Dokumen ini membahas konsep himpunan dalam matematika, termasuk definisi, notasi, dan contoh-contoh himpunan serta keanggotaan, diagram Venn, himpunan bagian, himpunan kuasa, dan operasi dasar seperti irisan dan gabungan. Selain itu, diuraikan tentang hukum-hukum himpunan dan contoh aplikasi, seperti perkalian kartesian dan partisi himpunan. Dokumen juga memberikan contoh konkret untuk memperjelas teori yang disampaikan.

1. Anggota Kelompok : 1. Aulia Rahman
2. Nur Faizin P.
3. Rivan Pratama
4. Umam Muarif
TKJ 1B

2. Notasi Himpunan
 Himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi dengan
jelas; artinya, kita selalu dapat menentukan apakah
sebuah objek termasuk dalam koleksi atau tidak.
 Nama himpunan ditulis dengan menggunakan huruf besar
A,B,H,S,U,...,
 sedangkan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil
a,b,h,s,u,....

3. Beberapa contoh himpunan.
 A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 10.
 B adalah himpunan huruf hidup dalam abjad bahasa
Indonesia.
 C adalah himpunan kuadrat bilangan asli.
 K adalah himpunan mahasiswa yang memiliki IPK lebih
dari 3.
 M adalah himpunan mahasiswa PNJ.

4. Keanggotaan Himpunan
 Untuk menyatakan bahwa sebuah objek a adalah
anggota sebuah himpunan
 A kita menggunakan notasi
a A.
 Sedangkan notasi
a A.
berarti a bukan anggota himpunan A.

5. Contoh Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh:
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
1 A 1 B 2 B 2 A
3 A 3 B 4 B 4 A
5 A 5 B 6 B 6 A
7 A 7 B 8 B 8 A
9 A 9 B 10 B 10 A
12 B 12 A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5
Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6
Catatan: Lambang dibaca “elemen” atau anggota
Lambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota
Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

6. Diagram Venn
 Himpunan dapat digambarkan dengan diagram
Venn. Dalam diagram ini himpunan semesta
digambarkan sebagai empat persegi panjang
sedangkan himpunan-himpunan di dalamnya
digambarkan sebagai lingkaran atau bentuk geometri
lain.
 Anggota himpunan biasanya dinyatakan sebagai
titik.

7. Diagram Venn
Langkah-langkah menggambar diagram venn
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi
anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah
anggotanya apabila belum lengkap

8. Contoh:
Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }
Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas
Jawab:
6 adalah anggota yg dimiliki
S oleh himpunan A,B,C
0 A
7 3 dan 6 adalah anggota yg
9 1 dimiliki oleh himpunan A
3 5
dan C
12 6
2 4
2,4, 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
C 14 dan B
13 11 8 10
B

9. Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan
B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen
dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn:
U
B
A
9

10. Contoh Himpunan Bagian
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (
A).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
10

11. A dan A A, maka dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah
improper subset dari A.
A B berbeda dengan A B
(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
11

12. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { }, dan
himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = { , { }}.
12

13. Perampatan Operasi Himpunan
n
A1 A2 ... An A
i 1
i
n
A1 A2 ... An A
i 1
i
n
A1 A2 ... An i 1
Ai
n
A1 A2 ... An i 1
Ai
13

14. Contoh :
(i) A (B1 B2 ... Bn) = (A B1 ) (A B2 ) ... (A
Bn )
n n
A ( Bi ) (A Bi )
i 1 i 1
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = { , }, maka
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ),
(2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
14

15. Hukum-hukum Himpunan
 Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan
 Disebut juga hukum aljabar himpunan
1. Hukum identitas: 2. Hukum null/dominasi:
A =A A =
A U=A A U=U
3. Hukum komplemen: 4. Hukum idempoten:
A A =U A A=A
A A = A A=A
15

16. 5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan
( A) = A (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
7. Hukum komutatif: 8. Hukum asosiatif:
A B=B A A (B C) = (A B)
A B=B A C
A (B C) = (A B)
C
9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan:
A (B C) = (A A B =A B
B) (A C) A B =A B
A (B C) = (A
B) (A C)
11. Hukum 0/1
=U
U
=
16

17. Irisan Dua Himpunan (Interseksi)
Definisi:
Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang
menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B
Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q
Jawab : P Q = { d, e }
Gabungan Dua Himpunan ( Union)
Definisi:
Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek
yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B
Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q
Jawab : P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

18. Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan
bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a) A1 A2 … = A, dan
(b) Ai Aj = untuk i j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1},
{2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
18

19. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B}
Contoh :
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)
}
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
19

20. Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A B = A . B .
2. (a, b) (b, a).
3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b },
D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
D C C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B=B A=
20

21. Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n =
nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es
dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A B = A B = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m, d)}.
21

22. Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P( ) (b) P( ) (c) { } P( ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P( ) = { }
(b) P( ) = (ket: jika A = atau B = maka A B = )
(c) { } P( ) = { } { } = {( , ))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = { , { }, {{3}}, { , {3}} }
22

23. TERIMA KASIH
ATAS
PERHATIANNYA