Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep fungsi satu variabel, termasuk pengertian bilangan real, operasi hitung, sifat-sifat bilangan real, sistem bilangan real, dan urutan bilangan real.
2. Materi lain yang dibahas adalah ketaksamaan, selang, nilai mutlak, fungsi matematika, domain dan kodomain fungsi, serta cara menggambar grafik fungsi.
3. Diberikan juga contoh soal tentang penyelesaian ketaks
Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep fungsi satu variabel, termasuk pengertian bilangan real, operasi hitung, sifat-sifat bilangan real, sistem bilangan real, dan urutan bilangan real.
2. Materi lain yang dibahas adalah ketaksamaan, selang, nilai mutlak, fungsi matematika, domain dan kodomain fungsi, serta cara menggambar grafik fungsi.
3. Diberikan juga contoh soal tentang penyelesaian ketaks
Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan bulat, pecahan, dan operasi hitung antara bilangan bulat dan pecahan. Terdapat pula penjelasan mengenai persamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear, dan sistem persamaan linear dua variabel beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut merupakan bagian dari buku ajar Pengantar Analisis Real I yang membahas sifat-sifat dasar bilangan real, termasuk sifat aljabar, bilangan rasional dan irasional, serta contoh bukti bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya adalah 2."
Barisan dan deret tak hingga merupakan konsep penting dalam matematika yang sering diterapkan dalam bisnis dan ekonomi untuk menganalisis pertumbuhan variabel-variabel seperti produksi, biaya, dan pendapatan. Beberapa jenis barisan dan deret yang dijelaskan meliputi barisan aritmatika, barisan geometri, deret geometri, dan deret harmonis beserta sifat-sifat kekonvergensan masing-masing.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang:
1. Konsep bilangan real dan komponennya seperti bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.
2. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan antar himpunan bilangan.
3. Jenis-jenis interval dan relasi urutan pada bilangan real.
Bab 1 membahas sistem bilangan real, termasuk definisi bilangan bulat, rasional, dan real beserta sifat-sifatnya seperti komutatif, asosiatif, dan distributif. Bab ini juga menjelaskan interval dalam bilangan real seperti selang tertutup, terbuka, dan setengah terbuka.
Bab 2 membahas supremum dan infimum sebagai batas atas dan bawah suatu himpunan serta contoh perhitungannya.
Bab 3 memfokuskan pada pertid
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan bilangan real dan notasi interval. Terdapat beberapa jenis himpunan bilangan seperti bilangan bulat, rasional, irasional beserta definisinya. Dokumen juga menjelaskan tentang notasi ketidaksamaan dan interval yang digunakan untuk mewakili himpunan tak terhingga elemennya. Operasi persekutuan dan persimpangan dalam himpunan juga dijelaskan beserta contoh penerjemahan frase matematika menggun
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan bulat, pecahan, dan operasi hitung antara bilangan bulat dan pecahan. Terdapat pula penjelasan mengenai persamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear, dan sistem persamaan linear dua variabel beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut merupakan bagian dari buku ajar Pengantar Analisis Real I yang membahas sifat-sifat dasar bilangan real, termasuk sifat aljabar, bilangan rasional dan irasional, serta contoh bukti bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya adalah 2."
Barisan dan deret tak hingga merupakan konsep penting dalam matematika yang sering diterapkan dalam bisnis dan ekonomi untuk menganalisis pertumbuhan variabel-variabel seperti produksi, biaya, dan pendapatan. Beberapa jenis barisan dan deret yang dijelaskan meliputi barisan aritmatika, barisan geometri, deret geometri, dan deret harmonis beserta sifat-sifat kekonvergensan masing-masing.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang:
1. Konsep bilangan real dan komponennya seperti bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.
2. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan antar himpunan bilangan.
3. Jenis-jenis interval dan relasi urutan pada bilangan real.
Bab 1 membahas sistem bilangan real, termasuk definisi bilangan bulat, rasional, dan real beserta sifat-sifatnya seperti komutatif, asosiatif, dan distributif. Bab ini juga menjelaskan interval dalam bilangan real seperti selang tertutup, terbuka, dan setengah terbuka.
Bab 2 membahas supremum dan infimum sebagai batas atas dan bawah suatu himpunan serta contoh perhitungannya.
Bab 3 memfokuskan pada pertid
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan bilangan real dan notasi interval. Terdapat beberapa jenis himpunan bilangan seperti bilangan bulat, rasional, irasional beserta definisinya. Dokumen juga menjelaskan tentang notasi ketidaksamaan dan interval yang digunakan untuk mewakili himpunan tak terhingga elemennya. Operasi persekutuan dan persimpangan dalam himpunan juga dijelaskan beserta contoh penerjemahan frase matematika menggun
3. Materi Kuliah Matematika 1
• Bab 1 – Pendahuluan
• Bab 2 – Fungsi
• Bab 3 – Limit
• Bab 4 – Turunan
• Bab 5 – Penggunaan Turunan
• Bab 6 – Integral
• Bab 7 – Penggunaan Integral
4. BAB 1 – PENDAHULUAN 1
• Bilangan Real dan Notasi Selang
• Pertaksamaan
5. Bilangan Real dan Notasi Selang
Bilangan real meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan
2) dan irasional (seperti √2 dan π). Bilangan rasional
meliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan negatif)
dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan real
dilambangkan dengan R.
Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =,
dan >), dan sifat kelengkapan. Sifat kelengkapan
memungkinkan
kita menyatakan R sebagai suatu garis
(yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.
6. Garis bilangan real
Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan
sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan
real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada
garis bilangan real. (Sebagai perbandingan,
himpunan semua bilangan rasional tidak dapat
dinyatakan sebagai sebuah garis.).
Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan
semesta kita.
7. Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:
(a,b) = { x є R | a < x < b }
[a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b }
[a,b) = { x є R | a ≤ x < b }
(a,b] = { x є R | a < x ≤ b }
(-∞,b)= { x є R | x < b }
(-∞,b]= { x є R | x ≤ b }
(a,∞) = { x є R | x > a }
[a,∞) = { x є R | x ≥ a }
8. Pertaksamaan
Dalam kalkulus, kita sering kali menghadapi suatu
pertaksamaan (dalam x), seperti x2 < x.
Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x berarti
menentukan himpunan semua nilai x yang ‘memenuhi’
pertaksamaan tersebut (yang membuat pertak-samaan
tersebut menjadi suatu ketaksamaan yang benar).
Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu
pertaksamaan disebut sebagai himpunan penyelesaian
pertaksamaan tersebut.
9. Contoh 1. Selesaikan pertaksamaan x2 < x.
Jawab. Kita akan menyelesaikan pertaksamaan di
Atas dengan menggunakan sifat-sifat aljabar dan
Urutan bilangan real. Perhatikan bahwa
x2 < x ↔ x2 – x < 0 ↔ x(x – 1) < 0.
Pembuat nol dari x(x – 1) adalah 0 dan 1. Tanda
Dari x(x – 1) pada garis bila ngan real adalah
10. Kita sedang mencari nilai x yang membuat
x(x – 1) < 0 (yakni, yang membuat x(x – 1) bernilai
negatif). Karena itu, himpunan penyelesaiannya
adalah {x є R|0 < x < 1} atau selang (0,1).
Catatan. Lambang ↔ berarti ‘setara dengan’. Dua
pernyataan setara apabila kebenaran pernyataan yang
satu mengakibatkan kebenaran pernyataan lainnya.
Latihan. Selesaikan pertaksamaan berikut:
1. 1/x < 2.
2. x3 ≥ x.
