Dokumen ini membahas sistem bilangan, termasuk bilangan nyata, bilangan khayal, dan berbagai jenis bilangan lainnya seperti bilangan rasional dan irasional. Fokus utama adalah perbedaan antara bilangan nyata dan bilangan khayal serta sifat-sifat perbandingan dan operasi bilangan. Terdapat penjelasan rinci tentang operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dalam konteks bilangan pecahan.

1. SISTEM
BILANGAN

2. Konsep
Bilangan
2

3. Konsep Bilangan
BILANGAN NYATA
CONTOH : 2; -2; 1,1; -1,1
3
Bilangan
Nyata
Bilangan
Rasional
Bilangan
Bulat
Bilangan
Negatif
Nol
Bilangan
Positif
Bilangan
Pecah
Bilangan
Irasional

4. Konsep Bilangan
BILANGAN KHAYAL (IMAGINER ), ADALAH BILANGAN YANG
BERUPA AKAR PANGKAT GENAP DARI SUATU BILANGAN
NEGATIF. PERBEDAAN BILANGAN NYATA DAN BILANGAN
KHAYAL ADALAH BILANGAN NYATA MENGANDUNG SALAH
SATU SIFAT TEGAS, SIFAT POSITIF ATAU NEGATIF, DAN TIDAK
KEDUANYA . SEDANGKAN BILANGAN KAHAYAL TIDAK JELAS
SIFATNYA, APAKAH POSITIF ATAU NEGATIF. BILANGAN NYATA
MENGANDUNG KEDUA SIFAT POSITIF DAN NEGATIF SEKALIGUS
DISEBUT BILANGAN KOMPLEKS .
4

5. Contoh Bilanan Khayal
▫ (−16) = ±4; 4
−1,4641 = ±1,1
▫ Pada dasarnya setiap bilangan positif maupun
negatif, jika berpangkat genap akan selalu
menghasilkan bilangan positif. Dengan demikian,
sangat sukar dibayangkan hasil akhir dari suatu
bilangan negatif yang berada di bawah tanda akar
berpangkat genap. Oleh karena itu, bilanganseperti
itu dinamakan bilangan khayal. 5

6. Bilangan Rasional
▫ Abdallah bilangan hasil bagi antara dua bilangan,
yang berupa bilangan bulat, atau berupa pecahan
dengan decimal terbatas atau decimal berulang.
6
Abdallah bilangan hasil bagi antara dua bilangan,
yang berupa bilangan bulat, atau berupa
pecahan dengan decimal terbatas atau decimal
berulang.
Bilangan Rasional

7. Bilangan Irasional (lanjutan…..)
▫ Termasuk bilangan Irasional adalah 𝜋 dan ℯ
7
Bilangan Bulat
▫ Adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya
bulat, termasuk 0 (nol).
Bilangan Pecahan
▫ Adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan
dengan decimal terbatas atau decimal berulang.

8. Bilangan Rasional dan Irasonal
▫ 0,1372525 tergolong bilangan rasional
▫ 0,13725252579988… tergolong bilangan irasopnal
▫ 0,137252526 tergolong bilangan rasional
▫ Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tetapi tidak
semua bilangan rasional berupa bilangan bulat.
▫ Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tetapi tidak
semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan.
▫ Semua bilangan irasional adalah bilangan berdesimal, tetapi
tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irasional. 8

9. Bilangan Asli
▫ Adalah semua bilangan bulat positif, tidak termasuk
nol. Jika himpunan bilangan asli dilambangkan A,
maka A = { 1,2,3,4,5…..}
9
Bilangan Cacah
▫ Adalah semua bilangan bulat positif dan nol, Jika
himpunan bilangan cacah dilambangkan C, maka C
= { 0,1,2,3,4,5…..}

10. Bilangan Prima
▫ Adalah bilangan asli yang besarnya tidak sama
dengan satu dan hanya habis (maksudnya bulat)
dibagi oleh dirinya sendiri. Jika himpunan bilangan
prima dilambangkan dengan P, maka
P = { 1,3,5,7,11…}
10

11. KETIDAKSAMAAN
Tanda-tanda ketidaksamaan
▫ Tanda < melambangkan “ lebih kecil”
▫ Tanda > melambangkan “ lebih besar”
▫ Tanda ≤ melambangkan “ lebih kecil sama dengan”
▫ Tanda ≥ melambangkan “ lebih besar sama dengan”
11

12. Sifat-sifat perbandingan bilangan nyata
1. Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b, sedangkan jika a ≥ b,
maka – a ≤ - b.
▫ Contoh :
▫ Jika a = 2, dan b = 4. a < b maka – a > - b, sebaba
– 2 > - 3.
▫ Jika a = 7 dan b = 5, maka a > b, dan – a < -b,
sebaba -7 < - 5
12

13. Sifat-sifat perbandingan bilangan nyata
2. Jika a ≤ b, dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b, begitupun a
≥ b, dan x ≥ 0 , maka x.a ≥ x.b.
▫ Contoh :
▫ Jika a = 2, dan b = 4 serta x = 3. maka 2.3 < 3.4 atau
6 < 12, begitupun jika a = 7 dan b = 5, dan x = 3
maka 7.3 > 5.3 atau 21 > 15
13

14. Sifat-sifat perbandingan bilangan nyata
3. Jika a ≤ b, dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b, begitupun a
≥ b, dan x ≤ 0 , maka x.a ≤ x.b.
▫ Contoh :
▫ Jika a = 2, dan b = 4 serta x = -3. maka 2.-3 > -3.4
atau -6 > -12, begitupun jika a = 7 dan b = 5, dan x =
- 3 maka 7.-3 < 5.3 atau -21 > -15
14

15. Sifat-sifat perbandingan bilangan nyata
4. Jika a ≤ b, dan c ≤ d, maka a + c ≤ b + d, begitupun
a ≥ b, dan c ≥ d , maka a + c ≥ b + d
▫ Contoh :
▫ Jika a = 2, b = 4, c = 3 dan d = 5, maka a + c < b + d
sebab 2+ 3 < 4 + 5 atau 5 < 9. Jika nilai a = 4, b = 2,
c = 5 dan d = 3, maka a + c ≥ b + d atau 4 + 5 > 2 +
3 karena 9 > 5
15

16. Operasi
Bilangan
16

17. OPERASI BILANGAN
1. Kaidah Komutatif
▫ a + b = b + a
▫ Contoh : 4 + 7 = 7 + 4
▫ a x b = b x a
Contoh : 4 x 7 = 7 x 4
17

18. OPERASI BILANGAN
2. Kaidah Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
Contoh : (2 + 3) + 4 = 2 + ( 3 + 4 )
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh : ( 2 x 3 ) x 4 = 2 x ( 3 x 4 )
6 x 4 + = 2 x 12
18

19. OPERASI BILANGAN
3. Kaidah Pembatalan
Jika a,b,c, dan d bilangan nyata dan jumlah
a dan c sama dengan jumlah b dan c, maka
a sama dengan b , aka a + c = b + c, dan
a.c = b.c ( c ≠ 0 ) maka : a = b
19

20. 4. Kaidah Distributif
▫ a( b + c ) = a.b + a.c
▫ Contoh : 3(4 + 5) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
20
5. Unsur Penyama ( Identitas )
▫ a ± 0 = a
▫ Contoh : 4 ± 0 = 4
▫ a x 1 = a
▫ Contoh : 5 x 1 = 5

21. 4. Kebalikan ( Invers )
a + ( - a ) = 0
▫ Contoh : 3 + ( - 3 ) = 0
▫ Bilangan -3 disebut balikan penambah dari 3
atau negatif dari 3
▫ a x
1
𝑎
= 1 Contoh : 3 x
1
3
= 1
▫ Bilangan
1
3
disebut balikan pengali 3
21

22. Operasi
Tanda
22

23. a. Jumlah dua bilangan positif
▫ ( +a ) + ( +b ) = ( + c )
▫ Contoh : ( + 4 ) + ( + 5 ) = ( + 9 )
b. Jumlah dua bilangan negatif
▫ ( -a ) + ( -b ) = ( -c )
Contoh : ( -4 ) + ( - 5 ) = ( - 9 )
23
1. Operasi Penjumlahan

24. c. Jumlah dari bilangan positif dan bilangan negatif
▫ ( +a ) + ( - b ) = ( + c ) jika |a| > |b|
▫ Contoh : ( + 5 ) + ( - 3 ) = ( + 2 )
atau
▫ ( +a ) + ( -b ) = ( -d ) Jika |a| < |b|
Contoh : ( + 4 ) + ( - 8 ) = ( - 4)
24
1. Operasi Penjumlahan

25. d. Jumlah dari bilangan negatif dan bilangan positif
▫ ( -a ) + ( +b ) = ( + c ) jika |a| < |b|
▫ Contoh : ( - 4 ) + ( + 7 ) = ( + 3 )
atau
▫ ( -a ) + ( + b ) = ( -d ) Jika |a| > |b|
Contoh : ( -9 ) + ( + 5 ) = ( - 4 )
25
1. Operasi Penjumlahan

26. a. Selisih antara dua bilangan positif dan bilangan
positif
▫ ( +a ) - ( +b ) = ( + c ) jika |a| > |b|
▫ Contoh : ( +8) - ( + 3 ) = ( + 5 )
atau
▫ ( + a ) - ( + b ) = ( -d ) Jika |a| < |b|
Contoh : ( +4 ) - ( + 8 ) = ( - 4 )
26
2. Operasi Pengurangan

27. b. Selisih antara dua bilangan negatif,
▫ ( -a ) - ( -b ) = ( + c ) jika |a| < |b|
▫ Contoh : ( -3) - ( - 8 ) = ( + 5 )
atau
▫ ( - a ) - ( - b ) = ( -d ) Jika |a| > |b|
Contoh : ( -4 ) - ( - 2 ) = ( - 2 )
27
2. Operasi Pengurangan

28. c. Selisih antara bilangan positif dan bilangan negatif,
▫ ( +a ) - ( -b ) = ( + c )
▫ Contoh : ( +3) - ( - 5 ) = ( + 8 )
d. Selisih antara bilangan negatif dan bilangan positif
▫ ( - a ) - ( + b ) = ( -c )
Contoh : ( -4 ) - ( + 2 ) = ( - 6 )
28
2. Operasi Pengurangan

29. c. Hasil kali antara dua bilangan positif dan dua
bilangan negatif,
▫ ( +a ) x ( +b ) = ( + c )
▫ Contoh : ( +3) x ( + 5 ) = ( + 15 )
( - a ) x ( - b ) = ( +c )
Contoh : ( -4 ) x ( - 2 ) = ( + 8)
29
3. Operasi Perkalian

30. c. Hasil kali dua bilangan yang berlainan tanda
▫ ( +a ) x ( -b ) = ( - c )
▫ Contoh : ( +3) x ( - 2 ) = ( - 6 )
( - a ) x ( + b ) = ( -c )
Contoh : ( -4 ) x ( + 2 ) = ( - 8)
30
3. Operasi Perkalian

31. a. Hasil kali antara dua bilangan positif dan dua
bilangan negatif,
▫ ( +a ) : ( +b ) = ( + c )
▫ Contoh : ( +8 ) : ( +2 ) = ( + 4 )
( - a ) : ( - b ) = ( +c )
Contoh : ( -4 ) : ( - 2 ) = ( + 2)
31
4. Operasi Pembagian

32. b. Hasil bagi dua bilangan yang berlainan tanda
▫ ( +a ) : ( -b ) = ( - c )
▫ Contoh : ( + 9) : ( - 3 ) = ( - 3 )
( - a ) : ( + b ) = ( -c )
Contoh : ( -4 ) : ( + 2 ) = ( - 2 )
32
3. Operasi Perkalian

33. Operasi
Bilangan
Pecahan
33

34. Operasi Bilangan Pecahan
▫ Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang benar, tidak
bulan atau tidak utuh. Berdasarkan penulisannya, bilangan
pecahan bias dibedakan atas pecahan biasa dan pecahan
decimal.
▫ Pecahan biasa selalu menunjukkan bentuk pembagian antara
dua bilangan, contoh
1
4
,
3
6
,
1
9
,
7
23
,
21
104
dll
34

35. ▫ Dalam suatu pecahan biasanya ada dua
macam suku yaitu suku terbagi ( numerator )
yang terletak diatas garis dan suku pembagi (
denominator ) yang terletak dibawah garis.
Contoh diatas 1,3,7,dan 21 merupakan
numerator dan 4,6,9,21 dan 104 merupakan
denominator.
35

36. Tiga macam Pecahan
▫ Berdasarkan nilai dari suku-sukunya pecahan dibagi
3 (tiga) macam, yaitu :
▫ Pecahan layak, adalah suku terbaginya lebih kecil
dari suku pembaginya. Pecahan layak apabila
didesimalkan maka angka didepan koma selalu
berupa angka nol ( 0 ). Contohnya : ½. ¼. ¾ .
▫ Pecahan tidak layak,
36

37. Tiga macam Pecahan
▫ Pecahan tak layak, adalah suku terbaginya lebih besar dari suku
pembaginya. Pecahan layak apabila didesimalkan maka angka
didepan koma selalu berupa bukan angka nol ( 0 ). Contohnya : 5/2,
7/4.
▫ Pecahan komplek, adalah pecahan yang pada salah satu atau
keduanya terdapat satu pecahan atau lebih, atau pecahan pada suku
terbagi atau pada suku pembaginya atau bahkan keduanya masih
terdapat lagi satu atau beberapa pecahan. Contohnya :
1
3/5
,
2/4
1/3
37

38. 𝑎
𝑏
=
𝑎 𝑥 𝑐
𝑏 𝑥 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑎 ∶ 𝑐
𝑏 ∶ 𝑐
▫ Contoh memperbesar pecahan :
▫
2
3
=
2 𝑥 3
3 𝑥 3
=
6
9
;
6
9
=
6 𝑥 5
9 𝑥 5
=
30
45
;
30
45
=
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
Pecahan-pecahan :
2
3
,
6
9
,
30
45
,
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
dikatakan sepadan
38
1. Operasi Pemadanan

39. 𝑎
𝑏
=
𝑎 𝑥 𝑐
𝑏 𝑥 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑎 ∶ 𝑐
𝑏 ∶ 𝑐
▫ Contoh memperkecil pecahan :
▫
24
30
=
24 ∶ 2
30 ∶ 2
=
12
15
;
12
15
=
12∶3
15∶3
=
4
5
;
30
45
=
30 𝑥 𝑐
45 𝑥 𝑐
Pecahan-pecahan :
24
30
,
12
15
,
4
5
, dikatakan sepadan
39
1. Operasi Pemadanan

40. ▫ Berdasarkan kedua contoh diatas, bahwa
pembesaran pecahan bersifat tak terbatas,
sedangkan pengecilan pecahan bersifat terbatas.
Kita dapat memperbesar pecahan sekehendak
kita, tetapi kita hanya dapat memperkecil sebuah
pecahan samai pada bentuk tersederhana, atau
sampai pada suku-suku terkecil dimana kedua
suku tidak memiliki bersama lagi.
40

41. ▫ Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan atau
▫ dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi yang
▫ sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum sama, maka
▫ terlebih dahulu harus disamakan sebelum pecahan-pecahan
▫ tersebut ditambahkan dan dikurangkan.
▫ Contoh : ¾ + 7/4 = 10/4
▫ 7/4 – 2/4 = 5/4
41
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

42. ▫ Penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan campuran
dapat dilakukan dengan cara menambahkan ( atau
mengurangkan ) bilangan-bilangan bulatnya terlebih dahulu,
kemudian menambahkan ( mengurangkan ) pecahan dengan
pecahannya. Jadi tidak harus dengan mengubah bilangan-
bilangan campuran tersebut menjadi pecahan tak layak terlebih
dahulu.
▫
42
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

43. ▫ Contoh :
▫ 5/a + 2/b = 5b/ab + 2a/ab =
5𝑏+2𝑎
𝑎𝑏
▫ 3/4 + 2/3 =
3 𝑥 3
4 𝑥 3
+
2 𝑥 4
4 𝑥 3
=
9+8
12
=
17
12
= 1
5
12
▫ 2
5
8
+ 3
2
8
= (2 + 3) +
43
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

44. ▫ Contoh :
▫
𝑎
𝑥
x
𝑏
𝑦
=
𝑎𝑏
𝑥𝑦
▫
4
5
x
2
3
=
8
15
▫ 5
4
5
x 6
2
3
=
29
5
x
20
3
=
580
15
= 38
10
15
44
2. Operasi Perkalian

45. Cara Pertama ( kalikan terbagi dengan kebalikan pecahan pembagi
▫
5
6
:
4
8
=
5
6
x
8
4
=
40
24
= 1
16
24
= 1
2
3
Cara kedua : ubah pecahan terbagi dan pecahan pembagi sehingga
keduanya memiliki suku pembagi bersama terkecil, kemudian batalkan
suku pembagi bersama terkecil tersebut dan bagilah suku yang tersisi
▫
5
6
:
4
8
=
40
48
:
24
48
= 40
24 = 1
16
24
= 1
2
3
45
2. Operasi Pembagian

46. Cara ketiga : kalikan terlebih dahulu dengan suku pembagi
bersama terkecil, selesaikan atau sederhanakan masing-masing
pecahan dan kemudian dibagi.
▫
5
6
:
4
8
= (
5
6
x 48 ) : (
4
8
x 48 ) = ( 40 : 24 ) = 1
16
24
= 1
2
3
46
2. Operasi Pembagian

47. 1.
Transition headline
Let’s start with the first set of slides

48. Quotations are commonly printed
as a means of inspiration and to
invoke philosophical thoughts
from the reader.
48

49. This is a slide title
▫ Here you have a list of items
▫ And some text
▫ But remember not to overload your slides with
content
Your audience will listen to you or read the
content, but won’t do both.
49

50. Big
concept
Bring the attention of your
audience over a key concept
using icons or illustrations
50

51. White
Is the color of milk and
fresh snow, the color
produced by the
combination of all the
colors of the visible
spectrum.
You can also split your content
Black
Is the color of ebony and of
outer space. It has been
the symbolic color of
elegance, solemnity and
authority.
51

52. In two or three columns
Yellow
Is the color of gold,
butter and ripe
lemons. In the
spectrum of visible
light, yellow is found
between green and
orange.
Blue
Is the colour of the
clear sky and the
deep sea. It is located
between violet and
green on the optical
spectrum.
Red
Is the color of blood,
and because of this it
has historically been
associated with
sacrifice, danger and
courage.
52

53. A picture is worth a
thousand words
A complex idea can be
conveyed with just a
single still image, namely
making it possible to
absorb large amounts of
data quickly.
53

54. Want big impact?
Use big image.
54

55. Use diagrams to explain your ideas
55
Vestibulum congue
tempus
Lorem ipsum dolor sit amet,
consectetur adipiscing elit,
sed do eiusmod tempor.
Vestibulum congue
tempus
Lorem ipsum dolor sit amet,
consectetur adipiscing elit,
sed do eiusmod tempor.
Vestibulum congue tempus
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur
adipiscing elit, sed do eiusmod tempor. Ipsum
dolor sit amet elit, sed do eiusmod tempor.

56. And tables to compare data
A B C
Yellow 10 20 7
Blue 30 15 10
Orange 5 24 16
56

57. Maps
our office
57
Find more maps at slidescarnival.com/extra-free-resources-icons-and-maps

58. 89,526,124
Whoa! That’s a big number, aren’t you proud?
58

59. 89,526,124$
That’s a lot of money
100%
Total success!
185,244 users
And a lot of users
59

60. Our process is easy
60
Lorem 3
Lorem ipsum dolor sit
amet, consectetur
adipiscing elit. Duis
sit amet odio vel
purus bibendum
luctus.
Lorem 1
Lorem ipsum dolor sit
amet, consectetur
adipiscing elit. Duis
sit amet odio vel
purus bibendum
luctus.
Lorem 2
Lorem ipsum dolor sit
amet, consectetur
adipiscing elit. Duis
sit amet odio vel
purus bibendum
luctus.

61. Let’s review some concepts
Yellow
Is the color of gold, butter and
ripe lemons. In the spectrum of
visible light, yellow is found
between green and orange.
Blue
Is the colour of the clear sky and
the deep sea. It is located
between violet and green on the
optical spectrum.
Red
Is the color of blood, and
because of this it has historically
been associated with sacrifice,
danger and courage.
61
Yellow
Is the color of gold, butter and
ripe lemons. In the spectrum of
visible light, yellow is found
between green and orange.
Blue
Is the colour of the clear sky and
the deep sea. It is located
between violet and green on the
optical spectrum.
Red
Is the color of blood, and
because of this it has historically
been associated with sacrifice,
danger and courage.

62. You can insert graphs from Google Sheets
62

63. Mobile project
Show and explain your web, app
or software projects using these
gadget templates.
Place your screenshot
here
63

64. Place your screenshot here
64
Tablet project
Show and explain your web, app
or software projects using these
gadget templates.

65. Place your screenshot here
65
Desktop project
Show and explain
your web, app or
software projects
using these gadget
templates.

66. 66
Thanks!
I am Jayden Smith
You can find me at:
▫ @username
▫ user@mail.me

67. Credits
Special thanks to all the people who made and
released these awesome resources for free:
▫ Presentation template by SlidesCarnival
▫ Photographs by Unsplash
67

68. Presentation design
This presentation uses the following typographies:
▫ Titles: IBM Plex Serif
▫ Body copy: IBM Plex Sans
Download for free at:
https://www.fontsquirrel.com/fonts/ibm-plex
You don’t need to keep this slide in your presentation. It’s only here to serve you as a design guide
if you need to create new slides or download the fonts to edit the presentation in PowerPoint®
68

69. SlidesCarnival icons are editable shapes.
This means that you can:
▫ Resize them without losing quality.
▫ Change fill color and opacity.
▫ Change line color, width and style.
Isn’t that nice? :)
Examples:
69
Find more icons at slidescarnival.com/extra-
free-resources-icons-and-maps

70. Diagrams and infographics
70

71. ✋👆👉👍👤👦👧👨👩👪💃🏃💑❤😂😉
😋😒😭👶😸🐟🍒🍔💣📌📖🔨🎃🎈🎨🏈
🏰🌏🔌🔑 and many more...
😉
71
You can also use any emoji as an icon!
And of course it resizes without losing quality.
How? Follow Google instructions
https://twitter.com/googledocs/status/730087240156643328

72. Free templates for all your presentation needs
Ready to use,
professional and
customizable
100% free for personal
or commercial use
Blow your audience
away with attractive
visuals
For PowerPoint and
Google Slides
72