Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Logaritma, Sifat-sifat Logaritma, Persamaan Logaritma
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/06/persamaan-dan-sifat-logaritma.html
Matematik Tambahan: Index dan Log (sam)Cikgu Marzuqi
Dokumen ini berisi koleksi soalan-soalan matematika tambahan tingkat SPM yang berkaitan dengan indeks dan logaritma. Soalan-soalan tersebut meliputi penyelesaian persamaan logaritma, pengungkapan logaritma dalam sebutan variabel lain, dan penentuan nilai variabel berdasarkan persamaan logaritma.
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Logaritma, Sifat-sifat Logaritma, Persamaan Logaritma
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/06/persamaan-dan-sifat-logaritma.html
Matematik Tambahan: Index dan Log (sam)Cikgu Marzuqi
Dokumen ini berisi koleksi soalan-soalan matematika tambahan tingkat SPM yang berkaitan dengan indeks dan logaritma. Soalan-soalan tersebut meliputi penyelesaian persamaan logaritma, pengungkapan logaritma dalam sebutan variabel lain, dan penentuan nilai variabel berdasarkan persamaan logaritma.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang pengertian logaritma, sifat-sifat logaritma, dan contoh soal logaritma. Secara singkat, logaritma adalah bilangan yang menunjukkan pangkat suatu bilangan pokok yang menghasilkan bilangan yang dimaksud. Logaritma memiliki sifat-sifat tertentu seperti perkalian dan pembagian bilangan logaritma. Contoh soal memberikan latihan penyelesaian masalah logarit
Dalam Modul ini, kita mempelajari tentang :
Arti Limit Fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut.
Arti Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.
Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri di satu titik
Sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan Limit
Arti bentuk tak tentu dari Limit Fungsi.
Menggunakan Sifat-sifat Limit untuk menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Dokumen menjelaskan logaritma sebagai operasi matematika kebalikan dari eksponen. Ia memberikan rumus dasar logaritma dan sifat-sifatnya, beserta contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep logaritma.
Dokumen tersebut membahas tentang materi aljabar yang mencakup kompetensi dasar, indikator pencapaian, materi pelajaran, dan contoh soal. Materi pelajaran meliputi bentuk aljabar dan unsur-unsurnya, operasi hitung aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, serta faktorisasi bentuk aljabar. Dokumen ini memberikan penjelasan singkat namun memadai tentang konsep-konsep dasar dalam al
Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.
Mata kuliah Kalkulus 2 mencakup materi integral, metode integrasi, fungsi transenden, luas dan integral tertentu, volume benda putar, integral tak wajar, dan kalkulus geometri. Satuan acara mencakup pengertian integral, rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas, volume, dan integral tak wajar.
Dokumen tersebut membahas fungsi komposisi dan fungsi invers. Terdapat beberapa soal tentang menentukan hasil komposisi dari dua fungsi yang diberikan, menentukan fungsi asli berdasarkan fungsi terkomposisi, dan menentukan nilai fungsi komposisi untuk suatu nilai.
1. Soal tersebut memberikan ringkasan singkat tentang beberapa soal integral dan penyelesaiannya. Beberapa soal tersebut meliputi integral parsial, substitusi variabel, dan sifat-sifat dasar trigonometri dalam penyelesaian integral.
Dokumen tersebut membahas tentang penulisan jumlah dan sigma (∑) untuk mengkompakkan penulisan jumlah bilangan. Dijelaskan sifat-sifat operasi penjumlahan sigma seperti distribusi dan komutasi. Kemudian diberikan contoh soal penggunaan sifat-sifat tersebut. Diberikan pula rumusan penjumlahan khusus untuk kuadrat, kubik dan kuadrat bilangan. Diakhir ada soal latihan untuk menghitung pen
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
Logaritma adalah operasi matematika terhadap bilangan pokok dan hasil perpangkatan untuk menentukan pangkatnya. Logaritma memiliki sifat-sifat seperti log a = 1, log ab = log a + log b, dan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan perpangkatan dan logaritma.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang pengertian logaritma, sifat-sifat logaritma, dan contoh soal logaritma. Secara singkat, logaritma adalah bilangan yang menunjukkan pangkat suatu bilangan pokok yang menghasilkan bilangan yang dimaksud. Logaritma memiliki sifat-sifat tertentu seperti perkalian dan pembagian bilangan logaritma. Contoh soal memberikan latihan penyelesaian masalah logarit
Dalam Modul ini, kita mempelajari tentang :
Arti Limit Fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut.
Arti Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.
Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri di satu titik
Sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan Limit
Arti bentuk tak tentu dari Limit Fungsi.
Menggunakan Sifat-sifat Limit untuk menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Dokumen menjelaskan logaritma sebagai operasi matematika kebalikan dari eksponen. Ia memberikan rumus dasar logaritma dan sifat-sifatnya, beserta contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep logaritma.
Dokumen tersebut membahas tentang materi aljabar yang mencakup kompetensi dasar, indikator pencapaian, materi pelajaran, dan contoh soal. Materi pelajaran meliputi bentuk aljabar dan unsur-unsurnya, operasi hitung aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, serta faktorisasi bentuk aljabar. Dokumen ini memberikan penjelasan singkat namun memadai tentang konsep-konsep dasar dalam al
Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.
Mata kuliah Kalkulus 2 mencakup materi integral, metode integrasi, fungsi transenden, luas dan integral tertentu, volume benda putar, integral tak wajar, dan kalkulus geometri. Satuan acara mencakup pengertian integral, rumus dasar integral, metode integrasi seperti substitusi dan integral parsial, serta penerapan integral untuk menghitung luas, volume, dan integral tak wajar.
Dokumen tersebut membahas fungsi komposisi dan fungsi invers. Terdapat beberapa soal tentang menentukan hasil komposisi dari dua fungsi yang diberikan, menentukan fungsi asli berdasarkan fungsi terkomposisi, dan menentukan nilai fungsi komposisi untuk suatu nilai.
1. Soal tersebut memberikan ringkasan singkat tentang beberapa soal integral dan penyelesaiannya. Beberapa soal tersebut meliputi integral parsial, substitusi variabel, dan sifat-sifat dasar trigonometri dalam penyelesaian integral.
Dokumen tersebut membahas tentang penulisan jumlah dan sigma (∑) untuk mengkompakkan penulisan jumlah bilangan. Dijelaskan sifat-sifat operasi penjumlahan sigma seperti distribusi dan komutasi. Kemudian diberikan contoh soal penggunaan sifat-sifat tersebut. Diberikan pula rumusan penjumlahan khusus untuk kuadrat, kubik dan kuadrat bilangan. Diakhir ada soal latihan untuk menghitung pen
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
Logaritma adalah operasi matematika terhadap bilangan pokok dan hasil perpangkatan untuk menentukan pangkatnya. Logaritma memiliki sifat-sifat seperti log a = 1, log ab = log a + log b, dan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan perpangkatan dan logaritma.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat logaritma, meliputi definisi logaritma, tabel logaritma, dan empat sifat utama logaritma yaitu sifat perkalian, sifat pembagian, sifat eksponen, dan sifat akar.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
Dokumen tersebut membahas tentang logaritma, termasuk definisi, sifat-sifat, persamaan, pertidaksamaan, dan contoh soal logaritma. Logaritma didefinisikan sebagai operasi invers dari eksponen dengan basis positif dan tidak sama dengan 1. Sifat-sifat logaritma meliputi rumus-rumus seperti logaritma perkalian dan pembagian. Persamaan dan pertidaks
Persamaan logaritma dan pertidaksamaan eksponenathifah_h
Dokumen tersebut membahas tentang pertidaksamaan eksponen, fungsi logaritma, dan persamaan logaritma. Pertidaksamaan eksponen dapat diselesaikan menggunakan sifat fungsi monoton naik dan turun pada fungsi eksponen. Persamaan logaritma memiliki beberapa sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya, seperti alogf(x)=alogp maka f(x)=p, alogf(x)=blogf(x) mak
Logaritma adalah ekspresi matematika yang mendefinisikan hubungan antara bilangan pokok dan bilangan logaritma. Logaritma dengan basis 10 biasanya ditulis tanpa menyebutkan basisnya. Logaritma memiliki sifat-sifat seperti perkalian dan pengurangan bilangan logaritma. Contoh soal logaritma meliputi penentuan nilai logaritma berdasarkan sifat-sifatnya.
Dokumen tersebut membahas tentang logaritma, termasuk pengertian logaritma, sifat-sifat logaritma, contoh soal logaritma beserta penyelesaiannya, dan cara menentukan nilai logaritma dan antilogaritma suatu bilangan.
1. Hari ini admin ingin bahas tentang logaritma nih heeeee
Ingat : operasi logaritma adalah kebalikan dari operasi perpangkatan.
contoh : 24
=16 maka 2
log 16 =4.
A. Rumus : a
log x = n
keterangan :
a = bilangan pokok , a > 0; a ≠ 1
x = numerus
n = hasil dari logaritma
( dibaca : logaritma x dengan basis a sama dengan n)
Contoh soal :
a.) 2
log 4 = 2
log 2 2
= 2 ; benar
b.) 3 log 1/81 = 3 log 3 -4
= -4
B. Sifat – sifat logaritma :
1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
a
log a = 1, a
log 1 = 0, log 10 = 1
bukti :
a
log a = 1 ; a
log a 1
= 1 karena sesuatu yang dipangkatkan dengan 1
hasilnya bilangan itu sendiri.
a
log 1 = 0 ; karena sesuatu yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya
sama dengan 1.
log 10 = 1 ; suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya
10.
2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x + a
log y = a
log xy
bukti :
misal : a
log x = n ; a
log y = m ; a
log xy = mn , maka ...
a n
+ a m
= a nm
= a
log xy ; terbukti
3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x-a
log y = a
log
bukti :
a
log x = n ⇔an
= x
a
log y = m ⇔am
= y
2. Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
=
= an-m
ap
= an-m
, maka p = n-m
sehingga, a
log x – a
log y = a
log ; terbukti.
4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
a
log xn
= n a
log x
bukti :
a
log x n
⇔ a
log x.x.x.x...
⇔a
log x + a
log x + ... + a
log x
⇔n a
log x
5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
Bukti:
a
log x = p ⇔ ap
= x
log xn
= q ⇔ = xn
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:
xn
= am.q
⇔ (ap
)n
= amq
⇔ anp
= amq
⇔ np = mq
⇔ q = p
Jadi , log xn
= a
log x
6. Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
a
log x = =
Bukti :
a
log x = n ⇔ x = an
log x = log an (sifat 4 logaritma)
⇔ n =
⇔ a
log x = (terbukti)
Jika p = x maka
a
log x =
=
3. 7. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x · x
log y = a
log y
Bukti :
a
log x = p ⇔ ap
= x
x
log y = q ⇔ xq
= y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y= xp
⇔ y=(ap
)q
⇔ y=apq
⇔ a
log y = a
log apq
⇔ a
log y = pq a
log a
⇔ a
log y = pq
⇔ a
log y = a
log x . x
log y
8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
= x
Bukti :
a
log x = n ⇔ an
= x
x = an
⇔ x =
jadi, = x
9. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
Bukti :
⇔ a
log xn
= p
xn
= ap
xn
=
jadi,
contoh soal :
1. 3 log 2 . 2 log 5 . = 3 log 3 = 1
2. 8
log 32 = = 5/3
3. Jika 2 log 3 = a dan 3 log 5 = b , maka 15 log 20
⇔3
log 20 / 3
log 15
⇔ ( 3
log 5 + 3
log 4 ) / ( 3
log 5 + 3
log 3 )
⇔ ( b + 2 1/a ) / ( b + 1 )
⇔ ( ab + 2 ) / a( b + 1 )
4. Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan
1. Fungsi Logaritma
Suatu fungsi yang berbentuk :
F(x) = a
log x
Dengan a > 0 dan a ≠ 1 disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a.
2. Persamaan Logaritma
Adalah persamaan yang numerus atau bilangan pokoknya memuat variabel x.
Contoh persamaan logaritma :
a. 3
log ( 2x -1 ) = 2
b. 5
log ( 3x + 4 ) = 7
log ( 3x + 4 )
Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma
a. Bentuk a
log f(x) = b
Syarat : Jika a
log f(x) = b , maka f(x)= a b
, dengan syarat f(x) > 0, a>0
dan a ≠ 1
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan 2
log ( x + 2 ) = 3 ?
2
log ( x + 2 ) = 3 ⇔ syarat bagi numerus : x + 2 > 0 ⇔ x > -2
⇔ x + 2 = 2 3 ⇔ x = 6.
Jadi penyelesaian dari persamaan 2
log ( x + 2 ) = 3 adalah x = 6.
b. Bentuk f(x)
log a = b
Syarat : Jika f(x)
log a = b , maka (f(x))b
= a, dengan syarat f(x) > 0, a>0
dan f(x) ≠ 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan x-2
log 9 = 2 ?
x-2
log 9 = 2 ⇔ ( x -2 )2 = 9 ⇔ x2 -4 x + 4 = 9 ⇔ x2 -4 x - 5 = 0
⇔ ( x -5 ) dan ( x + 1 ) = 0
⇔ x= 5 atau x = -1
Karena persyaratan mengharuskan x - 2 > 0 dan x- ≠ 1 maka ni ai x
5.
c. Bentuk a
log f(x) = b
log f(x)
Syarat : a ≠ b dan f(x) > 0, maka f(x) 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan 3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 ) ?
3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 )
⇔ 2 x – 3 =1
⇔ 2 x = 4
5. ⇔ x = 4
Jadi penyelesaian persamaan 3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 ) adalah x = 2.
d. Bentuk a
log f(x) = a
log g(x)
Syarat : f (x ) = g (x) dimana f (x) > 0 dan g (x) > 0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2
log x2
= 2
log ( x +
6 ) ?
⇔ F (x) = g (x)
⇔ x2 = x + 6
⇔ x2 – x -6 = 0
⇔ ( x +2 ) ( x - 3) =0
⇔ x = -2 atau x = 3
Jadi , himpunan penyelesaian nya adalah { -2 , 3 }.
e. Bentuk h(x)
log f(x) = h(x)
log g(x)
Syarat : f (x ) = g (x) dimana f (x) > 0 dan g (x) > 0 serta h (x) > 0 dan h
(x) ≠ 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan :
x-1
log ( 2x – 2 ) = x-1
log ( x + 2 ) ?
⇔ f (x) = g (x)
⇔ 2x -2 = x + 2
⇔x = 4
Jadi penyelesaiannya adalah x = 4.
contoh soal :
1. jika 9
Log 8 = n, nyatakan 4
Log 3 dalam n ?
jawab :
⇔ 9
log 8 = n
⇔ 3
= n
⇔ 3/2 = n
⇔ = [2n]/3
6. Untuk 4
log 3 = 22
log 3
⇔ ½ 2
log 3
⇔ ½ [1/[3
log 2]
⇔ ½ [3/[2n]] = 3/[4n]
2. Tentukan penyelesaian dari 2 x^2- 3x +2
+ 2x^2-3x
= 5
Jawab :
2 x^2- 3x +2
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 22
. 2 x^2- 3x
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 4. 2 x^2- 3x
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 5. 2x^2-3x
= 5
⇔ 2x^2-3x
= 1
⇔ 2x^2-3x
= 20
⇔ x2
- 3x = 0
⇔ x(x-3)=0
⇔ x1 = 0 dan x2 = 3
Jadi nilai yang memenuhi persamaan di atas adalah x = 0 atau x= 3.
3. Jika 2
log 3 = a dan 3
log 5 = b, maka 15
log 20 = ...
Jawab :
[( 3
log 20 ) / ( 3
log 15 )]
[(3
log 5+3
log 4) / ( 3
log 5 + 3
log 3)]
[( b + 2/a ) / ( b + 1 )]
Agar lebih sederhana lagi dikali dengan a/a.
Hasil = [( ab + 2)/ a ( b + 1 )]
4. Penyelesaian pertidaksamaan log ( x-4 ) + log ( x + 8 ) < log ( 2x + 16 )
adalah ..
Jawab :
X2
– 4x + 8x – 32 < 2x + 16
X2 + 2 – 48 < 0
( x + 8 ) ( x – 6 )
X1 = -8 dan x2 = 6
Hasil : -8 < x < 6