Dokumen ini membahas pengertian dan rumus trigonometri, termasuk sinus, cosinus, dan tangen, serta contoh soal yang menunjukkan aplikasinya. Penjelasan mencakup rumus untuk jumlah dan selisih sudut, sudut ganda, serta hubungan antar fungsi trigonometri. Selain itu, terdapat bukti matematis untuk beberapa identitas trigonometri.

1. TrigonometriTrigonometri
Heriansyah
XI MM
SMK N 1 Muara Bungo

2. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
α
r
y
x
r
y
=αsin
r
x
=αcos
x
y
=αtan
α
α
α
cos
sin
tan =
1cossin 22
=+ αα
Berikut adalah beberapa
rumus-rumus
perbandingan geometri
yang akan sangat
berguna dalam
mempelajari materi ini :

3. A. Rumus Trigonometri Untuk Jumlah dan
Selisih Dua Sudut
Dengan mempelajari rumus trigonometri untuk
jumlah dan selisih dua sudut,kita dapat menentukan
fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang
merupakan jumlah atau selisih dua sudut istimewa.
Namun sebelum kita membahas mengenai rumus-
rumus tersebut, sebaiknya kita pahami terlebih
dahulu pengertian jumlah dua sudut dan selisih dua
sudut.

4. Perhatikan gambar dibawah ini !!
A
B
C
O
a
b
a+b
Misalkan dan
,
Maka disebut jumlah
dua sudut (a dan b).
aAOB =∠ bBOC =∠
baAOC +=∠
a
a-b
b
P
Q
R
O
Pada gambar di samping,jika
dan
Maka disebut selisih dua
sudut
(a dan b)
aPOR =∠
bQOR =∠
baPOQ −=∠

5. Rumus-rumus untuk cos(a+b) dan cos(a-b)
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
tanda berlawanan
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin
b
tanda berlawanan

6. Contoh soal :
1) Jabarkanlah cos (4x+3y)!
Answer:
cos (4x+3y) = cos 4x cos 3y – sin 4x sin 3y
2) Buktikan bahwa cos (90°- a) = sin a!
Answer :
cos (90°-a) = cos 90° cos a + sin 90° sin a
= 0 . cos a + 1 . sin a
= 0 + sin a
cos (90°-a) = sin a (proven)

7. Diketahui dan . Jika sudut A dan B
lancip,tentukan nilai cos (A-B)!
5
4
cos =A
5
3
cos =B
A B
4
5
? =
3
5
3
? =
4
5
4
sin
5
3
sin
=
=
B
A
BaBABA sinsincoscos)cos( +=−
Answer:
5
4
.
5
3
5
3
.
5
4
+=
25
24
=

8. Buktikan bahwa : !!ba
ba
ba
tantan1
coscos
)cos(
−=
+
ba
baba
ba
ba
coscos
sinsincoscos
coscos
)cos( −
=
+
ba
ba
ba
ba
coscos
sinsin
coscos
coscos
−=
ba
b
b
a
a
tantan1
cos
sin
.
cos
sin
1
−=
−=
(proven)

9. Rumus-rumus untuk sin (a+b) dan sin (a-b)
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
bertanda sama
sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b
bertanda sama

10. Contoh soal :
1) Jabarkanlah sin (4x-3y)!
Answer:
sin(4x-3y) = sin 4x cos 3y – cos 4x sin 3y
2) Buktikan bahwa sin (180°-a) = sin a
Answer :
sin (180°-a) = sin 180° cos a – cos 180° sin a
= 0 . cos a – (-1) sin a
= 0 + sin a
sin (180°-a) = sin a (proven)

11. Diketahui dan . Sudut-sudut A dan B lancip.
Buktikan bahwa !
5
4
sin =A
13
5
sin =B
A B
? =
3
5
4
13
? =
12
5
13
12
cos
5
3
cos
=
=
B
A
babaBA sincoscossin)sin( −=−
Answer:
13
5
.
5
3
13
12
.
5
4
+=
65
33
)sin( =− BA
65
33
)sin( =− BA

12. Rumus-rumus untuk tan (a+b) dan tan (a-b)
bertanda sama
bertanda sama
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
−
+
=+
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
+
−
=−
bertanda beda
bertanda beda

13. Contoh soal :
1) Jabarkanlah tan (4x-3y)!
Answer:
2) Buktikan bahwa
Answer :
yx
yx
yx
3tan4tan1
3tan4tan
)34tan(
+
−
=−
A
A
A
tan1
tan1
)45tan(
−
+
=+
A
A
A
tan45tan1
tan45tan
)45tan( 


−
+
=+
A
A
tan.11
tan1
−
+
=
A
A
tan1
tan1
−
+
=

14. Diketahui dan . Sudut-sudut A dan B lancip.
Buktikan bahwa !
5
3
sin =A
13
12
cos =B
A B
? = 4
5
3
13
12
? =
5 4
3
tan
5
4
cos
=
=
A
A
BA
BA
BA
tantan1
tantan
)tan(
+
−
=−Answer:
)(
63
16
63
48
.
48
16
48
15
48
48
48
20
48
36
12
5
.
4
3
1
12
5
4
3
proven==
+
−
=
+
−
=
63
16
)tan( =− BA
12
5
tan
13
5
sin
=
=
B
B

15. B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda
A
B
C
O
a
b
D
c
Sebelum membahas rumus trigonometri
sudut ganda, sebaiknya kita pahami
dahulu pengertian sudut ganda
Pada gambar disamping
diketahui
dan .
,,, cCODbBOCaAOB =∠=∠=∠
cba ==
Maka
dan disebut sudut ganda,
yaitu jumlah beberapa sudut yang besarnya sama.
aaaacbaAOD
aaabaAOC
3
2
=++=++=∠
=+=+=∠
aAOC 2=∠ aAOD 3=∠

16. Rumus-rumusnya adalah :
aaa cossin22sin =
aaaaa 2222
sin211cos2sincos2cos −=−=−=
a
a
a 2
tan1
tan2
2tan
−
=

17. Contoh soal :
1) Nyatakan dalam sudut !
Answer:
2) Jika , maka tentukan nilai !!
Answer :
x6sin x3
xxxx 3cos3sin2)3.(2sin6sin ==
5
3
sin =A A2cos
AA 2
sin212cos −=
25
7
25
18
25
25
25
9
.21
=
−=
−=

18. Sederhanakanlah!
a)
Answer :
13cos2 2
−x
xxx 6cos))3.(2cos(13cos2 2
==−
b)
Answer :
x
x
2tan1
2tan2
2
−
xx
x
x
4tan))2.(2tan(
2tan1
2tan2
2
==
−

19. Buktikan bahwa : aaa cos3cos43cos 3
−=
Answer :
)2cos(3cos aaa +=
aa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaaa
aaaa
cos3cos4
cos2cos2coscos2
)cos1(cos2coscos2
sin.cos2coscos2
sin)cossin2(cos)1cos2(
sin2sincos2cos
3
33
23
23
2
−=
+−−=
−−−=
−−=
−−=
−=
(proven)

20. Dalam menentukan nilai perbandingan trigonometri
untuk sudut pertengahan, kita dapat menggunakan
rumus berikut :
2
2cos1
cos
a
a
+
±=
2
2cos1
sin
a
a
−
±=
a
a
a
2cos1
2cos1
tan
+
−
±=

21. Contoh soal
Hitunglah nilai !!

2
1
22sin
2
2cos1
sin
a
a
−
±=
Answer :

2
1
22sin tidak
negatif,maka :
2
45cos1
2
1
22sin

−
=
22
2
1
2
22
2
2
2
1
1
−=
−
=
−
=

22. C. Rumus Perkalian
)cos()cos(coscos2 bababa −++=
)cos()cos(sinsin2 bababa −−+=−
)cos()cos(sinsin2 bababa +−−=
Sejeni
s atau
)sin()sin(cossin2 bababa −++=
)sin()sin(sincos2 bababa −−+=
Tidak sejenis

23. Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini ke bentuk
jumlah atau selisih kosinus!
a)
Answer :
b)
Answer :
)sin()sin(2 yxyx −+
)]()cos[()]()cos[()sin()sin(2 yxyxyxyxyxyx −++−−−+=−+
xy 2cos2cos −=

25sin65sin
]25sin.65sin2[
2
1
25sin65sin 
=



40cos
2
1
)040(cos
2
1
)90cos40(cos
2
1
])2565cos()2565[cos(
2
1
=−=
−=
+−−=

24. Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini ke bentuk
jumlah atau selisih sinus!
a)
Answer :
b)
Answer :

30cos50sin2
)3050sin()3050sin(30cos50sin2 
−++=

20sin80sin +=
)sin()cos(2 QPQP −+
)]()sin[()]()sin[()sin()cos(2 QPQPQPQPQPQP −−+−−++=−+
QP 2sin2sin −=

25. Tanpa menggunakan tabel,hitunglah nilai dari :

20cos40cos80cos
Answer : 
20cos).40cos.80cos2(
2
1
20cos.40cos.80cos =
8
1
20cos
4
1
8
1
20cos
4
1
)20cos
2
1
(
4
1
20cos
4
1
)20cos60(cos
2
1
2
1
20cos
4
1
20cos40cos
2
1
20cos
4
1
20cos)40cos
2
1
(
2
1
20cos)40cos120(cos
2
1
=++−=
++−=
+×+−=
+−=
+−=
+=







26. D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan
)(
2
1
cos)(
2
1
cos2coscos yxyxyx −+=+
)(
2
1
sin)(
2
1
sin2coscos yxyxyx −+−=−
)(
2
1
cos)(
2
1
sin2sinsin yxyxyx −+=+
)(
2
1
sin)(
2
1
cos2sinsin yxyxyx −+=−

27. Nyatakan dalam bentuk perkalian!
a)
Answer :
b)
Answer :
AA 7cos9cos −
)79(
2
1
sin)79(
2
1
sin27cos9cos AAAAAA −+−=−
AAsin8sin2−=
)2sin()2sin( βαβα −−+
βα sin2cos2=
)]2()2[(
2
1
sin)]2()2[(
2
1
cos2)2sin()2sin( βαβαβαβαβαβα −−+−++=−−+

28. Buktikan bahwa : θ
θθ
θθ
3tan
cos4cos
2sin4sin
=
+
+
Answer :
θ
θ
θ
θθ
θθ
3tan
3cos
3sin
cos3cos2
cos3sin2
=
=
=
)24(cos)24(cos2
)24(cos)24(sin2
cos4cos
2sin4sin
2
1
2
1
2
1
2
1
θθθθ
θθθθ
θθ
θθ
−+
−+
=
+
+
(proven)

29. Jika , maka buktikan bahwa :

180=++ CBA
CBACBA sinsinsin4sin2sin2sin2 =++
CBA sin2sin2sin2 ++
Answer :
))(180cos(sin2)cos()180sin(2 BACBAC +−+−−= 
CCBABA cossin2)cos()sin(2 +−+=
))cos((sin2)cos(sin2 BACBAC +−+−=
CBA
BAC
BABAC
sinsinsin4
)]sin(sin2[sin2
)]cos()[cos(sin2
=
−−=
+−−=
(proven)

30. Selesai 