- Conjuntos - Operaciones con Conjuntos - Números Reales - Desigualdades - Valor Absoluto - Desigualdades con Valor Absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Edo.Lara
Conjuntos, Desigualdades y Valor Absoluto
Alumna: Agny Gabriela Espinoza Castañeda
C.I: 28.363.956
Sección: AD0104
PNF en Administración

2. ¿QUÉ SON LOS CONJUNTOS?
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas
relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común
denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas,
así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus
elementos, por ejemplo:
C={x ϵ R, 1 ≤ x ≤ 2}
es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos
elementos.

3. DIVERSOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para
contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números
que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números
racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos
enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el
2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o
el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la
forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales"

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
a) A= {x│𝑥2 = 4}
Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”. Los únicos
números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que
A={2, -2}
b) B={x│x -2 = 5}
Se lee “B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5”. La única solución es 7, de
modo que
B={7}
c) C={x│x es positivo, x es negativo}
Se lee “C es le conjunto de los x tales que x es positivo y x es negativo”. No hay ninguno
número que sea positivo y negativo, así que C es vacío, es decir,
C = ∅ .

5. NÚMEROS REALES
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por R) incluye
tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los
números irracionales y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una
fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como: √5, π, o el número real: log(2), cuya
trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,
algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario
para el trabajo matemático formal.

6. DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser
iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como
"estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se
enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.

7. ¿QUÉ ES EL VALOR ABSOLUTO?
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor
que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo
es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como
de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el
número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos
barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y
nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los
números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número y
0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0.
Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.

8. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
a) │x - 5│≤ 3
-3 ≤ x – 5 ≤ 3
Resolvemos la ecuación de la izquierda:
-3 ≤ x – 5
-3 + 5 ≤ x
2 ≤ x
Resolvemos la ecuación de la derecho:
x – 5 ≤ 3
X ≤ 3 + 5
X ≤ 8
X ϵ {2,8}

9. b) │3x - 7│ ≤ 5
3x – 7 ≤ 5
3x ≤ 5 + 7
3x ≤ 12
3x ≤
12
3
X ≤ 4
X ϵ {
2
3
, 4}
c) │x - 5│≥ 3
X – 5 ≥ 3 → x ≥ 8
X – 5 ≤ -3 → x ≤ 2
X ϵ { -∞,2} ᴜ {8, +∞}