
7
23
,
21
104
dll
4

5. ▫ Dalam suatu pecahan biasanya ada dua
macam suku yaitu suku terbagi ( numerator )
yang terletak diatas garis dan suku pembagi (
denominator ) yang terletak dibawah garis.
Contoh diatas 1,3,7,dan 21 merupakan
numerator dan 4,6,9,21 dan 104 merupakan
denominator.
5

6. Tiga macam Pecahan
▫ Berdasarkan nilai dari suku-sukunya pecahan dibagi
3 (tiga) macam, yaitu :
▫ Pecahan layak, adalah suku terbaginya lebih kecil
dari suku pembaginya. Pecahan layak apabila
didesimalkan maka angka didepan koma selalu
berupa angka nol ( 0 ). Contohnya : ½. ¼. ¾ .
▫ Pecahan tidak layak,
6

7. Tiga macam Pecahan
▫ Pecahan tak layak, adalah suku terbaginya lebih besar dari suku
pembaginya. Pecahan layak apabila didesimalkan maka angka
didepan koma selalu berupa bukan angka nol ( 0 ). Contohnya : 5/2,
7/4.
▫ Pecahan komplek, adalah pecahan yang pada salah satu atau
keduanya terdapat satu pecahan atau lebih, atau pecahan pada suku
terbagi atau pada suku pembaginya atau bahkan keduanya masih
terdapat lagi satu atau beberapa pecahan. Contohnya :
1
3/5
,
2/4
1/3
7

8. 𝑎
𝑏
=
𝑎 𝑥 𝑐
𝑏 𝑥 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑎 ∶ 𝑐
𝑏 ∶ 𝑐
▫ Contoh memperbesar pecahan :
▫
2
3
=
2 𝑥 3
3 𝑥 3
=
6
9
;
6
9
=
6 𝑥 5
9 𝑥 5
=
30
45
;
30
45
=
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
Pecahan-pecahan :
2
3
,
6
9
,
30
45
,
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
dikatakan sepadan
8
1. Operasi Pemadanan

9. 𝑎
𝑏
=
𝑎 𝑥 𝑐
𝑏 𝑥 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑎 ∶ 𝑐
𝑏 ∶ 𝑐
▫ Contoh memperkecil pecahan :
▫
24
30
=
24 ∶ 2
30 ∶ 2
=
12
15
;
12
15
=
12∶3
15∶3
=
4
5
;
30
45
=
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
Pecahan-pecahan :
24
30
,
12
15
,
4
5
, dikatakan sepadan
9
1. Operasi Pemadanan

10. ▫ Berdasarkan kedua contoh diatas, bahwa
pembesaran pecahan bersifat tak terbatas,
sedangkan pengecilan pecahan bersifat terbatas.
Kita dapat memperbesar pecahan sekehendak
kita, tetapi kita hanya dapat memperkecil sebuah
pecahan samai pada bentuk tersederhana, atau
sampai pada suku-suku terkecil dimana kedua
suku tidak memiliki bersama lagi.
10

11. ▫ Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan atau
▫ dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi yang
▫ sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum sama, maka
▫ terlebih dahulu harus disamakan sebelum pecahan-pecahan
▫ tersebut ditambahkan dan dikurangkan.
▫ Contoh : ¾ + 7/4 = 10/4
▫ 7/4 – 2/4 = 5/4
11
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

12. ▫ Penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan campuran
dapat dilakukan dengan cara menambahkan ( atau
mengurangkan ) bilangan-bilangan bulatnya terlebih dahulu,
kemudian menambahkan ( mengurangkan ) pecahan dengan
pecahannya. Jadi tidak harus dengan mengubah bilangan-
bilangan campuran tersebut menjadi pecahan tak layak terlebih
dahulu.
▫
12
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

13. ▫ Contoh :
▫ 5/a + 2/b = 5b/ab + 2a/ab =
5𝑏+2𝑎
𝑎𝑏
▫ 3/4 + 2/3 =
3 𝑥 3
4 𝑥 3
+
2 𝑥 4
4 𝑥 3
=
9+8
12
=
17
12
= 1
5
12
▫ 2
5
8
+ 3
2
8
= (2 + 3) +
13
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

14. ▫ Contoh :
▫
𝑎
𝑥
x
𝑏
𝑦
=
𝑎𝑏
𝑥𝑦
▫
4
5
x
2
3
=
8
15
▫ 5
4
5
x 6
2
3
=
29
5
x
20
3
=
580
15
= 38
10
15
14
2. Operasi Perkalian

15. Cara Pertama ( kalikan terbagi dengan kebalikan pecahan pembagi
▫
5
6
:
4
8
=
5
6
x
8
4
=
40
24
= 1
16
24
= 1
2
3
Cara kedua : ubah pecahan terbagi dan pecahan pembagi sehingga
keduanya memiliki suku pembagi bersama terkecil, kemudian batalkan
suku pembagi bersama terkecil tersebut dan bagilah suku yang tersisi
▫
5
6
:
4
8
=
40
48
:
24
48
= 40
24 = 1
16
24
= 1
2
3
15
2. Operasi Pembagian

16. Cara ketiga : kalikan terlebih dahulu dengan suku pembagi
bersama terkecil, selesaikan atau sederhanakan masing-masing
pecahan dan kemudian dibagi.
▫
5
6
:
4
8
= (
5
6
x 48 ) : (
4
8
x 48 ) = ( 40 : 24 ) = 1
16
24
= 1
2
3
16
2. Operasi Pembagian

17. Operasi
Pangkat
17

18.  Notasi 𝑥 𝑛 menunjukkan bahwa x harus dikalikan
dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak
n kali. Misalnya
7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75
0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,54
1.000.000 = 106
1
100.000
atau 0,00001 dapat diringkas menjadi 10−5
18

19. a. 𝑥0
= 1, contoh : 50 = 1
b. 𝑥1
= x, contoh : 51
= 5
c. 01 = 0, contoh : 05 = 0
d. 𝑥−𝑛 =
1
𝑥 𝑛 contoh : 5−3 =
1
53 =
1
125
= 125−1
▫
19
1. Kaidah Pemangkatan Bilangan

20. e. 𝑥
𝑎
𝑏 =
𝑏
𝑥 𝑎 contoh : 2
2
3 =
3
22 =
3
4
𝑓.
𝑥
𝑦
𝑎
=
𝑥 𝑎
𝑦 𝑎 contoh :
3
5
2
=
32
52 =
9
25
g. 𝑥 𝑎 𝑏 = 𝑥 𝑎𝑏 contoh : 42 3
= 46
h. 𝑥 𝑎 𝑏
= 𝑥 𝑐 dimana c = 𝑎 𝑏 contoh : 324
= 316
20
1. Kaidah Pemangkatan Bilangan

21. a. 𝑥 𝑎
. 𝑥 𝑏
= 𝑥 𝑎+𝑏 , contoh : 52. 53 = 52+3 =55 = 3.125
b. 𝑥 𝑎
. 𝑦 𝑎
= 𝑥𝑦 𝑎
, contoh : 22
. 32
= 2.3 2
= 62
21
2. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat
3. Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat
a. 𝑥 𝑎: 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎−𝑏 , contoh : 53: 52 = 53−2 =51
b. 𝑥 𝑎
: 𝑦 𝑎
=
𝑥
𝑦
𝑎
, contoh : 22
: 32
=
2
3
2

22. 22
Operasi
Akar

23. 23
KONSEP
Jika 𝑋 𝑛
: X disebut basis dan n disebut pangkat.
Misalkan 𝑋 𝑛 = y, maka x dsebut sebagai akar pangkan n
dari y, yang ditulis dalam bentuk akar menjadi x = 𝑛
𝑦.
Contoh :
2
9 = 3 sebab 32= 9;
3
64 = 4, sebab 43 = 64

24. 24
1. Kaidah Pengakaran Bilangan
a. Berdasarkan 𝑛
𝑦 = x
b. Maka 𝑏
𝑥 = 𝑥
1
𝑏 contoh :
3
64 = 64
1
3
c.
𝑏
𝑥 𝑎 = 𝑥
𝑎
𝑏, contoh ∶
5
32 = 3
2
5,
d.
𝑏 𝑥
𝑦
=
𝑏
𝑥
𝑏 𝑦
, contoh :
3 8
64
=
3
8
3
64
,
e. 𝑏
𝑥𝑦 = 𝑏
𝑥 . 𝑏
𝑦 , contoh :
3
8.64 =
3
8 x
3
64

25. 25
2. Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Terakar
m
𝑏
𝑥 𝑎 ± n
𝑏
𝑥 𝑎 = (m ± n)
𝑏
𝑥 𝑎
contoh : 5 3 + 2 3 = 7 3
a. Maka 𝑏
𝑥 = 𝑥
1
𝑏 contoh :
3
64 = 64
1
3
b.
𝑏
𝑥 𝑎 = 𝑥
𝑎
𝑏, contoh ∶
5
32 = 3
2
5,
c.
𝑏 𝑥
𝑦
=
𝑏
𝑥
𝑏 𝑦
, contoh :
3 8
64
=
3
8
3
64
,

26. 26
2. Kaidah Perkalian Bilangan Terakar
a. 𝑏
𝑥 . 𝑏
𝑦 = 𝑏
𝑥𝑦
3
8 .
3
64 =
3
8.64 =
3
512
b.
𝑏 𝑐
𝑥 𝑛 =
𝑏.𝑐
𝑥 𝑛 , contoh :
2 3
15.625 =
2.3
15.625 = 5
3. Kaidah Pembagian Bilangan Terakar
𝑏
𝑥
𝑏 𝑦
=
𝑏 𝑥
𝑦
, contoh :
3 8
64
=
3 1
8

27. Logaritme
27

28. 28
KONSEP
Misalnya 𝑥 𝑛 = m, dengan x basis dan n pangkat.
Pangkat n disebut juga logaritme m terhadap basis x.
Ditulis dalam bentuk logaritme, n = x log m atau n = logx m
52 = 25 ; pangkat 2 adalah logaritme dari 25 terhadap basis 5,
atau 5log 25 = 2
43
= 64 ; pangkat 3 adalah logaritme dari 64 terhadap basis 4,
atau 4log 64 = 3
Bentuk Pengkat Bentuk Akar Bentuk Logaritme
𝑥 𝑛 = m 𝑛
𝑚 = x 𝑥𝑙𝑜𝑔m = n
Type equation here.

29. 29
KONSEP
log m baerarti 10 log 𝑚 karena angka 10 tidak dicantumkan
dalam notasi logaritme. Logaritme berbasis 10 disebut juga
logaritme biasa (common logarithm) atau logaritme Briggs.
Disamping bilangan 10, yang lazim digunakan adalah Bilangan
e (e = 2,718287....biasa diringkas 2,72).
Logaritme berbasi e disebut logaritme natural atau Logaritme
Napier yang dilambangkan dengan ln.
Ln m berarti 𝑒log 𝑚 dan ln 24 = 𝑒log 24

30. 30
Kaidah-kaidah Logaritme
a. 𝑥log 𝑋 = 1 sebab 𝑥1 = x
contoh : 10log10 = 1 ; 7log7 = 1
b. 𝑥log 1 = 0 sebab 𝑥0
= 1
contoh : 6log1 = 0 ; 5log 1= 0
c. 𝑥log 𝑥 𝑛 = n sebab 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛
contoh : 7log 73= 3 ; 5log 52 = 2
d. 𝑥log 𝑥 𝑛 = n 𝑥log 𝑚
contoh : 10log 1002 = 2 10log 100 = 2 10log 10 2 = 2. 2 10log 10 =
4

31. 31
Kaidah-kaidah Logaritme
contoh : 10log 1002 = 2 10log 100 = 2 10log 10 2 = 2. 2 10log 10 =
4
8log 5124 = 4 8log 512 = 4 8log 83 = 4. 3 8log 8 = 12
e. 𝑥 𝑥log 𝑚 = m
Contoh : 10 10log 100= 10 log 102
= 102
= 100
8 8log 512= 8 log 83
= 83
= 512
f. 𝑥log 𝑚.𝑛 = 𝑥log 𝑚. + 𝑥log.𝑛
f. Contoh : 10log(100).(1000) = 10log 100 + 10log(1000) = 2 + 3
= 5
g. 3log(243)(27) = 3log(243) + 3log(27) = 5 + 3 = 8

32. 32
g. 𝑥log
𝑚
𝑛
= 𝑥log 𝑚 - 𝑥log 𝑛
Contoh : 10log
100
1000
= 10log 100 - 10log(1000) = 2-3 = -1
3log
243
27
= 3log 243 - 3log 27 = 5-2 = 3
h. 𝑥log 𝑚. 𝑚log 𝑥 = 1 sehingga ; 𝑥log 𝑚 =
1
𝑚log 𝑥
Contoh : 10log 100. 10log 10 = 10log 102. 100log 1000,5 = 2 x 0,5 =
1
i. 𝑥log 𝑚. 𝑚log 𝑛. 𝑛log 𝑥 = 1
Contoh : 10log 100. 100log 10000. 10000log 10
= 10log 102. 100log 1002. 10000log 100000,25
= 2 x 2 x 0,25

33. 33