More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Matriks kelas xii K-13
Similar to Matriks kelas xii K-13 (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Matriks kelas xii K-13
- 1. Oleh : Apriana Romansyah, S.Pd. Bab 1. Matriks
- 2. Matriks Operasi Matriks Transpose Penjumlahan/ Pengurangan Perkalian Perpangkatan Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Ordo 3 x 3 Cara Sarrus Cara Ekspansi Kofaktor Invers Matriks Ordo 2 x 2 Ordo 3 x 3 Eliminasi Gauss-Jordan SPL SPLDV SPLTV Persamaan Matriks Home
- 3. 1.1 Matriks dan Operasi Matriks HOME › Bentuk umum matriks › 𝐴 𝑚 x 𝑛 = 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋯ 𝑎22 ⋯ ⋯ ⋮ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 Kolom B a r i s
- 4. Ordo Matriks Ditulis sebagai banyak baris x banyak kolom Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika satu matriks merupakan duplikat matriks lainnya. Transpose Matriks Transpose matriks 𝐴 𝑚 x 𝑛 merupakan matriks A yang diubah kedudukan baris menjadi kolom dan ditulis sebagai AT. HOME
- 5. Transpose HOME › 𝐴 𝑚 x 𝑛 = (𝑎𝑖 x 𝑗) → 𝐴 𝑛 x 𝑚 𝑇 = (𝑎𝑗𝑖)
- 6. Penjumlahan dan pengurangan matriks HOME › Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat dilakukan jika mengikuti aturan berikut. (i) Ordo (A) = ordo (B) (ii) A B = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 , untuk setiap elemen seletak.
- 7. › Perkalian dua matriks 𝐴 𝑚 x 𝑝= 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵𝑝 x 𝑛 = 𝑏𝑖𝑗 , diperoleh 𝐶 𝑚 x 𝑛 = 𝑐𝑖𝑗 Dengan mengalikan baris matriks A terhadap kolom matriks B. Sifat-sifat yang berlaku i. A x B B x A ii. A x I = I x A = A iii. A x O = O x A = O I = matriks identitas O = matriks nol › Perkalian skalar dengan matriks A = 𝑎𝑖𝑗 dan k skalar merupakan bilangan real, maka kA = 𝑘𝑎𝑖𝑗 untuk setiap i dan j. Perkalian HOME
- 8. › Sifat-sifat yang berlaku i. (A + B)2 = A2 + B2 + AB + BA ii. (A - B)2 = A2 + B2 – (AB + BA) iii. (A + B)(A – B) = A2 – AB + BA - B2 › Ak = A x A x A x ... x A (sebanyak k faktor) dengan k bilangan bulat positif dan A merupakan matriks persegi berordo m x m. Perpangkatan HOME Contoh
- 9. 1.2.1 Determinan Matriks Persegi Berordo 2 x 2 Matriks A berordo 2 x 2 A = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 dinotasikan dengan: det (A) = det 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐. Determinan Matriks Persegi HOME
- 10. › Cara Cramer › Diberikan SPLDV 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑚 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑛 . › Maka bentuk matriks: › 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 = 𝑚 𝑛 1.2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Determinan. HOME
- 11. › Nilai x dan y ditentukan oleh: › 𝑥 = 𝑚 𝑏 𝑛 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 dan y = 𝑎 𝑚 𝑏 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 , dengan 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ≠ 0 › Dx = 𝑚 𝑏 𝑛 𝑑 , Dy = 𝑎 𝑚 𝑐 𝑛 , dan D = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Contoh HOME
- 12. i. Pindahkan dua kolom pertama dari determinan kesebelah kanan ii. Lakukan perkalian keenam diagonal. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ = aei + bfg + cdh – gec –hfa - idb › Perhatikan matriks A = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 › Determinan matriks A dengan cara Sarrus dilakukan dengan aturan berikut: 1.2.3 Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3 -Cara Sarrus HOME (-) (-) (-) (+) (+) (+)
- 13. › 𝑎 𝑐 𝑔 𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑔𝑐1. Pengertian Minor Minor dari elemen umum adalah determinan yang berisi elemen setelah baris dan kolom yang dihilangkan. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 Cara Ekspansi Kofaktor HOME Penghilangan kolom ke-2 Penghilangan baris ke-2
- 14. 3. Ekspansi dan kofaktor-minor › Dengan menggunakan ekspansi ini, kita dapat menghitung determinan matriks berordo lebih dari 2 x 2. 2. Kofaktor › Kofaktor dari sebuah elemen adalah nilai minor beserta tandanya › + − + − + − + − + › + − + − − + − + + − − + + − − +
- 15. › Sifat 2 Jika ada semua elemen pada baris atau pada kolom dari sebuah determinan sama dengan nol. 0 0 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 0 atau 𝑎 𝑑 0 𝑏 𝑒 0 𝑐 𝑓 0 = 0 1.2.4 Sifat-sifat determinan matriks persegi › Sifat 1 𝐴 = 𝐴 𝑇 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 = 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 › Sifat 3 Jika dua baris (atau dua kolom) dari sebuah determinan saling ditukar, maka tanda dari determinan akan berubah. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 = (−) 𝑔 ℎ 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 atau 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 = (−) 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 ℎ
- 16. › Sifat 4 Jika dua baris (atau dua kolom) dari sebuah determinan sama atau kelipatannya, maka nilai determinan itu samadengan nol. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 = 0 atau 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑐 = 0 › Sifat 5 Jika ada setiap elemen pada baris (atau kolom) dari sebuah determinan dikali oleh bilangan real k, maka nilai determinan itu bernilai k kali determinan matriks awal. 2 3𝑘 1 4 𝑘 3 3 5𝑘 7 = 𝑘 2 3 1 4 1 3 1 5 7
- 17. › Sifat 6 Jika masing-masing elemen pada baris (atau kolom) dinyatakan sebagai jumlah dua suku (baris atau kolom), maka determinan matriks tersebut merupakan jumlah kedua determinan itu. 𝑎 + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑏 𝑒 𝑓 𝑔 + 𝑐 ℎ 𝑖 = 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑒 𝑓 𝑐 ℎ 𝑖
- 18. › Sifat 7 Nilai sebuah determinan tidak berudah, jika masing-masing elemen pada baris (atau kolom) dikali dengan bilangan real k dan ditambahkan pada sembarang baris (atau kolom). 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑘𝑎 𝑑 𝑒 𝑓 + 𝑘𝑑 𝑔 ℎ 𝑖 + 𝑘𝑔 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖
- 19. › Ketentuan determinan matriks. 𝐷 𝑥 = 𝑏1 𝑎12 𝑎13 𝑏2 𝑎22 𝑎23 𝑏3 𝑎32 𝑎33 , 𝐷 𝑦 = 𝑎11 𝑏1 𝑎13 𝑎21 𝑏2 𝑎23 𝑎31 𝑏3 𝑎33 › Perhatikan SPLTV berikut. 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2 𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3 Model matematika SPLTV berbentuk. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑏1 𝑏2 𝑏3 1.2.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan Determinan.
- 20. › Penyelesaiannya adalah (x, y, z) dan HP = (𝑥, 𝑦, 𝑧)› 𝐷𝑧 = 𝑎11 𝑎12 𝑏1 𝑎21 𝑎22 𝑏2 𝑎31 𝑎32 𝑏3 , 𝑑𝑎𝑛 › 𝐷 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 › Nilai x, y, dan z › 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝐷 , y = 𝐷 𝑦 𝐷 , z = 𝐷 𝑧 𝐷
- 21. 1.3 Invers Matriks Persegi Misalkan M merupakan matriks persegi berordo n x n dan I matriks satuan (identitas) berordo n x n. Jika ada sebuah matriks M-1 (dibaca: invers M) akan selalu berlaku. M-1 M = M M-1 = I Invers Matriks HOME
- 22. A. Formula Matriks Persegi Berordo 2 x 2 Diberikan matriks A berordo 2 x 2: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Invers matriks A ditentukan oleh: 𝐴−1 = 1 𝐷 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 dengan D = ad-bc (i) Untuk D 0, matriks A disebut nonsingular berarti mempunyai invers. (ii) Untuk D = 0, matriks A disebut singular berarti tidak mempunyai invers. 1.3.1 Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2 HOME
- 23. › Carilah A-1 dari A = 4 −1 −6 2 . B. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 x 2 dengan Eliminasi Gauss-Jordan
- 24. 1.3.2 Invers Matriks Persegi Berordo 3 x 3 Untuk menentukan invers matriks persegi berordo 3 x 3 akan lebih mudah jika kita menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. Ordo 3 x 3 HOME
- 25. 2 3 3 6 8 15 𝐼 𝑋 Proses pencarian matriks sebaga berikut. 1.3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss- Jordan 2 3 3 6 𝑥 𝑦 = 8 15 . Bentuk di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks Gauss- Jordan sebagai berikut. Eliminasi Gauss-Jordan HOME
- 26. 1.3.3 Persamaan Matriks HOME Persamaan matriks sama seperti persamaan bentuk aljabar. Bentuk umum persamaan matriks adalah sebagai berikut. (i) A X = B A-1A X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B (ii) X A = B X A A-1 = B A-1 X I = B A-1 X = B A-1
- 27. HOME Dengan A = 2 3 3 6 , 𝑋 = 𝑥 𝑦 , 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 8 15 . Untuk menetukan penyelesaian SPL berikut. 2𝑥 + 3𝑦 = 8 3𝑥 + 6𝑦 = 15 Dapat dilakukan dengan menulis SPL dalam bentuk matriks: 2 3 3 6 𝑥 𝑦 = 8 15 1.3.4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Menggunakan Invers Matriks
- 28. Perhatikan SPL berikut 2 3 3 6 𝑥 𝑦 = 8 15 A B › 2 3 3 6 8 15 𝐼 𝑋 › Proses pencarian matriks X sebagai berikut 1.3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Eliminasi Gauss-Jordan
- 29. Persiapkan diri Anda, pertemuan selanjutnya Ulangan Harian