Metoda bisecției este o tehnică de determinare a soluției pentru ecuația f(x) = 0 pe un interval [a, b] unde funcția f este continuă și f(a)f(b) < 0. Procesul implică calcularea punctului mediu c al segmentului, iar dacă f(c) nu este zero, segmentul este redus la unul care conține soluția. Deși această metodă are o viteză de convergență mai redusă, oferă o soluție stabilă și acceptabilă în practică, dar nu poate fi folosită pentru rădăcini de multiplicitate pară.

1. Efectuat de : Bejan Mihai
cl.XII-a A

2. Una dintre cele mai simple metode de determinare a
unei soluţii a ecuaţiei f(x) = 0 este metoda bisecţiei.
Fie data funcţia f(x), continuă pe segmentul [a, b] şi
f(a)f(b)< 0.
Se cere să se determine o soluţie a ecuaţiei f(x) =0 pe
segmentul [a, b]. Proprietăţile funcţiei asigură existenta
cel puţin a unei soluţii pe segmentul [a, b].
Metoda presupune determinarea punctului de mijloc
c a segmentului [a, b] apoi calculul valorii f(c).

3. Daca f(c) = 0, atunci c este soluţia exactă a ecuaţiei. În caz contrar
soluţia este căutată în continuare pe acel dintre segmentele [a, c] sau [c,
b], pentru care semnul funcţiei în extremităţi este diferit.
Daca f(a)f(c)>0, atunci soluţia e căutată în continuare pe segmentul
[ai, bi] , unde a1= c, b1= b. În caz contrar extremităţile noului segment
vor fi a1= a, b1= c.
În urma iteraţiilor succesive se
obţine consecutivitatea segmentelor
[a0,b0], [a1,b1],..., [ai,bi],...
Pentru fiecare din ele are loc relaţia
f(ai)f(bi) < 0, i=0,1, 2,....

4. Algoritmul de calcul pentru un număr
prestabilit n de aproximări succesive:
Pas 0: Iniţializarea: i =0(din poze condiţia)
Pas 1: Determinarea mijlocului segmentului a+b/2;
Pas 2: Reducerea segmentului ce conţine soluţia:
daca f(c) = 0 atunci soluţia calculată este x = c.
SFARŞIT.
În caz contrar daca f(a)f(c)>0, atunci a=c; b=b,
altfel a=a; b = c.
Pas 3: i=i+1; Daca i = n atunci soluţia calculata este
x=a+b/2. SFARŞIT. în caz contrar se revine la
Pasul 1.

5. program bisectie;
var a,b,c:real;i,n,j:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:=x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1;
end;
begin
a:=0;b:=1; n:=16;
i:=1; c:=a;
while (i<=n) and (f(c)<>0) do
begin
c:=(a+b)/2;
writeln('i=',i:3,' x=', c:10:8, ' f(x)=', f(c):10:8);
if f(c)=0 then Writeln('solutia exacta')
else if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;
inc(i);
end;
readln
end.

6. Deoarece x e un punct al segmentului [ai,
bi] rezultă că diferenţa dintre soluţia
exactă şi cea calculată nu este mai mare
decât lungimea segmentului [ai, bi].
Localizarea soluţiei pe un segment cu
lungimea ε asigură o eroare ce nu
depăşeşte lungimea ε a segmentului.
i i i x - a < e = b - a

7. Algoritmul de calcul pentru
o precizie ε data.
Pas 1:Determinarea mijlocului segmentului
(a+b)/2;
Pas 2:Daca f(c) = 0 atunci soluţia calculată este
x=c. SFARŞIT.
În caz contrar daca f(a)f(c) > 0, atunci a= c; b=
b,
altfel a = a; b= c.
Pas 3 :Daca lungimea intervaluluib |b-a|< ε,
atunci solutia este x=(a+b)/2.
SFARŞIT, în caz contrar se revine la Pas 1.

8. program bisectie;
var a,b,c,e:real;i,n,j:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:=x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1;
end;
begin
a:=0;b:=1;
i:=0;c:=a;e:=0.001;
while (abs(b-a)>e) and (f(c)<>0) do
begin
c:=(a+b)/2;
writeln('i=',i:3,' x=', c:10:8, ' f(x)=', f(c):10:8);
if f(c)=0 then Writeln('solutia exacta')
else if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;
inc(i);
end;
readln
end.

9. Metoda bisecţiei este destul de clară sub aspect
algoritmic şi sigură în aplicare:în cazul rădăcinilor
simple ea generează şiruri convergente pentru orice
funcţii continue, posedînd stabilitate la erori de
rotunjire.
Deşi viteza de convergenţă la aplicarea
metodei este redusă(la execuţia unui pas precizia
doar se dublează), în multe cazuri această metodă
are o complexitate temporală acceptabilă în contex
practic. Metoda dată nu poate fi aplicată în cazul
rădăcinilor de multiplicitate pară.