kalkulus 1

1. Materi 2
Desimal, Kerapatan, Kalkulator
Sebarang bilangan rasional dapat ditulis sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi
bilangan ini selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika pembilang
kita bagi dengan penyebut, kita peroleh suatu desimal. Misalnya (gambar 1)
½ = 0,5
3/8 = 0,375
13/11 = 1,181818...
3/7 = 0,428571428571328571....
Bilangan-bilangan tak rasional dapat juga diungkapkan sebagai desimal-desimal. Sebagai
contoh.
√2 = 1,4142135623....
√3 = 1,7320508075....
𝜋= 3,1415926335...
Desimal Berulang dan Tak Berulang
Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir (seperti dalam 3/8 =
0,375) atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya (seperti dalam 13/11 =
1,181818...). Percobaan kecil dengan proses pembagian panjang akan menunjukkan kepada
anda mengapa demikian. (disebabkan hanya terdapat suatu bilangan berhingga sisa-sisa
yang berlainan). Sebuah desimal yang mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu
desimal berulang yang angka-angka akhirnya semuanya nol. Misalnya, 3/8 = 0,375 =
0,3750000000....
Jadi setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Adalah suatu
kenyataan yang penting bahwa kebalikannya juga benar. Setiap desimal yang berulang
menyatakan suatu bilangan rasional. Ini jelas dalamkasus suatu desimal berulang (misalnya,
3,137 = 3137/1000) dan mudah dibuktikan secara umum.
Contoh 1. (desimal berulang adalah rasional)
Buktkan bahwa :
0,136136136..... dan 0,27171717... menyatakan bilangan-bilangan rasional

2. Penyelesian :
Misalkan x = 0,136136136..... maka 1000x = 136,136136136......
1000x = 136,136136136....
X = 0,136136136.... –
999x = 136 maka x = 136/999 .
jadi 0,136136136.... = 136/999 adalah bilangan rasional
Misalkan y = 0,27171717... maka 100y = 27,171717....
100y = 27,171717...
Y = 0,271717... –
99y = 26,9 maka y = 26,9/99 = 269/990. Jadi 0,27171717.... = 269/990 adalah bilangan
rasional.
Secara umum, langkah pertama adalah mengalikan suatu desimal berulang z dengan 10m
jika desimal tersebut berulang dalam suatu daur yang memuat m angka.
Pernyataan desimal bilangan-bilangan tak rasional tidak berulang menurut suatu daur.
Sebaliknya, suatu desimal tak berulang pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional.
Sehingga, misalnya 0,10100100001..... pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional.
Diagram dalam gambar 2 meringkaskan apa yangtelah disampaikan.
Kerapatan
Di antara dua bilangan riil sebrang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan riil lain.
Khususnya bilangan z = (x + y)/2 adalah bilangan pertengahan antara x dan y (gambar 3).
Karena terdapat juga suatu bilangan s antara x dan z dan bilangan lain t antara z dan y dan
karena argumentasi ini dapat diulang sampai tak terhingga, kita dipaksa mengambil
kesimpulan yang menakjubkan tetapi benar bahwa di antara dua bilangan rill sembarang
(tidak perduli betapapun dekatnya), terdapat tak terhingga banyaknya bilangan riil lain. Ini
akan menghapus sama sekali pemikiran seperti “ bilanangan yang sedikit lebih besar dari 3”.
Tidak terdapat bilangan yang demikian.

3. Sebenarnya kita dapat mengatakan lebih banyak. Di antara dua bilangan riil sembarang yang
berlainan, terdapat bilangan rasional maupun bilangan tak rasional – dan karenanya tak
terhingga banyaknya dari tiap jenis.
Contoh 2.
Carilah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional di antara x dan y jika diketahui x =
0,31234158....... dan y = 0,31234200........
Penyelesaian :
Andaiakan : z = 0,312341600000..... dan w = 0,3123416010010001.....
Maka z adalah rasional (berakhir dengan pengulangan 0), sedangkan w adalah tak rasional
(perhatikan pola penyisipan 0 yang semakin banyak di antara angka 1). Seharusnya jelas bagi
kita bahwa : x < z < w < y
Satu cara bagaimana matematikawan memeriksa situasi yang telah dibahas tersebut adalah
dengan mengatakan bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang
garis riil (gambar 4).
Setiap bilangan mempunyai tetangga rasional dan tak rasional yang cukup dekat dengannya.
Kedua jenis bilangan tersebut saling berkaitan tak terpisahkan dan menggerombol bersama-
sama.
Salah satu manifestasi dari sifat kerapatan yang baru saja diuraikan adalah bahwa sebarang
bilangan tak rasional dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasional sedekat yang kita sukai.
Contohnya adalah √2. Barisan bilangan-bilangan rasional : 1 ; 1,4 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ;
1,414213 ; ........ berbaris dan tak dapat ditawar-tawar menuju √2. (gambar 5). Dengan
berjalan cukup jauh dalam barisan ini, kita berada sedekat mungkin ke √2 seperti yang kita
inginkan.
Kalkulator
Di masa lalu para ilmuwan dan insinyur berkeliaran di kampus dengan slide-rule tergantung
di ikat pinggangnya. Saat ini mereka mengantongi kalkulator di sakunya. Jika anda belum
mempunyai salah satu dari ahli sihir elektronika ini, kami anjurkan anda untuk membelinya.
Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma) dan jika
anda mampu, kami rekomendasikan versi yang dapat diprogram. Anda akan menjumpai
banyak penggunaan kalkulator dalam materi ini.
Satu kenyataan yang segera jelas kelihatan adalah bahwa kita tidak dapat memasukkan
suatu desimal tak berhingga ke dalam sebuah kalkulator. Kalkulator secara eksklusif bekerja
dengan desimal yang panjangnya telah ditentukan sebelumnya (misalnya, 10 angka).

4. Nyatanya, kalkulator hanya menangani bilangan-bilangan rasional dengan uraian desimal
yang berhenti secara cepat. Sehingga, kita sering harus membulatkan suatu bilangan untuk
memasukkanya ke kalkulator, dan jawab yang diberikan kalkulator biasanya juga akan
dibulatkan. Misalnya, kalkulator tidak akan pernah memakai nilai sebenarnya dari √2 tetapi
harus puas dengan nilai hampiran seperti
√2 ≈ 1,414213562
Di sini kita telah memakai lambang ≈ untuk menyingkat ungkapan “ secara hampiran sama
dengan”.
Nasehat kami adalah ini: lakukan perhitungan yang mudah tanpa kalkulator, khusunya jika
ini dapat menjawab yang sebenarnya, misalnya, secara umum kita lebih menyukai jawaban
sebenarnya
√3
2
untuk sinus 𝜋/3 dibandingkan nilai hasil kalkulator 0,8660254. Tetapi, dalam
perhitungan yang rumit kami anjurkan penggunaan kalkulator.

5. Latihan soal 2
Dalam soal 1-6, ubah tiap bilangan rasional menjadi desimal dengan melakukan pembagian
panjang
1. 7/8
2. 3/13
3. 3/20
4. 5/13
5. 11/3
6. 11/7
dalam soal 7 – 12, ubah masing-masing desiaml menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat
(contoh 1)
7. 0,123123123.....
8. 0,217171717...
9. 2,56565656.....
10. 3,92929292.....
11. 0,1999999.....
12. 0,3999999.....
13. Carilah sebuah bilangan rasional positif dan sebuah bilangan tak rasional positif yang
keduanya lebih kecil dari pada 0,00001
14. Cari bilangan tak rasional antara 3,14159 dan 𝜋 (lihat contoh 2, dan 𝜋 = 3,141592... )
15. Apakah (𝜋 - 22/7) positif, negatif atau nol ?
16. Apakah terdapat bilangan antara 0,999999..... dengan angka 9 yang berulang terus
dengan angka 1?
17. Carilah bilangan rasional antara 17/37 dengan 52/111
18. Carilah dua bilangan tak rasional yang jumlahnya rasional.