Power Point ini dibuat oleh siswa-siswi dari SMAN 1 Probolinggo. Mohon masukkan dan sarannya. Terima kasih.

1. POLINOMIAL
(Suku Banyak)

2. Proyek Matematika
POLINOMIALOleh :
Arjuna Adhe Wijaya (05), Bagus Aji Pangestu (06), Dhea Rohmawati (08), Shafira Hany Maris (29)
- X MIA B-
PEMERINTAH KOTA PROBOLINGGO
DINAS PENDIDIKAN
SMA NEGERI 1 PROBOLINGGO
Jl. Soekarno Hatta 137 Probolinggo Telp./ Fax. (0335) 421566
Website: http://sman1-prob.sch.id e-mail: sman1.prob@yahoo.co.id

3. BAB I
Pendahuluan

4. BAB I
PENDAHULUAN
Suku banyak merupakan suatu konsep pengerjaan dalam proses
hitung berbentuk (anxn + an-1xn-1 +an-2xn-2 + … + xo ). Dalam kehidupan
sehari-hari penghitungan dalam suku banyak tidak terlalu digunakan karena
prosesnya terlalu banyak dan rumit. Dalam penerapannya, suku banyak
biasanya digunakan untuk membuat suatu alat transportasi atau yang lainnya.
Misal pada alat transportasi, suku banyak digunakan untuk menentukan
perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal
ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang
diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan
ukuran alat tersebut. Jika unsur-unsur tersebut diketahui maka pengerjaan
suatu alat transportasi tersebut bisa dipermudah selain itu tidak perlu ada
perasaan was-was dalam pembentukan maupun pengerjaannya. Sehingga
benda tersebut akan cepat selesai dengan hasil yang memuaskan.

5. BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bidang lain suku banyak digunakan untuk menghitung suatu
tumpukan-tumpukan barang yang berbentuk sama dengan jumlah isi yang
berbeda. Dengan demikian pengguna bisa mengetahui berapa banyak barang
yang ada dalam beberapa tumpukan yang berbeda tempatnya dan jumlahnya.
Misalnya ada suatu box kecil yang hanya bisa diisi dengan 20 butir
telur. Lalu ada box sedang yang isinya 2 kalinya isi dari box kecil. Dan juga ada
box besar yang bisa diisi dengan 4 kalinya box kecil. Jika box kecil ada 3
tumpukan, box sedang ada 1 tumpukan, dan box besar ada 2 tumpukan maka
rumusnya yaitu :
f(x) = x3 + x32 + x2
f(x) = x3 + 4x2 + 2x
f(20) = 203 + 4.202 + 2.20
f(20) = 80000 + 1600 + 40
f(20) = 81640
Jadi jumlah keseluruhan jumlah telur
yang ada dari tumpukan-tumpukan
tersebut berjumlah 81640 butir telur.

6. BAB II
Kajian Teori

7. BAB II
KAJIAN TEORI
2.1 Pengertian Suku Banyak
Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis
sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan
perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah
polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk
seperti berikut:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0
dengan :
an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0 adalah bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0.
an adalah dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2,
…. , demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta). n adalah
bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat
dari polinomial tersebut.

8. BAB II
KAJIAN TEORI
2.1.1 Operasi Antar Suku Banyak
2.1.1.1 Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak f(x) dengan
sukubanyak g(x) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan suku-suku yangn sejenis dari kedua suku banyak itu.
Untuk mempermudah perhitungan, biasakanlah menyusun tiap suku
banyak dalam eksponen atau pangkat turun.
Contoh : f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1
Tentukan : f (x) + g(x)
Jawab : = f (x) + g(x)
= (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
= 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1)
= 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2

9. BAB II
KAJIAN TEORI
2.1.1.2 Perkalian Suku Banyak
Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat
ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua
sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah
sukubanyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif
perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian
terhadap pengurangan. Maka berlaku sifat :
am x an = amn

10. BAB II
KAJIAN TEORI
2.1.2 Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak
g(x), jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk
variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) itu di
tulis sebagai
f(x) = g(x)
CONTOH : Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) +
3a.
JAWAB : Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + 2 + 3a
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + (2 + 3a)
Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :
14 = 2 +3a
a = 4

11. BAB II
KAJIAN TEORI
2.2 Nilai Suku Banyak
2.2.1 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Subtitusi
Misalkan kita mempunyai sebuah fungsi f(x) = 2x2+3x-4. Untuk
menentukan nilai f untuk x = 3, kita bisa menyubtitusikan x = 3 ke dalam
fungsi di atas. Maka diperoleh :
f(x) = 2x2+3x-4
f(x) = 2(3)2+3(3) – 4
f(x) = 2(9)+9 – 4
f(x) = 2
Jadi, nilai f(x) = 2x2+3x-4 untuk x=3 adalah 23.

12. BAB II
KAJIAN TEORI
2.2 Nilai Suku Banyak
2.2.2 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik
Dalam menentukan nilai suku banyak dengan sintetik, harus
diurutkan suku banyak tersebut dalam pangkat turun.
Misalkan : f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a 0
Kita ubah f(x) menjadi f(x) = (a3x2 + a2x + a1)x +a 0
=((a3x + a2)x + a1)x +a 0
Bentuk f(x)=((a3x + a2)x + a1)x +a 0 disebut bentuk bagan. Nilai suku
banyak untuk x = k adalah f(x)=((a3x + a2)x + a1)x +a 0
Jika persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk skema atau sintetik,
tampak seperti berikut.

13. BAB II
KAJIAN TEORI
2.2 Nilai Suku Banyak
2.2.2 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik

14. BAB II
KAJIAN TEORI
2.3 Konsep Pembagian
Hubungan antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil bagi, dan Sisa
Pembagian. Sebagai ilustrasi, misalnya bilangan 4.369 dibagi dengan 14
dapat diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti di perlihatkan
pada bagan di bawah. Dari bagan ini terlihat bahwa 4.369 dibagi dengan 14
memberikan hasil bagi 312 dengan sisa pembgian 1.
4.369 = 14 x 312 + 1
↑ ↑ ↑ ↑
Yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa
pembagian
f(x) = p(x) x H(x) + sisa

15. BAB II
KAJIAN TEORI
2.3 Konsep Pembagian
2.3.1 Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk Linear
Cara yang akan digunakan untuk membagi suku banyak dengan
pembagi berbentuk linear di kenal sebagai Metode Horner. Ada 2
macam pembagi berbentuk linear yang akan dibicarakan disini, yaitu
pembagi berbentuk (x – k) dan (ax + b).
2.3.1.1 Pembagian Suku banyak dengan (x – k)
Persamaan yang menghubungkan suku banyak yang dibagi f(x)
dengan suku banyak pembagi (x – k), suku banyak hasil bagi H(x),
dan sisa pembagian S adalah
f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S

16. BAB II
KAJIAN TEORI
2.3.1.1 Pembagian Suku banyak dengan (x – k)
Menentukan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S pada
pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) dengan menggunakan
bantuan bagan atau skema dikenal sebagai metode pembagian
sintetik atau metode horner.
2.3.1.2 Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh k = - ,
sehingga bentuk x – k menjadi x – (- ) = x + . Jika suku banyak f(x)
dibagi dengan x + memberikan hasilnya H(x) dan sisa pembagian S,
maka diperoleh hubungan.
f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S

17. BAB II
KAJIAN TEORI
2.3.1.2 Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Berdasarkan persamaan tersebut terlihat bahwa hasil bagi H(x)
dan sisa S dapat ditentukan dengan metode pembagian sintetik atau
metode horner, hanya saja nilai k harus diganti dengan.
f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S
f(x) = (ax + b) ∙ H(x) + S
f(x) = (ax + b) ∙ + S
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa suku banyak f(x) dibagi
dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S.
Koefisien-koefisien dari H(x) dan sisa S dapat ditentukan dengan
metode pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k
harus diganti dengan k = .

18. BAB II
KAJIAN TEORI
2.3.2 Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat
Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c (a ≠ 0 dan
bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan atau yang tidak dapat
difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak itu
dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek yang
pernah dipelajar sebelumnya.

19. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4 Teorema Sisa
Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x)
dengan sisa pembagian S(x). Persamaan yang menyatakan hubungan
antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah:
f(x) = P(x) ∙ H(x) + S(x)
dengan keterangan :
 f(x) sebagai suku banyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.
 P(x) sebagai suku banyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan
m≤ n.
 H(x) sebagai suku banyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat suku
banyak yang di bagi dikurangi dengan derajat suku banyak pembagi.
 S(x) sebagai suku banyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi atau
maksimum (m – 1) yaitu berderajat maksimum satu kurangnya dari
derajat suku bayak pembagi.

20. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4 Teorema Sisa
2.4.1 Pembagi Berbentuk (x – k)
Jika suku banyak pembagi P(x) = (x – k), maka persamaan
sebelumnya dapat ditulis menjadi
f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S
Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real x. Karena suku
banyak pembagi P(x) = (x – k) berderajat satu, maka sisa pembagian S
maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x.
Sisa pembagian S di tentukan dengan menggunakan teorema berikut.

21. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4.1 Pembagi Berbentuk (x – k)
 Teorema 1
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka
sisanya ditentukan oleh :
S = f(k)
Teorema tersebut dikenal sebagai teorema sisa atau Dalil sisa
 Bukti Teorema 1
Perhatikan kembali persamaan, f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S. Karena
persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan
menyulihkan atau substitusi x = k ke dalam persamaan itu, diperoleh
:
f(k) = (k – k) ∙ H(k) + S = 0 ∙ H(k) + S = 0 + S
S = f(k)
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f(k).

22. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4.2 Pembagi Berbentuk (ax + b)
Dalam pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa
pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan
sisa pembagian S. Pernyataan ini dituliskan dalam persamaan berikut.
f(x) = (ax + b) ∙ + S
Persamaan diatas berlaku untuk semua bilangan real x.

23. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4.2 Pembagi Berbentuk (ax + b)
 Teorema 2
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka
sisanya ditentukan oleh
S = f(- )
 Bukti Teorema 2
Perhatikan kembali persamaan : f(x) = (ax + b) ∙ + S. Persamaan
ini berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan substitusi nilai
x = ke persamaan di atas dan akan diperoleh:
↔f( - ) = {a (- ) + b} ∙ { } + S = {- b + b} ∙ { } + S
↔ f( - ) = 0 ∙ { } + S = 0 + S
↔ S = f( - )
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f( - ).

24. BAB II
KAJIAN TEORI
2.4.3 Pembagi Berbentuk (x – a)(x – b)
Menurut alogaritma pembagian suku banyak dengan pembagi (x –
a)(x – b) maka f(x) dapat dituliskan sebagai berikut.
f(x) = (x – a)(x – b) .H(x) + S(x)
dengan S(x) = px + q, p dan q merupakan koefisien sisa pembagi.

25. BAB II
KAJIAN TEORI
2.5 Teorema Faktor
Teorema Faktor di sini merupakan teorema 4 yang dibahas dalam
Laporan Matematika Polinomial tersebut.
 Teorema 4
Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari
f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.
Teorema tersebut dikenal sebagai teorema faktor. Dalam teorema
faktor memuat kata hubung jika dan hanya jika. Sehingga sebuah
teorema faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.
 Jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan
 Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x).

26. BAB II
KAJIAN TEORI
2.5 Teorema Faktor
 Bukti Teorema 4
Misalkan (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan
sebagai f(x) = (x – k) ∙ H(x) dengan H(x) adalah suku banyak hasil bagi
dengan bentuk tertentu.
Substitusi nilai x = ke dalam persamaan f(x) = (x – k) ∙ H(x), sehingga
diperoleh:
↔ f(k) = (k – k) ∙ H(k)
↔ f(k) = 0 ∙ H(k)
↔ f(k) = 0
Jadi, jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.

27. BAB II
KAJIAN TEORI
2.6 Akar – Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
Misalkan f(x) adalah suku banyak, (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika
dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) = 0 jika dan hanya jika k adalah akar
persamaan f(x) = 0. Dengan menggunakan kaidah silogisme pada dua
pernyataan tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak. (x – k ) adalah faktor dari f(x)
jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. k disebut akar atau nilai nol
dari persamaan suku banyak f(x) = 0.

28. BAB II
KAJIAN TEORI
2.6 Akar – Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
 Misalnya :
Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x3 – 7x – 6
= 0 adalah 3. Kemudian tentukan akar- akar yang lain.
 Jawab :
Misalkan f(x) = x3 – 7x – 6. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar
dari f(x) = 0, cukup dperlihatkan bahwa f(3) = 0. Karena f(3) = 0, maka 3
adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x – 6 = 0.

29. BAB II
KAJIAN TEORI
2.6 Akar – Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
 Untuk menentukan akar-akar yang lain, dicari terlebih dahulu hasil
bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x – 3. Hasil bagi itu ditentukan dengan
metode pembagian sintetik sebagai berikut
Hasil baginya adalah H(x) =
x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).
Jadi, akar-akar yang lainnya
adalah x = -1 dan x = -2.

30. BAB II
KAJIAN TEORI
2.7 Sifat Akar – Akar Suku Banyak
2.7.1 Pada Persamaan Berderajat 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan
sifat :
Jumlah 1 akar : x1 + x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar : x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar : x1.x2.x3 = – d/a
2.7.2 Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat :
Jumlah 1 akar : x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
Jumlah 2 akar : x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
Jumlah 3 akar : x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
Hasil kali 4 akar : x1.x2.x3.x4 = e/a

31. BAB III
Pembahasan

32. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
1. Polinom 2x4 – 7x3 + 8x – 12 dapat
dinyatakan sebagai?

33. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
1. Polinom dituliskan secara lengkap dengan
menambahkan variable x berpangkat
berurutan tertentu yang memiliki koefisien 0,
sehingga tidak berpengaruh pada hasil akhir
suku banyak. polinom memiliki variable
berpangkat yang terurut, dari yang paling
tinggi ke yang paling rendah. Polinom 2x4 – 7x3
+ 8x – 12 tidak memiliki variable x2, sehingga
eksponen tidak terurut. Oleh karena itu,
tambahkan 0x2 setelah 7x3 untuk
mengurutkan eksponen, sehingga menjadi x4
– 0x2 7x3 + 8x – 12.

34. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
2. Carilah sisa pembagian dari (4x3 + 2x2 – 4x +
6) : (x – 3) tanpa melakukan pembagian
terlebih dahulu!

35. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
2. Suku banyak P(x) = (4x3 + 2x2 – 4x + 6) dibagi
dengan (x – 3) sisanya adalah S = P = P (3).
Jadi, dengan mensubtitusikan x = 3 ke dalam
fungsi P(x), diperoleh, P(3) = (4(3)3 + 2(3)2 –
4(3) + 6) = 120. Dengan demikian, sisa
pembagiannya adalah 120.

36. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
3. Suku banyak f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – px +10,
untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Tentukan nilai p!

37. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
3.
f(2) = 38
f(2) = 42 – 2p
38 = 42 – 2p
2p = 4
p = 2, sehingga nilai p adalah 2.

38. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
4. Jika merupakan akar-akar persamaan 2x3
+ x2 – 13x + a = 0, tentukan nilai a!

39. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
4.
Jadi, nilai a adalah 6.

40. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
5. Tentukanlah nilai p agar pembagian (6x2 +
7x – 5) : (px – 1) menghasilkan sisa pembagian
yang bernilai 0!

41. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya
5. Suku banyak P(x) = (6x2 + 7x – 5) dibagi
dengan (px – 1), sisanya adalah s = p .
Jadi, dengan mensubtitusikan x = ke dalam
fungsi P(x), diperoleh : click it!

42. Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya

44. Terima
KasihOleh :
Arjuna Adhe Wijaya (05), Bagus Aji Pangestu (06),
Dhea Rohmawati (08), Shafira Hany Maris (29)
- X MIA B-

45. DAFTAR PUSTAKA
⊸http://id.wikipedia.org/wiki/Polinomial diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.00
⊸Wahyudi Soegeng dalam
http://educationshare4.blogspot.com/2013/06/polinomial-suku-banyak_4.html
diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.10
⊸Alam Akbar dalam
http://akbarpelatnas11.blogspot.com/ diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul
19.25
⊸Utama Ardian Sandra dalam
http://ardiangood.blogspot.com/2011/01/penerapan-suku-banyak-polinom-
dalam.html diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.45
⊸Faris Irfan dalam
http://4soalmatematika.blogspot.com/2013/06/soal-suku-banyak-dengan-
pembahasan.html diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 20.11