1. BAB 2
2.1.1 VARIABEL, KONSTANTA, dan PARAMETER
 KONSTANTA
Konstanta adalah suatu bilangan yang tetap tidak berubah-ubah. notasi atau
tanda dari konstanta dinyatakan dengan a, b, c, dan seterusnya. Jika terdapat fungsi :
Y=a x + b atau y = a x2 + b x + c
Maka a, b, dan c inilah yang disebut konstanta.
Contoh :
Y= 2x +5
Maka, konstanta a= 2 dan b= 5
Besarnya a = 2 dan b = 5 tidak dipengaruhi oleh perubahan x dan y.
 VARIABEL
Sebenarnya suatu fungsi berintikan variabel. Yang dimaksud dengan variabel adalah
suatu besaran yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-rubah yang saling memengaruhi. Notasi
atau tanda dari variabel.biasanya dinyatakan dengan x,y,z, dan seterusnya. Apabila terdapat
pungsi :
Y=3x+7 atau z=2x + 3xy-5
Maka, x,y,dan z inilah yang disebut variabel. Variabel x,y,dan z ini saling memengaruhi.
Pada dasarnya Variabel dapat dibedakan menjadi dua, yaitu Variabel kualitatif dan
kuantitatif adalah sesuatu yang sifatnya tidak tetap,tetapi berubah-ubah (atau variabel) yang
tidak dapat diukur, seperti cita rasa, kesenangan, kepuasan, dan lainya, sementara itu, variabel
kuantitatif adalah suatu yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-ubah (atau variabel) yang dapat
diukur, seperti dalam kilogram,ton,pasangan,unit,rupiah,hari,jam dan sebagainya. Misalnya
jumlah hasil ternak sapi yang dijual suatu perusahaan peternak adalah variabel kuantitatif dalam
ekor. Sementara itu, banyaknya bahan makanan ternak tersebut adalah kuantitaf variabel
kuantitatif dalam kilogram.
Variabel kuantitatif dapat dibedakan pula atas dua macam yaitu variabel yang kontinu
dan variabel yang deskrit. Variabel kuantitatif kontinu adalah variabel yang dapat diukur

2. sampaidengan bilangan yang sekecil-kecilnya atau pecahan, seperti ukuran satuan volume,
satuan berat, satua panjang,satuan waktu, satuan uang, dan sebagainya. Sementara itu variabel
diskrit adalah variabel kuantitatif yang hanya dapat diukur dengan bilangan-bilangan buat dan
tidak mungkin dengan bilangan pecahan, seperti ternak sapi atau kambing, demikian pula dengan
orang, kapal, sepatu (dalam pasang), kotak, dan sebagainya.
 PARAMETER
Parameter adalah variabel eksogen, karena keduanya diperlakukan sebagai
“tertentu” dalam model. Secara umum, konstanta parametrik biasanya dinyatakan dengan
dengan simbol a, b, c, atau dalam abjad yunani. Tetapi simbo lainnya juga diperbolehkan, untuk
membedakan variabel eksogen dengan dengan variabel endogen digunakan subcript 0. Sebagai
contoh, jika harga dengan simbol p, maka p0 menyatakan harga yang ditentukan secara eksogen.
2.1.2 SISTEM BILANGAN NYATA
Variable-variabel dan persamaan-persamaan merupakan bahan yang penting untuk
model matematika tetapi, karena nilai-nilai variable yang akan digunakan umum nya merupakan
angka2, perlu kita bahas sedikat mengenai system bilangan. Disini kita hanya akan berhubungan
dengan “bilangan nyata.”
Selururuh bilangan seperti 1,2,3. . . . disebut bilangan bulat positf, ini adalah bilangan
yang paling sering digunakan dalam menghitung. Lawannya bilangan negative -1, -2, -3. . . .
disebut bilangan bulat negative, ini dapat digunakan misalnya untuk menunjukan temperature di
bawah nol (dalam derajat). Kita gabungkan seluruh bilangan bulat positif ,negative,dan nol ke
dalam satu golongan, yaitu himpunan seluruh bilangan bulat.
Himpunan seluruh bilangan bulat dan himpunan seluruh bilangan pecahan secara
bersama-sama membentuk himpunan seluruh bilangan rasional, cirri lain dari bilangan rasional
adalah bahwa bilangan decimal yang berakhir
Sekali konsep bilangan rasional digunakan, jelas akan timbul konsep bilangan rasional
bilangan-bilangan yang tidak dapat ditunjukan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Satu

3. BILANGAN BILANGAN
BULAT IRASIONAL
BILANGAN BILANGAN NYATA
RASIONAL
BILANGAN
NYATA
Contoh adalah bilangan
Berulang dan tidak berakher. Lainnya adalah konstanta istimewa yang bilangan decimal tidak
berulang dan tidak berakhir, sebagai cirri dari seluruh bilangan irasional
Seperti halnya angka pecahan mengisi kekosongan diantara bilangan-bilangan bulat pada
penggaris, bilangan –bilangan irasional mengisi kekosongan di antra bilangan-bilangan rasional,
sehingga setiap bilangan irasional diletakan pada penggaris, akan terletak di antara dua bilangan
rasional. Hasil dari proses pengisian ini adalah suatu rangkaian kesatuan ini merupakan
himpunan seluruh bilangan nyata yang biasanya ditunjukan dengan tanda R, bila himpunan R.
diganbarkan pada satu garis lurus kita sebut garis ini sebagai garis nyata.
2.1.3 HUBUNGAN DAN FUNGSI
Pembahasan kita mengenai himpunan didorong oleh penggunaan istilah dalam
hubungannya dengan berbagai jenis bilangan dalam system bilangan. Walaupun demikian,
himpunan dapat dialihkan ke objek selain bilangan.
Pasangan orde
dalam penulisan suatu himpunan { a, b }, kita tidak perlu menghiraukan orde elemen
a dan b, karena menurut definisi { a, b } = { b, a}. pasangan elemen a dan b dalam hal ini

4. merupakan “ pasangan tidak orde “. Akan tetapi, jika orde a dan b mempunyai arti, maka kita
bisa menulis dalam dua cara pasangan orde yang berbeda, yakni ( a, b ) dan ( b, a), yang berarti (
a, b) ≠ ( b, a ) kecuali a=b. konsep yang sama digunakan untuk himpunan dengan lebih dari dua
elemen yang kasusnya dapat dibedakan dari tiga lemen orde dan tidak orde, juga untuk empat
elemen, tujuan elemen, dan seterusnya. Pasangan orde, lipat tiga dan seterusnya yang berurutan
secara keseluruhan disebut himpunan orde. Pasangan tersebut mendekati dalam tanda kurung
daripada menguatkan.
Seperti objek lainnya, pasangan orde dapat merupakan elemen-elemen dari suatu
himpunan. Perhatikan bidang koordinat ( cartesius ) pada gambar 2.4, dimana sumbu x dan y
saling berpotongan dengan sudut siku-siku yang membagi bidang menjadi empat kuadran. Pada
bidang xy terdapat himpunan titik-titik yang tidak terhingga, dan setiap titik menunjukkan
pasangan orde, dimana elemen pertama adalah nilai x dan elemen kedua adalah nilai y. jelas,
titik-titik ( 4,2 )berbeda dengan {2, 4 } ; jadi orde disini signifikan.
Dengan bantuan gambar, kita dapat memperhatikan proses penurunan pasangan orde.
Misalnya, jika diketahui dua himpunan x = { 1,2 } dan y = { 3, 4 }. Kita ingin membentuk
seluruh pasangan orde yang mungkin dengan elemen pertama diambil dari himpunan x dan
elemen kedua diambil dari himpunan y. hasilnya merupakan himpunan empat pasangan orde (
1,3 ), ( 1,4 ), ( 2,3 ), ( 2,4 ). Himpunan ini disebut hasil kali cartesius ( dinamakan sesudah
Descartes ), atau hasil kali langsung dari himpunan x dan y merupakan himpunan bilangan-
bilangan, hasil kali cartesius menghasilkan himpunan pasangan orde. Dengan perhitungan atau
penggambaran kita bisa menyatakan hasl kali cartesius sebagai
x × y = { ( 1,3), ( 1, 4 ) ,( 2, 3 ), ( 2, 4 ) }
atau x × y = { ( a, b ), a € x dan b € y }
pernyataan terakhir sebenarnya dapat digunakan untuk definisi umum hasil kali cartesius untuk
setiap himpunan x dan y tertentu.untuk memperluas pandangan kita, anggaplah sekarang x dan
y termasuk seluruh bilangan nyata. Maka hasil kali cartesius
x dan y = {( a, b ) a € R dan b € r }
akan mennjukkan himpunan seluruh pasangan orde dengan nilai elemen-elemen bilangan nyata.
Di samping itu, pasangan orde juga dapat disamakan dengan ttik yang unik dalam bidang
koordinat cartesius seperti terlihat pada gambar 2.4 dan sebaliknya, setiap titik dalam bidang
koordinat juga dapat disamakan dengan pasangan orde yang unik dalam himpunan x × y. kedua

5. keunikan ini, yang merupakan persesuaian antara satu terhadap lainnya, terjdi diantara himpunan
pasangan orde dalam hasil kali cartesius ( 2.3 ) dan himpunan titik-titik dalam bidang koordinat
segi empat. Pemikiran untuk penulisan x × y sekarang mudah dipahami ; kita dapat
menghubungkannya dengan perpotongan sumbu x dan sumbu y dalam gambar 2.4 cara yang
mudah untuk menyatakan himpunan x × y dalam ( 2.3 ) adalah menulisnya langsung sebagai R x
R; ini juga secara umum ditunjukkan oleh R2.
Untuk memperluas pandangan ini, kita juga dapat mendefinisikan hasil kali cartesius dari tiga
himpunan x, y, dan z seperti berikut ini:
x × y × z = { (a, b, c ) I a € x, b € y, c € z }
yang merupakan himpunan orde lipat tiga. Selanjutnya, bila himpunan x, y, dan z masing-
masing terdiri dari bilangan nyata, hasil kali cartesius akan disamakan dengan himpunan
seluruh titik-titik dalam ruang tiga dimensi. Ini dapat ditunjukkan dengan R x R x R, atau secara
lebih sederhana R3. Selanjutnya seluruh nilai variable yang diambil merupakan bilangan nyata.
Jadi, kerangka diskusi kita secara umum menjadi R2, atau R 3 …….. atau Rn.
2.1.3 HUBUNGAN DAN FUNGSI
karena setiap pasangan orde menghubungkan nilai y dengan nilai x, maka setiap kumpulan
pasangan orde- yaitu setiap himpunan bagian hasil kali cartesius ( 2,3 ) – akan merupakan
hubungan di antara y dan x. dengan nilai x tertentu, satu atau lebih nilai y akan ditentukan oleh
hubungan nilai x tersebut.
F(x) tidak berarti f kali x. oleh karena itu, suatu fungsi merupakan himpunan pasangan
orde,dengan sifat bahwa tiap nilai x yang unik menentukan besarnya nilai y. haruslah dipahami
bahwa suatu fungsi merupakan suatu hubungan, tetapi suatu hubungan tidak selalu merupakan
suatu fungsi.
Walaupun suatu fungsi mengaharuskan adanya suatu nilai y yang unik untuk setiap nilai x,
hal yang sebaliknya tidak diharuskan. Dengan kata lain, lebih dari satu nilai x data dihubungkan
dengan nilai y yang sama.suatu fungsi disebut juga pemetaan atau transformasi: kedua kata itu
menekankan pada tindakan menghubungkan satu terhadap lainnya. Dalam pernyataan y= f(x),

6. penulisan fungsi f dapat diartikan sebagai suatu aturan dimana himpunan x dipetakan (
ditransformasikan ) ke dalam himpunan y, jadi kita dapat menulis,
F: x y
Dimana tanda panah menunjukkan pemetaan, dn huruf f secara simbolis menetapkan aturan
dalam pemetaan. Karena f menunjukkan aturan khusus dalam pemetaan, penulisa yang berlainan
harus digunakaan untuk menunjukkan fugsi lain yang dapat timul dalam model yang sama.
Dalam fungsi y= f(x) x merupakan penjelasan ( argument ) dari fungsi, dan y merupakan nilai
dari fungsi tersebut. Alternative lain adalah x sebagai variable bebas ( independent variable ) dan
y sebagai variable tidak bebas ( dependent variable ). Himpunan suatu nilai yang dapat dimiliki
oleh x dalam keadaan tertentu disebut sebagai domain fungsi, yag dapat merupakan disebut
gambaran dai nilai x.himpunan semua gambaran disebut “range” ( kisaran ) dari fungsi, yag
merupakan himpunan semua nilai variable y. jadi, domain berkenaan dengan variable bebas x
dan “ range “ mrpakan bariabel tidak bebas y.
Dalam model ekonomi, persamaan perlaku, biasanya termasuk sebagai fungsi. Karena
kebanyakan variable dalam model ekonomi secara ilmiah terbatas pada bilangan nyata non
negative, maka wilayahnya juga terbatas. Inilah sebabnya mengapa penyajian ilmu ukur dalam
ilmu ekonomi hanya digambaran dalam kuadran pertama. Secara mum, kita tidak
mempersoalkan untuk menetapkan wilayah dari setiap fungsi dalam setiap model ekonomi . bila
tidak ada syarat tertentu, harus diartikan bahwa dlam domain( dan “ range “ ) hanya termasuk
bilangan-bilangan dimana suatu fungsi memberikan arti secara ekonomi.
2.1.4 MAKNA FUNGSI
2.1.5 FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH INDEPENDENT
Selama kita hanya membahas fungsi dari satu variable bebas, y = f(x). tetapi konsep
fungsi dapat diperluas menjadi fungsi dari dua atau lebih variable bebas. Bila diketahui suatu
fungsi
Z= g ( x, y )
Pasangan nilai x dan nilai y secara unik akan enentukan nilai dari variable tidak bebas z. fungsi
seperti ini dinyatakan dalam persamaan
Z= ax + by atau z = a0 + a1 x + a2x2 + b1y + b2y2

7. melakukan hal serupa. Tetapi, domain dalam kasus ini tidak lage merupakan himpunan satu l
kedua x dan y ditentukan. Jadi fungsi g merupakan pemetaan dari suatu titik dalam ruang dua
dimensi, ke dari ( x2, y2 ) ke z2.
Bila sumbu vertical z diperpanjang tegak lurus pada bidang xy, seperti pada diagram b,
akan dihasilkan ruang tiga dimensi dimana fungsi g dapat memberikan grafik sebagai berikut.
Domain dari fungsi akan menjadi bagian himpunan titik-titik dalam bidang xy, dan nilai fungsi (
nilia z ) untuk titik tertentu dalam doamain- katakanlah ( x1, y1 ) – dapat ditunjukkan oleh tinggi
garis vertical dari titik potong x1 dan y1. Hubungan antara ketiga variabel dinyatakan oleh ketiga
urutan ( x1, y1, z1 )yang merupakan suatu titik dalam ruang tiga dimensi. Tempat kedudukan
ketiga urutan tersebut akan membentuk suatu permukaan ( surface ), kemudian membentuk
grafik fungsi g. jika fungsi y = f(x) adalah himpunan dari pasangan ordelipat tiga ( triple ). Kita
akan mempunyai banyak kesempatan untuk menggunakan fungsi ini dalam model ekonomi.
Salah satu penerapannya adalah dalam fungsi produksi. Misalkan output ditentukan oleh jumlah
modaL ( K ), dan jumlah tenaga kerja ( L ), kemudian kita dapat menulis fungsi produksi dalam
bentuk umum Q= Q ( K, L ).kemungkinan unutuk perluasan selanjutnya menjadi kasus tiga
variabel bebas atau lebih menjadi jelas. Misalnya, dengan fungsi y= ( u1, v1, w1 ) kedalam titik
dalam ruang satu dimensi (y1 ). Fungsi seperti itu dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa
utilitas konsumen adalah fungsi konsumsi dari tiga barang yang berbeda, dan petanya dalah dari
ruang tiga dimensi barang keruang satu dimensi.
Gambar 2.9
Tetapi, kali ini tidak mungkin menggambarkan fungsi, karena untuk melakukan pekerjaan ini
diperlukan diagram empat dimensi untuk menunjukkan orde lipat empat ( quadruples ),
sedangkan dunia tempat tinggal kita adalah tiga dimensi. Walupun demikian, menurut analogi

8. ilmu ukur, kita dapat melanjutkan ke orde lipat empat ( u1, v1, w1, y1 ) sebagai suatu “ titik “
dalam ruang empat dimensi. Tempat kedudukan titik seperti itu akan membentuk grafik dari
fungfi y = h ( u, v, w ) yang disebut hypersurface. Istilah titik dan hypersurface ini juga dialihkan
kekasus umum ruang n-dimensi.
Fungsi lebih dari stau variabel juga dapat diklasifikasikan ke dlam berbagai jenis,
misalnya, sebuah fungsi yang mempunyai bentuk
Y= a1x1 + a2x2 + . . . . . . + anxn
Adalah fungsi linear, yang mempunyai karakteristik bahwa setiap variabel hanyalah berpangkat
satu. Di pihak lain, fungsi kuadrat mempunyai pangkat satu dan pangkat dua dari satu atau lebih
variabel bebas, tetapi jumlah eksponen dari variabel yang ada dalam setiap suku tunggal tidak
boleh lebih dari dua.
Perhatikan bahwa kita tidak menggunakan symbol x, u, w, dan seterusnya untuk menunjukka
variabel bebas, melainkan kita bisa mengibahnya menjadi symbol x 1, x2 . . . . .xn. symbol yang
terakhir, sperti pada penulisan koefisien dengan subscript mempunyai banyak manfaat dan
mempermudah dalam menghitung jumlah variabel yang ada dalam suatu fungsi.
2.1.6 TINGKAT KEUMUMAN
Dalam pembahasan mengenai berbagai jenis fungsi, kuta tidak secara jelas
memperkenalkan contoh-contoh fungsi yang menyinggung berbagai tingkat keumuman ( level of
geneality ). Dalam contoh, kita telah menulis fungsi dalam bentuk
Y= 7 y= 6x + 4 y= x2-3x + 1 ( dan seterusnya )
Fungsi-funsgi ini tidak saja dinyatakan dalam angka koefisien, tetapi juga menunjukkan apakah
fungsi ini konstan, linear, atau kuadrat. Dalam hal grafik, setiap fungsi akan memberikan satu
kurva. Ditinjau dari sifat angka fungsi ini, penyelesaian model drai fungsi tersebut juga timbul
sebagai nilai angka tersebut. Kekurangannya adalah bahwa bila kita ingin mengetahui bagaimana
kesimpulan analitis kita akan berunah jika suatu himpunan angka koefisien yang berbeda ke
dalam model, maka proses pemabahasan harus diulangi setiap saat. Jadi, hasil yang diperoleh

9. dari fungsi tertentu sangat sedikit mempunyai sifat secara umum. Pada tingkat pembahasan dan
analisis yang lebih umum terdapat fungsi dengan bentuk
Y= a y= a + bx y= a + bx + cx 2 ( dan seterusnya
)
Karena parameter digunakan, maka setiap fungsi tidak menunjukkan satu kurva tetapi suatu
kelompok kurva. Sebagai contoh, fugsi y = a tidak hanya terdiri dari kasus tertentu y = 0, y= 1,
dan y= 2, tetapi juga y= , y= -5, . . . . . sampai tidak terbatas. Dengan fungsi parametrika, hasil
perhitungan matematis juga berada dalam istilah parameter. Hasil ini mempunyai arti yang lebih
umum karena dengan menggunakan berbagai nilai untuk parameter dalam menyelesaikan model
tersebut, uatu kelompok jawaban tertentu dapat diperoleh tanpa mengulangi proses pembahasan
yang baru.
Dalam rangka mencapai suatu tingkat umum yang lebih tinggi, kita dapat menggunakan fungsi
umum y = f(x), atau z=g ( g, y ).jika dinyatakan dalam bentuk seperti ini, maka fungsi ini tidak
terbatas apakah linear, kuadrat, exponent, atau trigonometris- seluruhnya akan dimasukkan
kedalam fungsi yang ada. Hasil analitis yang didasarkan atas perumusan umum seperti itu akan
mempunyai penerapan yang sangat umum. Seperti dapat dilihat dibawah ini, agar dapat
diperoleh hasil yang berarti secara ekonomi sering kali kita perlu mentukan pembatasan kualitatif
tertentu terhadap funsi umum yang dibentuk kedalam suatu model, seperti pembatasan bahwa
fungsi permintaan dengan kurva kemiringan yang negative atau kurva fungsi konsumsi dengan
kemiringan positif yang lebih kecil dari satu.
Untuk meringkas bab ini, struktur dari model matematis ekonomi sekarang sudah
menjadi jelas. Secara umum, model ini terdiri dari system persamaan, yang mungkin “ definisi “,
“ perilaku “, atau “ syarat ekuilibrium “. Persamaan “ perilaku “ biasanya dalam bentuk fungsi,
mungkin linear atau nonlinear, dalam angka-angka atau banyak variabel bebas. Melalui hal iilah
asumsi analitis dipakai dalam model persyaratan matematis tertentu.
Jadi dalam memecahakan suatu permasalahan analitis, tahap pertama adalah memilih baik
variabel eksogen naupun variabel endogen yang cocok untuk dimasukkan dalam model.
Selanjutnya, kita harus menerjemahkannya kedalam himpunan persamaan asumsi analitis yang
dipilih dengan memperhatikan perilaku masyarakat, kelembagaan, teknologi, hokum, dan aspek
perilaku kingkungan lainnya yang mempengaruhi bekerjanya variabel-variabel. Hanya pada saat

10. ini lah kita dapat melakukan usaha untuk memperoleh himpunan kesimpulan melalui manipulasi
dan operasi matematis yang relevan, serta memberikan mereka interprestasi ekonomi.
2.1.7 FUNGSI ALJABAR
Terdapat beberapa jenis fungsi antara ungsi fungsi aljabar, fungsi exponensial dan
fungsi logaritma. Dalam bagian ini akan diuraikan mengenai fungsi aljabar. Sementara itu,
fungsi exponensial dan logaritma akan diuraikan pada bagian berikutnya. Fungsi aljabar terdiri
dari fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat banyak (pangkat tiga, empat dan seterusnya),
dan fungsi pecah.
1. FUNGSI LINEAR
Fungsi linear atau fungsi garis lurus adalah suatu fungsi yang variable bebas
(independent variable)-nya paling tinggi berpangkat satu. Grafik fungsi linear ini, apabila
digambarkan, merupakan suatu garis lurus. Bentuk umum fungsi linear explicit y=f(x) adalah
y=ax+b di mana a dan b adalah konstanta
X adalah variable bebas (independent variable)
Y adalah variable tidak bebas/yang di pengaruhi (independent variable)
Contoh 1:
Y=3x+2
Dengan cara yang sederhana yaitu dengan menggunakan table x dan y, yerlebih dahulu
nilai x sebagai variable bebas. Maka dengan memasukan nilai x tersebut ke dalam fungsi ini,
akan di peroleh besaran nilai variabel y sebagai variabel yang di pengaruhi/tidak bebas.
Titik-titik koordinat tersebut ditempatkan pada suatu bidang datar. Sumbu x sebagai
sumbu horizontal dan sumbu y
x -2 -1 0 1 2

11. y -4 -1 2 5 8
Sebagai sumbu vertical. Maka, grafik fungsi itu dapat digambarkan dengan menghubungkan
titik-titik koordinat tersebut.
Cara penggambaran dengan menggunakan table x dan y ini disebut curve traicing
process. Gambar grafiknya akan merupakan suatu garis lurus seperti terlihat pagambar 3.2.
y

12. 8
y= 3x+2
5
A
B
-1
-4
gambar 3.2 Grafik fungsi y=3x+2
Selain penggambaran yang dilakukan dengan menggunakan table, penggambaran dapat
pula dilakukan dengan menghubungkan dua tititk fungsi dengan sumbu x dan sumbu y sebagai
dua ciri yang penting dari fungsi linear, di samping cirri yang penting yang lain yaitu koefisien
arah (sama dengan nilai a). dalam hal ini, cirri yang penting tersebut sebagai berikut.
a) Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x=0, maka y=2. Jadi, tipotnya adalah A (0,2)
b) Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y=0, makax=-2/3. Jadi, titiknya adalah B (-
2/3;0)
c) Koefisien arah dari fungsi ini yaitu angka perbandingan dari perubahan y dengan
perubahan x atau =3.
Dengan menggunakan ketiga cirri tersebut,digambarkan fungsi linear y=3x+2 seperti terlihat
pada gambar 3.2.

13. Contoh 2:
Maka, grafik fungsi ini dapat digambarkan menggunakan tabel x dan y atau dengan
menggunakan cirri-ciri yang penting, sebagai berikut.
a) Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x=0, maka y=3. Jadi , titik potongnya adalah A
(0,3)
b) Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y=0; maka x=3/2. Jadi, titik potongnya adalah
B (3/2;0)
c) Koefisien arah fungsi ini adalah =a=-2.
Jadi, arah grafik tidak naik dengan bertambahnya nilai x sebaliknya, arah grafik menurun
dengan bertambahnya nilai x.
Dengan menggunakan ketiga cirri ini, dapatlah digambarkan grafik fungsi y=-2x+3, seperti
terlihat pada gambar 3.3
3 A
B
X
1
Y
Gambar 3.3 grafik fungsi y=-2+3

14. 2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi nonlinear (garis tidak lurus) yang variabelnya bebas
berpangkat dua. Grafik fungsi kuadrat ini, apabila digambarkan, merukpakan garis tidak lurus
yang berbentuk parabola.
Bentuk umum fungsi kuadrat ini adalah sebagai berikut.
1. Dalam bentuk y=f(X) yaitu y=ax2+bx+c
di mana a, b, dan c adalah konstanta.
X adalah variabel bebas (independent variable)
Y adalah variabel tidak bebas/ yang dipengaruhi.
b. Dalam bentuk x =f (y) yaitu: x=y2+by+c
dimana a, b, dan c adalah konstanta.
Y adalah variabel bebas (independent variabel).
X adalah variabel tidak bebas/ yang dipengaruhi.
a) Fungsi kuadrat yang berbentuk y=f(x) y=ax2+bx+c
Fungsi kuadrat ini dapat digambarkan/dilukiskan pada suatu bidang datar yang dimensi
dua dengan menetapakan sumbu horizontaladalah sumbu x dan sumbu vertical adalah sumbu y
grafik fungsinya nanti dapat terlihat membuka ke atas atau kebawah yang berbentuk parabola.
Contoh 3:
Diketahui y=x2-5x+ 6
Dengan cara yang sederhan, yaitu dengan menggunakan tabel x dan y yang dinamakan
“curve traicing process”, ditentukan terlebih dahulu nilai x sebagai variabel bebas. Setelah itu,
dengan memasukan nilai x ke dalam fungsi ini, akan di peroleh besarnya nilai variabel y.
Jadi, tabelx dan y adalah sebagai berikut.

15. X -2 -1 0 1 2½ 3 4 5
y 20 12 6 2 -1/4 0 2 6
Titik-titik koordinat tersebut ditempatkan pada bidang datar. Sumbu x pada sebagian
sumbu horizontal dan sumbu y sebagai sumbu vertical. Maka, grafik itu dapat digambarkan
dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut. Gambar grafik fungsi ini merupakan suatu
garis tidak lurus yang berbentuk parabola seperti terlihat pada gambar 3.4
Y
6
SS
4
2
0 X
2 4
P
Gambar 3.4 grafik fungsi y=x2-5x+6
Penggambaran grafik fungsi di atas, dapat pula dilakukan dengan menggunakan cirri-ciri
matematis yang penting dari fungsi itu. Ada beberapa cirri-ciri matematis yang penting dari
fungsi kuadrat, yaitu jika y=f(x) adalah y=ax2+bx+c, terdapat cirri-ciri sebagai berikut.

16. 1. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x=0 maka y=c. jadi, titiknya adalah
A (0,c)
2. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y=0, menjadi 0=ax2+bx+c maka ada
tiga kemungkinan yang terjadi.
a) Bila diskriminan (D) yaitu b2. 4ac, adalah lebih besar dari nol (jadi b2-4ac>0),
maka terdapat dua buah titik potong, yaitu
(1) X1 jadi titiknya
B1(-b+ )
(2) X2 = titiknya
B2(-b - )
b. bila diskriminan (D) yaitu b2- 4ac adalah sama dengan nol (jadi b2-4ac = 0), maka hanya
terdapat satu buah titik potong, yaitu: x1= x2 = . Jadi, titiknya
B (
c. bila diskriminan (D) yaitu b2 – 4ac adalah lebih kecil dari nol ( jadi b2- 4ac < 0 ), maka tidak
terdapat titik potong fungsi kuadrat ini dengan sumbu x.
3. Titik puncak yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi (parabola) kembali ke arah
semula. Titik opuncaknya adalah
P(x= = - ( b2 -4ac ) )
4a

17. 4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi/ membelah grafik fungsi kuadrat
tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Garis sumbu simetris ini bergerak
melalui titik puncak. Persamaan sumbu simetris ini adalah :
X=
Berdasarkan contoh diatas, maka dapat digambarkan grafik fungsi kuadrat tersebut
dengan mencari ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi kuadrat itu. Adapun ciri-
ciri matematis yang penting dari fungsi :
Y= x2 – 5x + 6 adalah sebagai berikut.
a. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x= 0, maka y = 6. Jadi, titiknya
adalah A (0,6 )
b. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0. Karena D= b2 – 4ac= 25-4
(6) = 1>0, terdapat dua buah titik potong, yaitu:
(1) X1 =
Jadi, titiknya B1 ( 3, 0 )
(2) X2 =
Jadi, titiknya B2 (2, 0 )
c. Titik puncaknya adalah
P (x =
d. Sumbu simetrisnya adalah x= = 2 ½
Dengan menggunakan ciri-ciri ini, maka dap[at digambarkan fungsi kuadratnya y= x2 +6x – 9
Contoh 4:
Diketahui y= -x2 +6x -9

18. Maka, grafik fungsi kuadrat ini dapat digamabarkan dengan menggunakian tabel x dan y yang di
sebut curve tracing process, atau dengan menggunakan ciri-ciri matematis yang penting dari
suatu fungsi kuadrat, sebagai berikut:
1. Titik potong fungsi dari sumbu y adalah pada x = 0, maka y= -9. Jadi, titiknya adalah A
(0-9 )
2. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0, karena D = b2 -4ac = 36 -4 (-1 )
(-9 ) = 0, hany terdapat satu buah titik potong, yaitu :
X1 = x2 =
3. Titik puncaknya adalah :
P=
4. Sumbu sinetrinya adalah x =
Dengan menggunakan keempat ciri-ciri matematis ini, maka dapatlah digambarkan grafik
fungsi y = -x2 + 6x – 9 seperti pada gambar ini pada gambar 3.5
Gambar 3.5 grafik fungsi y = -x2 + 6x – 9
Contoh 5 :
Diketahui fungsi y = 2x2 -7x + 8
Maka, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan dengan menggunakan tabel x dan y yang
disebut curve tracingf process. Selain itu, dapat juga dengan menggunakan ciri-ciri matematis
yang penting dari suatu fungsi kuadrat, sebagai berikut:
1. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0. Y = 8. Jadi, titiknya adalah A (0,
8)

19. 2. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x= 0. Oleh karena D= b2 -4ac = 49 -4
(2) (8) = -15<0, tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat ini dengan sumbu x.
3. Titik puncaknya adalah:
P
4. Sumbu simetrisnya adalah x =
Dengan menggunakan keempat ciri matematika ini, maka dapatlah digambarkan grafim fungsi y
= 2x2 -7x b+ 8, seperti terlihat pada gambar 3.6
Gambar 3.6 grafik fungsi y = 2x2 -7x + 8
b. fungsi kuadrat yang berbentuk x = f(y) yaitu x Ay2 +By +C
fungsi kuadrat ini dapat digambarkan/ diilukiskan pada suatu bidang datar yang
berdimensi dua dengan menetapkan sumbu horizontal adalah sumbu x dan sumbu vertikal adalah
sumbu y. Grafik fungsinya nanti dapat terlihat membuka ke samping kanan atau ke samping kiri
yang berbentuk parabola.
Contoh 6 :
Diketahui fungsi x = y2 -3y +2
Dengan cara yang sederhana yaitu dengan menggunakan tabel x dan y yang dinamakan
curve tracing process, ditentukan lebih dulu nilai y sebagai variabel bebas. Selanjutnya, dengan
memasukkan nilai y tersebut ke dalam fungsi ini, maka akan diperoleh besarnya nilai variabel x
sebagai variabel yang dipengaruhi/ tidak bebas. Jadi, tabel x dan y tersebut adalah :

20. Titik-titik koordinat tersebut ditempatkan pada bidang datar. Sumbu x sebagai sumbu
horizontal dengan sumbu y sebagi sumbu vertikal. Maka, dapat lah grafik fungsi ini digambarkan
dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut. Gambar grafik fungsi ini akan merupakan
suatu garis tidak lurus yang berbenhtuk parabola.
Penggambaran grafik fungsi tersebut, dapat pula dilakukan dengan menggunakan ciri-ciri
matematis yang penting dari fungsi kuadrat itu. Ada beberapa ciri-ciri matematis yang penting
dari fungsi kuadrat ini, yaitu: bila x = f (y) adalah x = Ay2 + By + C, maka cirinya sebagai
berikut.
1. Titi potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0, maka x = C. Jadi, titiknya adalah
M ( C,0 ) .
Gambar 3.7 grafik fungsi x= y2 -3y +2
2. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0, menjadi : 0 = Ay2 + By + C.
Maka, ada tiga kemungkinan yang terjadi, sebagai berikut.
a. Jika diskriminan (D) yaitu B2 – 4 AC lebih besar dari nol ( D>0 ), terdapat dua buah
titik potong, yaitu :
 Y1 =
Jadi, titiknya N1

21.  Y2 =
Jadi, titiknya N2
b. Jika diskriminan (D) yaitu B2 -4 AC sama dengan nol (=0), hanya terdapat satu buah
titik potong yaitu:
Y1 =y2 =
Contoh 8:
Diketahui x = 4-y2
Maka, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan deengan menggunakan tabel x dan
y yang disebut curve tracing process, atau dengan menggunakan ciri-ciri matematis
yang penting dari suatu fungsi kuadrat ini, yaitu:
1. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0, maka x = 4. Jadi, titiknya
M= ( 4,0 )
2. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0, oleh karena D= B2 – 4AC
= 0-4 (-1) (4) = 16 >0, terdapat dua bauh titik potong, yaitu :
a. y1 =
jadi,titiknya adalah N1 ( 0; -2 )
b. y2 = 0- = =
jadi, titiknya adalah N2 (0 ; 2 )
3. Titik puncaknya adalah :
P
4. Sumbu simetrisnya adalah :
Y=
Dengan menggunakan ciri-ciri matematis ini, maka dapatlah digambarkan grafik fungsi kuadrat
x= 4- y2, seperti terlihat pada gambar 3.9

22. Gambar 3.9 grafik fungsi x= 4-y2
3. Fungsi pecah
Fungsi pecah adalah suatu fungsi nonlinear ( garis tidak lurus ) yang variabel bebasnya
merupakan penyebut. Grafik fungsi kuadrat ini, apabila digambarkan, merupakan garis tidak
lurus yang berbentuk hiperbola. Bentuki umum fungsi pecah bdalam bentuk y = f(x):
Y=
Dimana: a, b,c dan d adalah variabel konstan
x adalah variabel bebas (independent vvariabel )
y adalah variabel tidak bebas ( dependent variabel )
untuk penggambaran grafik fungsi pecah seperti ini perlu diketahui ciri-ciri matematis yang
penting dari fungsi pecah. Setelah mengetahui ciri-ciri matematisnya, penggambarannya
membutuhkan bantuan tabel x dan y yang disebut curve tracing process. Ada beberapa ciri
matematis yang penting dari fungsi pecah dalam bentuk umum seperti diatas. Berikut ciri
matematis fungsi pecah :
a. Titik potong fungsi pecah dengan sumbu y adalah pada = 0, maka y = . Jadi, titiknya P
(0; )

23. b. Titik potong fungsi pecah dengan sumbu x pada
Y=0,maka 0=
ax+b=0 →x=
jadi,titik potongnya Q ( ;0)
c. Ciri yang penring dalam fungsi pecah adalah asimtot. Asimtot suatu garis lengkung
adalah garis yang tidak dilalui/dipotong oleh garis lengkung tersebut,tetapi didekati
sampai pada titik tidak terhingga untuk x dan y. Dalam hal fungsi pecah seperti ini,
dikenal adanya asimtot datar dan asimtot tegak. Asimtot datar adalah suatu garis lurus
yang sejajar atau berimpit dengan sumbu x ,yang tidak akan dipotong. Akan
tetapi,asimtot ini di
, maka
Y= y=
yaitu =0
Sehingga : y = →y=
d. Asimtot tegak adalah suatu garis lurus yang sejajar atau berimpit dengan sumbu y yang
tidak akan dipotong. Akan tetapi, asimtot ini didekati oleh fungsi pecah sampai pada titik
nilai y adalah titik terhingga ( ) positif atau negatif. Jadi,persamaan garis asimtot tegak
adalah bila y = , maka
Y= =
cx + d = → cx + d =0
cx = -d x=
sehingga persamaan garis asimtot tegak adalah x = -

24. Contoh :
Diketahui y =
Maka, grafik fungsi pecah ini dapat digambarkan dengan memperhatikan ciri-ciri matematis
yang penting dari fungsi pecah ini adalah sebagai berikut.
Titik potong fungsi pecah dengan sumbu y adalah pada x = 0, maka y= 3 . jadi,titiknya P
(0,3)
Titik potong fungsi pecah dengan sumbu x adalah pada y =0 ,maka 0 =2x+3,sehingga x =
-1 . Jadi titiknya Q (-1 ,0)
Asimtot tegak adalah bila y = , maka = x+1 = → x+1=0 ,sehingga ,x=-1
Jadi persamaan garis asimtot tegak adalah x = 1
Asimtot datar adalah jika x = , maka y = y =2
Jadi, persamaan garis asimtot datar adalah y = 2
Dengan menggunakan ciri-ciri ini,maka dapat digambarkan grafik fungsi pecah y =
dengan bantuan tabel x dan y berikut ini.
x y
-1 +-
0 3
1 2
2 2
5 2
+- 2

25. x y
-1 -
-1 0
-2 1
-3 1
-4 1
-5
2 3
As datar
-2
Y (gambar grafik fungsi y = )
Fungsi grafik
Bila diketahui y =
Maka, grafik fungsi pecah ini dpat digambarkan dengan memperhatikan ciri-ciri matematis yang
penting dari fungsi pecah ini adalah sebagai berikut .
Titik potong fungsi pecah ini dengan sumbu y adalah pada x = 0 ,maka y = . jadi titik
potong P (0, ).
Titik potong fungsi pecah dengan sumbu x adalah pada y = 0 , maka x = jadi, titik
potong Q ( ,0 )
Asimtot tegak adalah y = , maka x= 0 jadi persamaan garis asimtot tegak adalah x = 0
,sama atau berhimpit dengan sumbu y .
Asimtotdatar adalah bila x = , maka y= 0 , jadi persamaan garis asimtot datar adalah y =
0 atau berhimpit dengan sumbu x.
Dengan memerhatikan ciri-ciri ini dan dengan digambarkan grafik pecah. Gambar grafik
fungsi y= dapat dilihat pada gambar 3.11

26. X Y x Y
0 + 0 -
1 5 -1 -5
2 2½ -2 -2 ½
3 1 2/3 -3 -1 2/3
4 1½ -4 -1 ¼
5 1 -5 -1
½ -10 -1/2
0 - 0
Grafik fungsi y =
Contoh :
Bila diketahui y =
Maka grafik fungsi pecah ini dapat digambarkan dengan memperhatikan ciri-ciri matematis yang
pentingdari fungsi pecah. Selain itu,dengan menggunakan tabel x dan y. Adapun ciri-ciri
matematis yang penting dan fungsi pecah ini adalah sebagai berikut:
a. Titik potong fungsi pecah ini dengan sumbu y adalah pada x=0,y=3. Jadi,titik potongnya
adalah P (0,3).
b. Titik potong fungsi pecah dengan sumbu x adalah pada y = 0. 0= → 3-2x =0
sehingga x = 1 ½
Jadi, titik potongnya adalah Q (1 ½ ; 0)
c. Asimtot datar adalah jika x =
Maka, y = → sehingga y = 2
Jadi,persamaan garis asimtot datarnya adalah y=2
d. Asimtot tegak adalah y =
Maka, =→ 1- x = 1- x = 0
Sehingga x = 1. Jadi,persamaan garis asimtot tegaknya adalah x = 1

27. Dengan memperhatikan keempat ciri-ciri matematis dan dengan bantuan tabel x dan
y,berikut ini dapat digambarkan grafik fungsi y = . Gambar grafik fungsi y = dapat
dilihat pada gambar :
3 y
2 as datar
1
1 2 x grafik fungsi y =
C. FUNGSI EKSPONENSIAL
Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel x-nya merupakan bilangan pangkat dari suatu
konstanta. Sebagai contoh adalah fungsi : y ax,dimana x dan y merupakan variabel dan a
merupakan konstanta. Dalam hal fungsi eksponensial ini,perlu diperhatikan hukum-hukum
eksponensial yang pengting sebagai berikut:
1. .a0
2. .a0 = k
1/q
3. .a =
m n = m+n
4. .a a a

28. 5.
Dengan cara sederhana yang menggunakan tabel x dan y,maka pengambaran grafik atau kurva y
= ax tidak sulit,terutama untuk menyusun atau menentukan titik-titiknya. Jika a>1, kurva akan
memlalui titik (0,1) dan akan bertambah secara teratur. Selain itu jika x→ - ,maka y = →0.
Contoh :
Gambarkanlah grafik-grafik :y = 2x dan y =( ) x dalam satu grafik.
Dari y = 2x akan diperoleh tabel x,dan y sebagai berikut :
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32
Sementara itu dari y = ( ) x akan diperoleh tabel x y seperti berikut.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32
Grafiknya adalah seperti pada gambar :
y = (2)x
y = (3/2)x
1

29. grafik fungsi y = 2x dan y = ( )
Contoh :
Gambarlah grafik y = ex
Dimana e = 1+ + + + = 2,7183
Fungsi y = ex dapat digambarkan dengan menggunakan tabel x dan y sebagai berikut :
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0,16 0,37 1 2,72 7,39 20,09 54,60 148,18
Grafik fungsi y = ex dapat dilihat pada gambar berikut :
y
X
x
Grafik fungsi y = e
Contoh :
Gambarkanlah grafik y = 3(2x+1)

30. Fungsi ini da[at digambarkan dengan menggunakan tabel x dan y sebagai berikut :
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 1/243 1/27 1/3 3 27 243 2187 19683
Grafik fungsi y = 3(2x+1) dapat dilihat pada gambar
y
3
2
1
-2 -1 x
D.FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma adalah suatu fungsi nonlinear (garis tidag lurus ). Dalam hal ini variabel bebas
(independent variabel)-nya dalam bentuk logaritma,seperti y =a log x atau log y = a + b log x.
Perlu diperhatikan hukum-hukum atau rumus-rumus logaritma .
Berikut ini adalah hukum-hukum dan rumus logaritma.
1. Log a b = log a + log b
2. Log =log a – log b
a
3. log b =

31. a
4. log b = c maka ac=b
a
5. log a = 1
6. log xn = n log x
a
7. log1 = 0
8. aa log b = 0
dengan cara sederhana dengan menggunakan tabel x dan y,dapat digambarkan grafik fungsi logaritma.
Contoh :
Gambarkanlah grafik y = 5 log x
Fungsi ini dapat digambarkan dengan menggunakan tabel x dan y sebagai berikut :
x 1 2 3 4 5 6 10
y 0 1,51 2,39 3,01 3,49 3,89 5-
Contoh :
Gambarkanlah grafik log y = 1 + 2 log x
Fungsi ini dapat digambarkan dengan menggunakan tabel x dan y sebagain berikut :
x 1 10 100
y 10 1000 100000
3
2
1
2 3
Grafik fungsi y = 5 log x

32. y
x
1
Grafik fungsi y = 1+ 2 log x
E. Perpotongan antara Dua Buah Fungsi
Dua buah fungsi dikatakan berpotongan apabila kedua buah fungsi tersebut mempunyai
sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua buah fungsi
diperoleh dengan mempersamakan kedua buah fugsi itu.
Contoh :
Carilah titik potong fungsi – fungsi y = 10 – 2x = x +2
Titik potong antara kedua buah fungsi ini dapat diperoleh dengan mempersamakan kedua
buah fungsi tersebut ,yaitu :
Y = 10 – 2x 10 – 2 x = x +2
Y = x +2 3x = 8→ x = 2 dan y = 4
Jadi titik potong fungsi y = 10 – 2x dan y = x+2 adalah titik( 2 ; 4 ). Garfik fungsi y =10 – 2x
dan y = x+2 serta titik potongnya dapat dilihat pada gambar :

33. P y = x+2
2 -2 5
Grafik fungsi y = 10-2x dan y = x+2
Contoh :
Diketahui fungsi – fungsi y = x2-1 dan y = x2-7x + 12 ,maka , carilah titik potongnya .
Titik potong antara kedua buah fungsi tersebut dapat diperoleh dengan mempersamakan
kedua buah fungsi itu,yaitu :
Y = x2 – 1 x2 – 1 = x2 – 7x + 2x
Y = x2 – 7x +12 7 x = 13 → x = 1,86 dan y = 2,45
Jadi, titik potong fungsinya adalah titik (1,86 ; 2,45
Grafik fungsi y = x2 – 1 dapat digambarkan denganmengetahui ciri-ciri matematis dari fungsi ini
yang penting, yaitu :
1. titik potong fungsi ini dengan sumbu y, pada x = 0 ,maka y = 1 ; jadi ,titik potongnya A
(0,- 1)
2. titik potong fungsi ini dengan sumbu x pada y = 0 ,maka x 2 – 1 = 0, sehingga x1 = 1 dan
x2 = -1 ; jadi, ada dua buah titik potongnya yaitu B1 (1;0) dan B2 (-1;0)
3. titik puncak fungsi ini adalah P (0; -1)
4. Sumbu simetrisnya adalah : x = 0

34. Sementara itu, grafik fungsi y = x2 – 7x +12 dapat digambarkan dengan mengetahui ciri – ciri
matematis dari fungsi ini yang penting berikut ini .
1. Titik potong fungsi ini dengan sumbu y , maka x=0 maka y = 12. Jadi,titik potongnya m
(0;12)
2. Titik potong fungsi ini dengan sumbu x,pada y = 0,maka : 0 = x2 – 7x +12,sehingga x1 = 3
dan x2=4. Jadi,ada dua buah titik potongnya yaitu N1 (3;0) dan N2 (4;0)
3. Titik puncak fungsi ini adalah ! (31/2;1/4)
4. Sumbu simetrissnya adalah x = 31/2