3 modul-himpunan

MODUL MATEMATIKA
OLEH : PURWANTO, S.Pd
NIP. 198104012005011004
KELAS VII
SEMESTER 2
UNTUK MTs DAN YANG SEDERAJAT
HIMPUNAN
Diajukan untuk memenuhi salahsatu syarat kenaikan pangkat
Dari IIIa ke IIIb
MTs DARUL ULUM 2 WIDANG
KEC. WIDANG KAB. TUBAN JAWA TIMUR
2009/2010
HALAMAN PENGESAHAN
Modul Matematika Himpunan MTs Kelas VII Semester 2 5

Setelah membaca, meneliti, dan mengadakan perbaikan seperlunya, maka dengan ini
menyatakan bahwa:
1. Nama Diktat : Modul Matematika Himpunan Kelas VII Semester 2 Untuk MTs dan yang
sederajat
2. Penyusun/Pembuat :
a. Nama Lengkap : Purwanto, S.Pd
b. Jenis Kelamin : Laki-laki
c. NIP : 198104012005011004
d. Pangkat/Gol. : Penata Muda Tk I/III b
e. Mata Ajar pokok : Matematika
f. Institusi/Sekolah : MTs Darul Ulum 2 Widang
g. Alamat : Perempatan desa Mlangi Kec. Widang Kab. Tuban
Sudah dapat memenuhi syarat sebagai Modul yang bisa digunakan sebagaimana mestinya dan
layak untuk digunakan sebagai salah satu sumber belajar atau refrensi siswa dan guru
Demikian harap menjadi perhatian adanya, atas kerjasamanya diucapkan banyak terima kasih
Mengetahui, Widang, 20 Januari 2010
Kepala Seksi Mapenda Kepala MTs Darul Ulum 2
Kab. Tuban Widang
Drs. Leksono, M.Pd.I
KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-
Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul matematika manual untuk tingkat MTs dan sederajat,
modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan satuan pendidikan,
sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMP/ MTs 2006. Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum
SMP/MTs Edisi 2006 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada St
andar Kompetensi dan Kompetensi Dasar (SK-KD) yang tertuang dalam Standar Isi sesuai dengan
Permen no 22 tahun 2006. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok
oleh peserta didik untuk mencapai kompetensi sesuai yang diharapkan. Modul ini disusun melalui
beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara
tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan
empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-judgment), sementara
ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta didik MTs. Harapannya, modul yang telah disusun
ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta didik kompetensi /
kemampuan yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi yang
sekarang ini begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan
perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi nyata.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari
berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam
kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang
sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama Kepala Madrasah, Kawan-kawan Guru dan semua
peserta didik dan keluarga khususnya atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk
menyelesaikan penyusunan modul ini.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang pendidikan sebagai bahan untuk
melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas
keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK dalam
rangka membekali kompetensi yang terst andar pada peserta didik.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta didik MTs. untuk
matapelajaran Matematika atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk
SMP/ MTs.
DAFTAR ISI

Halaman Sampul ................................................................................. i
Halaman Pengesahan …………………………………………………………………………….............. ii
Kata Pengantar ………………………………………………………………….…………...................... iii
Daftar Isi ………………………………………………………………………………………........................ iv
BAB I Pendahuluan
A. Deskripsi Modul …………………………………………………………..…........................... 1
B. Materi Prasyarat ......……………………………………………………………….……………......... 1
C. Petunjuk Penggunaan Modul ...........………………………………………………….……… ... 1
D. Tujuan Akhir ...........................………………………………………………….…….….…… 2
E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar ……………………………….….………..….... 2
F. Cek Kemampuan ........................................................................ 3
BAB II Pembelajaran
A. Kegiatan Belajar 1 …………………………………………………………………............ .. 4
B. Kegiatan Belajar 2 .................………………..……………………………………..... 16
C. Kegiatan Belajar 3 ................................................................
D. Kegiatan Belajar 4 ..……………………………………………….......................... 29
E. Kegiatan Belajar 5 ................................................................
F. Kegiatan Belajar 6 ................................................................
BAB III Penutup …..…………..……………………………………………………………............................ 43
Daftar Pustaka
BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi Modul
Dalam modul ini anda akan mempelajari 6 Kegiatan Belajar yang terdiri dari: Kegiatan Belajar
1 membahas tentang pengertian dan notasi himpunan, serta cara menyajikan himpunan,
Kegiatan Belajar 2 membahas tentang Konsep himpunan bagian, Kegiatan Belajar 3 membahas
tentang operasi gabungan dan irisan pada himpunan, Kegiatan Belajar 4 adalah membahas
tentang operasi selisih (kurang) dan komplemen suatu himpunan, Kegiatan Belajar 5 tentang
cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, dan Kegiatan Belajar 6 membahas tentang
penerapan konsep himpunan dalam pemecahan masalah.
Dalam Kegiatan Belajar 1, akan dijelaskan pengertian dan notasi atau lambang himpunan dan
cara menyatakan suatu himpunan dalam empat cara, yaitu dengan kata-kata, dengan mendaftar,
dan dengan notasi pembentuk himpunan. Dalam Kegiatan Belajar 2, akan diuraikan mengenai
konsep himpunan bagian dan cara menentukan banyak himpunan bagian. Dalam kegiatan belajar 3
akan dibahas cara menentukan irisan dan gabungan dua himpunan atau lebih. Dalam kegiatan
belajar 4 akan akan dibahas cara menentukan selisih dan komplemen suatu himpunan. Dalam
kegiatan belajar 5 akan diuraikan cara menyajikan suatu himpunan atau beberapa himpunan dari
operasi irisan, gabungan, kurang, dan komplemen. Dan dalam kegiatan belajar 6 akan dibahas
mengenai penerapan himpunan dalam pemecahan masalah sehari-hari.
B. Materi Prasyarat
Materi himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada
tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat
sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat,
bentuk aljabar, persamaan linier satu variabel.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun anda dalam mempelajari
materi ini.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan
prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika
dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan
soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang

berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Memahami himpunan dan cara menyajikan himpunan,
2. Menentukan himpunan bagian dan banyaknya anggota himpunan bagian,
3. Menentukan operasi pada himpunan, seperti operasi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen,
4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn,
5. Menggunakan konsep himpunan, khususnya operasi himpunan dalam memecahkan masalah
sehari-hari,
E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :
1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan
konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah
2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam
membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan
matematika
3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model
matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh
4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk
memperjelas keadaan atau masalah
5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin
tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya
diri dalam pemecahan masalah.
Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan MTs/ SMP meliputi aspek-aspek sebagai
berikut:
1. Bilangan
2. Aljabar
3. Geometri dan Pengukuran
4. Statistika dan Peluang.
Adapun Standar kompetensi dan kompetensi dasar mata pelajaran Matematika pokok bahasan
Himpunan adalah sebagai berikut :
Standar kompetensi :
4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :
4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
4.2 Memahami konsep himpunan bagian
4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan
4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
4.5 Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal
berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi
untuk materi yang telah anda kuasai
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dan dengan
notasi pembentuk himpunan.
a. A adalah himpunan bilangan bulat antara –3 dan 3.
b. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 50 dan habis dibagi 5.
c. C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 31.
d. D adalah himpunan tujuh bilangan cacah yang pertama.
2. Diketahui X = {bilangan prima kurang dari 18}. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari X yang
memiliki :
a. 2 anggota; c. 5 anggota;
b. 4 anggota; d. 6 anggota.
3. Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Dengan mendaftar anggota-
anggotanya, tentukan:
a. A ∩ B; d. A ∩ (B ∪ C)c
;
b. A ∪ C; e. Ac
∪ (B ∩ C);
c. A ∩ B ∩ C; f. AB.
Kemudian, gambarlah diagram Venn dari masing-masing operasi himpunan tersebut.
4. Setelah dilakukan pencatatan terhadap 35 orang warga di suatu kampung, diperoleh hasil sebagai
berikut: 18 orang suka minum teh, 17 orang suka minum kopi, 14 orang suka minum susu, 8 orang
suka minum teh dan kopi, 7 orang suka minum teh dan susu, 5 orang suka minum kopi dan susu, 3
orang suka minum ketiga-tiganya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas.
b. Tentukan banyaknya warga yang gemar minum teh, gemar minum susu, gemar minum kopi,
dan tidak gemar ketiga-tiganya.

BAB I PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Himpunan
Kelas/ Semester : VII/ 2(Genap)
A. Kegiatan Belajar 1: Pengertian Himpunan dan Notasinya
Standar Kompetensi :
Aljabar
4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :
4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
4.2 Memahami konsep himpunan bagian
4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan
4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
4.5 Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
Indikator Pencapaian :
Menjelaskan pengertian dan notasi himpunan serta menyajikannya
Menentukan himpunan bagian dan banyaknya himpunan bagian
Menentukan irisan dari beberapa himpunan
Menentukan gabungan dari beberapa himpunan
Menentukan komplemen suatu himpunan
Menentukan himpunan dan banyaknya himpunan dalam diagram venn
Memecahkan masalah sehari-hari berkaitan dengan himpunan
Alokasi Waktu :
12 kali pertemuan (12 x 40 menit)
Materi Prasyarat :
Peserta didik memahami konsep operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, dan persamaan linier
satu variabel

1. Tujuan Kegiatan Belajar 1:
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini diharapkan siswa dapat memahami dan
menjelaskan:
• Pengertian dan notasi himpunan
• Cara menyatakan suatu himpunan
2. Uraian Materi:
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi dengan jelas.
Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah: siswa-siswa kelas 8A, kumpulan
angka 2, 4, 5, 8., kelompok siswa SMP Sejahtera yang mengikuti upacara, kumpulan hewan
pemakan daging, dan lain-lain.
Lambang Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital; A, B, C, N, P, dan sebagainya. Anggota himpunan
dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang lainnya
dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.
Contoh:
• Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya; a, i, u, e, dan
o.
• Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan anggotanya: 0, 1,
2, 3, 4, dan seterusnya.
• Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan anggotanya: 2, 3, 5,
7, dan seterusnya.
• K adalah himpunan huruf pembentuk kata “ MATEMATIKA”, dapat ditulis: K = {m, a, t, e,
i k} atau K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}.
Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan
berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas (dicirikan dengan tiga
buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga.
Contoh Soal :
1. Dari pernyataan berikut, manakah yang merupakan himpunan dan
bukan himpunan?
a. kelompok bilangan ganjil
b. kelompok makanan enak dan pedas
c. kumpulan hewan menyusui
d. B himpunan bilangan prima
Jawab:
a. kelompok bilangan ganjil merupakan himpunan
b. bukan merupakan himpunan, karena makanan enak dan pedas sifatnya relatif.
c. kumpulan hewan menyusui merupakan himpunan
d. B adalah himpunan

2. Tuliskan anggota himpunan dibawah ini!
a. himpunan bilangan asli kurang dari 6
b. himpunan 5 nama Ibu kota Negara ASEAN
c. himpunan Negara di kawasan Asia Tenggara
d. himpunan huruf pembentuk kata “PENDIDIKAN”
Jawab:
a. misal himpunan bilangan asli kurang dari 6 adalah A, maka A = {1, 2, 3, 4, 5}
b. misal himpunan 5 Ibu kota Negara ASEAN adalah B, maka B = {Jakarta, Bangkok, Kuala
Lumpur, Singapura, Bandar Sri Bengawan}
c. misal himpunan Negara dikawasan Asia Tenggara adalah C, maka C = {Indonesia,
Malaysia, Filiphina, Singapura, Brunei Darussalam, Vietnam, Myanmar, Timor Leste}
d. misal himpunan huruf pembentuk kata ‘PENDIDIKAN” adalah P, maka P =
{A,D,E,I,K,N,P}
Anggota Himpunan
Simbol anggota satu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
• Bila x anggota A, maka ditulis x ∈ A
• Bila x bukan anggota A, maka ditulis x ∉ A
Menentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti menghitung anggota himpunan
tersebut. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n (A).
Menyatakan Himpunan
Menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan cara: Kata-kata (metode deskripsi),
mendaftar (metode tabulasi/roster), notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)
1. Dengan kata-kata (metode deskripsi)
Menuliskan suatu himpunan dengan kata-kata atau pernyataan untuk menunjukkan syarat
keanggotaannya dan syarat keanggotaanya harus dinyatakan dengan jelas.
2. Dengan cara mendaftar (metode tabulasi/roster),
Dengan metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung
kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.
3. Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)
Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, anggotanya
dilambangkan dengan variabel kemudian diikuti dengan pernyataan matematika yang
menggambarkan syarat keanggotaanya.
Contoh Soal 2:
Nyatakan pernyataan berikut dengan 3 cara dalam menyatakan himpunan, lalu tentukan
banyaknya masing-masing himpunan tersebut:
a. himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
b. himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30

Jawab:
a. metode diskripsi : himpunan bilangan prima kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13,
dan 17
metode tabulasi : B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
metode bersyarat : B = { xI x < 20, x ∈ bilangan prima}
b. metode diskripsi : himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30 adalah 11, 13, 15,
17, 19, 21, 23, 25, 27, dan 29.
metode tabulasi : B = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
metode bersyarat : B = { xI 10 < x < 20, x ∈ bilangan ganjil}
Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan yang sering digunakan diantaranya adalah:
1. Himpunan Bilangan Asli (A)
Anggota himpunan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5…..secara tabulasi dinyatakan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, 5….}
2. Himpunan Bilangan Cacah (C)
Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4,….secara tabulasi dinyatakan
sebagai: C = {0, 1, 2, 3, 4…..}
3. Himpunan Bilangan Prima (P)
Anggota himpunan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11,…..secara tabulasi dinyatakan
sebagai: P = {2, 3, 5, 7, 11,….}
4. Himpunan Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari 3 macam, yaitu: bilangan bulat positif (bilangan asli), bilangan
nol, dan bilangan bulat negatif.
Anggota himpunan bilangan bulat adalah…..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. secara tabulasi
dinyatakan sebagai: B = {…..,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….}
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong
disimbolkan dengan { } atau Ǿ.
Perhatikan kedua contoh berikut ini:
1. H adalah himpunan bilangan satu cacah yang pertama, berarti H = {0} dan n(H) = 1.
Anggota H adalah 0.
2. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T = { } dan n(T) = 0. Anggota T
tidak ada.
Berdasarkan kedua contoh diatas terlihat bahwa: { }0 tidak sama dengan { } atau { }0 ≠
{ }

Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat sebuah objek
pembicaraan. Semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada
himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal
dan disimbolkan dengan S atau U.
Contoh Soal :
R = {3, 5, 7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R di antaranya adalah:
a. S = R = {3, 5, 7}
b. S = {bilangan ganjil}
c. S = {1, 2, 3, 5, 7}
d. S = {bilangan cacah}
e. S = {bilangan prima}
Contoh soal :
Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!
a. himpunan bilangan prima genap
b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7
c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan
d. A = { },62 aslibilanganxxx −=−
e. B = { 4tan,185 kelipacacahbilangankk << }
Jawab:
a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2
b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7
yaitu 6
c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan
d. Himpunan kosong, karena tidak ada bilangan asli yang memenuhi kecuali bilangan bulat
negatif -4
e. Bukan himpunan kosong karena ada angotanya
3. Tugas Kegiatan Belajar 1:
1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal:
a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-
kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
3. Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut:
a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}

c. R = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
4. N adalah himpunan namanama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan
N dalam notasi himpunan.
5. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:
a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing}
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 1:
1. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1,
2, 3, 4, 5}.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e,
i, o, u}.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q =
{harimau, singa, serigala}.
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.
a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}
b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 < x < 46, x ∈ bilangan ganjil}
c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.
3. a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.
b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.
c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.
4. Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli,
Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan
yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N = φ atau N = { }.
5. a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah
S = {bilangan prima} atau
S = {bilangan asli} atau
S = {bilangan cacah}.
b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},
{binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.

B. Kegiatan Belajar 2 : Himpunan Bagian
Setelah melakukan kegiatan belajar 3 ini, diharapkan siswa dapat menentukan:
• Himpunan bagian dari suatu himpunan
• Banyaknya anggota himpunan dari himpunan bagian
2. Uraian Kegiatan Belajar 2:
Pengertian Himpunan bagian
Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi
anggota himpunan B. lambing yang menyatakan himpunan bagian adalah “ ⊂ ”. Jika B = {1, 2,
3} maka himpunan bagiannya adalah: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
Ketentuan-ketentuan dalam himpunan bagian, antara lain:
• Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
• Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpuna itu sendiri. Untuk
sembarang himpunan A, berlaku A ⊆ A
Menentukan Semua Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Untuk menentukan semua himpunan bagian dari suatu himpunan ada dua cara yaitu dengan
metode penghapusan anggota dan dengan metode diagram pohon. Misal B = {1, 2, 3}
himpunan bagiannya adalah:
a. dengan metode penghapusan
• tanpa penghapusan diperoleh {1, 2, 3} = B
• penghapusan 1, diperoleh {2, 3}
• penghapusan 1 dan 2, diperoleh {3}
• penghapusan 1, 2, dan 3, diperoleh {…} atau Ǿ
jadi himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
b. dengan metode diagram pohon
aturan pembuatan diagram pohon dalam menentukan semua himpunan bagian adalah:
• setiap pangkal pohon harus bercabang dua
• cabangnya hanya boleh berbuah satu buah saja dan yang lainnya tidak
• buah dari cabang diambil dari anggota himpunan tetapi harus
mempunyai keteraturan (berurutan)
Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian
Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari
himpunan tersebut sama dengan n
2

Contoh Soal :
1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya
adalah:
a. himpunan bilangan prima
b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
c. himpunan bilangan bulat yang habis 4
Jawab:
a. P ={2}
b. T = {6}
c. E = {4, 8}
2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t},
{h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}
b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3},
{2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5},
{2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5},
{1,2,3,4,5}, {…}.
Hubungan Antarhimpunan
• Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan itu tidak
mempunyai anggota persekutuan. Himpunan saling lepas dinotasikan dengan // atau
⊃ ⊂ .
• Himpunan Tidak Saling Lepas
Dua himpunan dikatakan tidak aling lepas, jika:
a. himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian yang lain. Biasanya
dinotasikan dengan
b. himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain atau himpunan
yang saling bergantung. Biasanya dinotasikan dengan ⊆
• Himpunan yang Sama
Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan itu mempunyai angota yang sama,
baik banyak maupun unsurnya. Biasanya dinotasikan dengan =
• Himpunan yang Ekuivalen
Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyak masing-masing anggota himpunan adalah
sama. Biasanya dinotasikan dengan ~

Contoh Soal :
1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan dua himpunan
yang sama.
A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}
B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}
C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}
Jawab:
C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B
2. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.
a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}
b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}
c. T = {huruf pembentuk kata “HISAP”}, K = {huruf pembentuk kata “PINTAR”}
Jawab:
a. A tidak ekuivalen dengan B
b. C tidak ekuivalen denganD
c. T tidak ekuivalen dengan K
1. Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyai
a. satu anggota;
b. dua anggota;
c. tiga anggota;
d. empat anggota.
2. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut.
a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6.
b. Himpunan bilangan prima antara 4 dan 20.
c. P = {huruf-huruf pembentuk kata “stabilitas”}
d. Q = {nama-nama hari dalam seminggu}
3. Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan
antarhimpunan tersebut.
P ={x | x < 7, x ∈ A}
Q = {bilangan prima kurang dari 10}
R = {empat huruf pertama dalam abjad}
S ={x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ C}
4. Jawaban Tugas Belajar 2:

1. Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r, s} yang mempunyai lebih dari satu
anggota dapat digunakan diagram pohon seperti berikut.
a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota adalah {p} ⊂ K; {q} ⊂ K; dan {r} ⊂ K;
dan {s} ⊂ K.
b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q} ⊂ K; {p, r} ⊂ K; {p, s} ⊂
K; {q, r} ⊂ K; {q, s} ⊂ K; {r, s} ⊂ K.
c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r} ⊂ K; {p, q, s} ⊂ K; {p, r,
s} ⊂ K; dan {q, r, s} ⊂ K.
d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K.
2. a. A = {1, 2, 3, 4, 5}, n(A) = 5, maka banyak anggota himpunan bagian: 25
= 32
b. B = {5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(B) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 26
= 64
c. P = {a, b, i, l, s, t}, n(P) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 26
= 64
d. Q = {senen, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu, minggu}, n(Q) = 7, maka banyak anggota
himpunan bagian: 27
= 128
3. Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperoleh sebagai berikut.
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {2, 3, 5, 7}
R = {a, b, c, d}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
– Perhatikan himpunan P dan Q.
Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat
anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu {1, 4, 6}.
Demikian pula, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan
P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas
(berpotongan)
– Perhatikan himpunan Q dan R.
Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan Q dan R, maka dikatakan
himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan bahwa Q = {2, 3,
5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa
himpunan Q dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R).
– Sekarang, perhatikan himpunan P dan S.

Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama. Jadi, himpunan P dan S
dikatakan dua himpunan sama
C. Kegiatan Belajar 3: Operasi pada Himpunan (Irisan dan Gabungan)
1. Tujuan Kegiatan Belajar 3: Operasi Irisan dan Gabungan dari
Himpunan
Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, diharapakan siswa dapat menentukan:
• Irisan dua atau lebih dari himpunan
• Gabungan dua atau lebih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Irisan
Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.
secara matematis ditulis : }{ BxdanAxxBA ∈∈=∩ .
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika BA ⊆ maka ABA =∩ dan berlaku sebaliknya
2. Himpunan yang sama
Jika BA = , maka )( BABA ==∩
3. Himpunan yang saling lepas
Jika BA// , maka {..}=∩BA dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Contoh Soal :
1. Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6, 8}, dan C
={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:
a. A∩ B c. B∩ C e. A∩ (B∩ C)
b. A∩ C d.(A∩ B) ∩ C
Jawab:
a. {2, 4} c. {4} e. {4}
b. {3, 4} d. {4}
2. Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
a. S c. A∩ B e. B∩ C
c
e
a
g
b
f
d
S A C
B

b. B d. A∩ C f. A∩ B∩ C
Jawab:
a. S = {a, b, c, d, e, f, g} c. A∩ B = {a, b} e. B∩ C = {b, f}
b. B = {a, b, d, f} d. A∩ C = {b, e} f. A∩ B∩ C = {b}
Gabungan
Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B.
secara matematis ditulis: }{ BxatauAxxBA ∈∈=∪
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika BA ⊆ maka BBA =∪ dan berlaku sebaliknya
2. Himpunan yang sama
Jika BA = , maka )( BABA ==∪
3. Himpunan yang saling lepas
Jika BA// , maka }{ BxatauAxxBA ∈∈=∪ dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Jika BA ⊃⊂ , maka )}(,{ BAxatauBxAxxBA ∩∈∈∈=∪
Contoh Soal :
1. Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:
a. A∪ B
b. A∪ B∪ C
c. A∩ (B∪ C)
d. (A∩ B) ∪ C
e. (A∪ B) ∩ (A∪ C)
Jawab:
a. A∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}
b. A∪ B∪ C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
c. A = {2, 3, 5} dan B∪ C = {1, 3, 5, 7, 9} maka A∩ (B∪ C) = {3, 5}
d. A∩ B = {3, 5} dan C = {7, 9} maka (A ∩ B) ∪ C = {3, 5, 7, 9}
e. A∪ B = {1, 2, 3, 5, 7} dan A∪ C = {2, 3, 5, 7, 9} maka (A ∪ B) ∩ (A∪ C) = {2, 3, 5, 7}
Tentukanlah:
c
e
a
g
b
f
d
S A C
B

a. A∪ B
b. A∩ (B∪ C)
c. (B∩ C) ∪ A
d. (A∪ B)∩ (B∪ C)
e. banyaknya himpunan bagian dari A ∩ (B∪ C)
Jawab:
a. A∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}
b. A = {a, b, c, e} dan B∪ C = {a, b, d, e, f, g} maka A∩ (B∪ C) = {a, b, e}
c. B∩ C = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka (B∩ C) ∪ A = {a, b, c, e, f}
d. (A∪ B) = {a, b, c, d, e, f} dan (B∪ C) = {a,b,d,e,f,g} maka (A∪ B)∩ (B∪ C) = {a,b,d,e,f}
e. A∩ (B∪ C) = {a, b, e}, maka n(A ∩ (B∪ C)) = 3 sehingga banyaknya himpunan bagian
adalah 23
= 8
1. Diketahui A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tentukan A ∩ B.
2. Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan anggota A ∩ B.
3. Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 11} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Tentukan
anggota P ∩ Q.
4. Diketahui :
K = {faktor dari 6} dan
L = {bilangan cacah kurang dari 6}.
Dengan mendaftar anggotanya, tentukan :
a. anggota K ∩ L;
b. anggota K ∪ L;
c. n(K ∪ L).
1. A = {2, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B = {2, 3, 5} = A
2. A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3 , 4, 5}
Karena A = B maka A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B
3. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
P ∩ Q = {2, 4, 6, 8, 10}
4. K = {faktor dari 6}
= {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4
L = {bilangan cacah kurang dari 6}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6
a. K ∩ L = {1, 2, 3}

b. K ∪ L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
c. n(K ∪ L) = 7.
n(K ∪ L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.
n(K ∪ L) = n(K) + n(L) – n(K ∩ L)
= 4 + 6 – 3
= 7
D. Kegiatan Belajar 4 : Operasi Himpunan Komplemen dan Selisih
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar 4 ini, diharapkan siswa dapat memahami
dan menentukan:
• Komplemen suatu himpunan
• Selisih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4:
Komplemen
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka A ⊂ S. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut
himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen
atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.
Dalam himpunan komplemen berlaku:
• {..}'=∩AA
• SAA =∪ '
• )()'()( SnQnQn =+
Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan
kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:
• {…}’ = S
• S’ = {…}
• (A’)’ = A
Selisih Dua Himpunan
Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A,
sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada
di B. secara umum berlaku:
• }{ BxdanAxxBA ∉∈=−
• )()()( BAnAnBAn ∩−=−
• ASA −='
• )()()'()( ASnSnAnASn ∩−==−
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta.
Jika A = {1, 2, 3, 4}

dan B = {2, 3, 5, 7},
tentukan
a. anggota Ac
;
b. anggota Bc
;
c. anggota (A ∩ B)c
2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta.
Jika P = {2, 3, 5, 7}
dan Q = {1, 3, 5, 7, 9},
tentukan
a. anggota S – P;
b. anggota P – Q;
c. anggota Q – P.
1. Diketahui
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7}
a. Ac
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}
b. Bc
= {1, 4, 6, 8, 9, 10}
c. Untuk menentukan anggota (A ∩ B)c
, tentukan terlebih dahulu anggota dari A ∩ B.
A ∩ B = {2, 3}
(A ∩ B)c
= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
2. a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9} = {2}
c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 9}.
E. Kegiatan Belajar 5 : Menentukan Himpunan dan Banyaknya
Anggota Himpunan dengan diagram Venn
Setelah mengikuti kegiatan belajar 5 ini, diharapkan siswa dapat :
• Memahamai diagram venn
• Menentukan himpunan dengan menggunakan diagram venn
• Menentukan banyaknya anggota himpunan dengan diagram venn
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5:
Diagram Venn
Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 –
1923) Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan
disudut kiri atas persegi panjang.

S P Q
6 7
8 10
15 17
18 19
11 12 13 14
b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh
kurva tertutup.
c. Setiap anggota ditunjukkan dengan nokta (titik)
d. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu
dituliskan.
Contoh Soal :
1. Lukislah diagram Venn dari setiap himpunan berikut ini:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6}
b. S = { xxx ,20< bilangan Asli}, P = {1, 4, 9, 16}, dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Jawab:
a. b.
2. Perhatikan gambar diagram Venn berikut ini:
Hasil survei kegemaran siswa kelas IX terhadap olah raga.
S = {siswa kelas IX A}, B = {siswa yang suka Basket}, C = {siswa yang suka Sepak Bola}
Tentukan:
a. himpunan yang ada pada B dan C
b. himpunan S yang ada di B tetapi tidak ada di C
c. himpunan C tetapi tidak ada di B
d. himpunan yang tidak termasuk di B maupun di C
e. berapa banyak siswa yang suka bola basket?
Jawab:
a. Himpunan yang ada pada B dan C adalah {Aam, Azis}
b. B – C = {Beni, Adi, Doni, Anang, Markis}
c. C – B = {Anwar, Desta, Kamil, Maki, Ari, Ken}
d. (B∪ C)c
= {Ali, Modin, Rifqi}
e. n(B) = 7
S B C
Ali
rifqi
Modin
Beni
Adi
Doni
Anang
Markis
anwar
desta
kamil
Maki
Ari
ken
Aam
Azis
AS
1 B
3
5 2
4
6
9
16
1 2
3
4 5

Banyaknya Anggota Himpunan
Rumus banyaknya irisan, gabungan, dan komplemen dua himpunan adalah:
• )()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪
• )()()()( BAnBnAnBAn ∪−+=∩
• )()()'( BAnSnBAn ∪−=∪
Contoh Soal :
1. Diketahui n(A) = 27, n(B) = 43, dan n(A ∪ B) = 60. hitunglah nilai dari n(A ∩ B)!
Jawab:
A∪ B = A + B - A∩ B sehingga:
n(A∪ B) = n(A) + n(B) - n(A∩ B)
n(A∩ B) = n(A) + n(B) - n(A∪ B)
= 27 + 43 – 60
= 70 – 60
n(A∩ B) = 10
2. Dua himpunan sebagaimana dalam gambar, diberikan n(P) = 7, n(Q) = 11, dan n(P ∩ Q) = 5.
Carilah n(P∪ Q)!
Jawab:
n(P∪ Q) = n(P) + n(Q) - n(P∩ Q)
= 7 + 11 – 5
= 18 – 5
n(P∪ Q) = 13
3. Dua himpunan dan banyaknya anggota dari himpunan itu ditunjukkan pada diagram Venn
berikut ini! jika n(A) = n(B),
hitunglah:
a. nilai x
b. n(A∪ B)
Jawab:
a. n(A) = n(B)
(14 + x) + x = (x + 3x)
14 + 2x = 4x
S P Q
14 + x x 3x
S A B

14 = 2x
x = 7
b. n(A) = 14 + x = 14 + 7 = 21
n(B) = 3x = 3(7) = 21
n(A∩ B) = x = 7 maka
n(A∪ B) = n(A) + n(B) - n(A∩ B)
= 21 + 21 – 7
= 42 – 7
n(A∪ B) = 35
3. Tugas Kegiatan Belajar 5
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2,
3, 4, 5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga
himpunan tersebut.
2. Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar
anggota-anggotanya.
a. Himpunan S.
b. Himpunan P.
c. Himpunan Q.
d. Anggota himpunan P 􀂈 Q.
e. Anggota himpunan P 􀂈 Q.
f. Anggota himpunan PQ.
g. Anggota himpunan PC.
3. Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8,
10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan
dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.
a. P ∩ Q ∩ R
b. P ∩ Q
c. Q ∪ R
d. P ∪ (Q ∩ R)
e. Qc
f. P – R
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 5

1. Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. Berdasarkan himpunan
A dan B, dapat diketahui bahwa A ∩ B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling
berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan
dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain
diletakkan pada kurva masing-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut:
2. a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau semesta pembicaraan. Himpunan S memuat
semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}.
b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan P.
Dalam diagram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh P. Jadi,
P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q.
Dalam diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q.
Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
d. Anggota himpunan P ∩ Q adalah anggota himpunan P dan sekaligus menjadi anggota
himpunan Q = {3, 6, 9}.
e. Anggota himpunan P ∪ Q adalah semua anggota himpunan P maupun himpunan Q = {1,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.
f. Anggota himpunan PQ adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q, sehingga PQ =
{1, 12, 15, 18}.
g. Anggota himpunan Pc
adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga Pc
= {2,
4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.
3. Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}, P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4,
6, 8, 10, 12, 14}. Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa P ∩ Q
∩ R = {2}
P ∩ Q = {1, 2, 5}
Q ∩ R = {2, 10}
P ∩ R = {2, 4, 6}
Diagram Venn-nya sebagai berikut:

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan P ∩ Q ∩ R.
b. Daerah arsiran di samping menunjukkan himpunan P ∩ Q. Tampak bahwa P ∩ Q = {1, 2,
5}.
c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Q ∪ R. Dari
gambar dapat diketahui bahwa Q ∪ R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.
d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q ∩ R = {2, 10}, sehingga P ∪ (Q ∩ R) = {1, 2, 3, ..., 6}
∪ {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping
menunjukkan daerah P ∪ (Q ∩ R).
e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13,
14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Qc
.
f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5,
6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5} Diagram Venn-nya sebagai berikut.

F. Kegiatan Belajar 6 : Menggunakan Konsep Himpunan dalam Pemecahan Masalah
1. Tujuan Kegiatan Belajar 6
Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, dirapkan siswa dapat menggunakan konsep himpunan
dalam memecahkan masalah sehari-hari
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 6
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak di antaranya dapat
diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami
kembali mengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakan permasalahan
tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contoh berikut ini.
Contoh soal:
Perhatikan diagram Venn dibawah ini!
S = himpunan siswa kelas VII A
K = himpunan siswa yang suka minum es teh
T = himpunan siswa yang suka minum jus
Setiap angka menunjukkan banyaknya siswa
dalam masing-masing kesukaannya.
Tentukanlah:
a. Berapa banyak siswa yang suka minum keduanya?
b. Berapa banyak siswa yang suka minum es teh?
c. Berapa banyak siswa yang tidak suka minum keduanya?
d. Berapa banyak siswa kelas VII A tersebut?
Jawab:
a. n(K∩ T) = 2
b. n(K) = 6
c. n(K∪ T)c
= 8
d. n(S) = n(K – T) + n(T – K) + n(K∩ T) + n(K∪ T)c
= 4 + 7 + 2 + 8 = 21
3. Tugas Kegiatan Belajar 6
6 2 9
S K T
8

1. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23
siswa gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar keduaduanya. Gambarlah diagram Venn dari
keterangan tersebut, kemudian tentukan banyaknya siswa
a. yang hanya gemar bermain tenis;
b. yang hanya gemar bermain sepak bola;
c. yang tidak gemar kedua-duanya.
2. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang
suka makan bakso, 34 orang suka makan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn yang menyatakan keadaan tersebut.
b. Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut.
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 6
1. Dalam menentukan banyaknya anggota masing-masing himpunan pada diagram Venn,
tentukan terlebih dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola,
yaitu 11 siswa. Diagram Venn-nya seperti gambar berikut
a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis = 24 – 11 = 13 siswa
b. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola = 23 – 11 = 12 siswa
c. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya = 40 – 13 – 11 – 12 = 4 siswa
2. a. Dalam menentukan banyak anak dalam kelompok tersebut, tuliskan terlebih dahulu
banyak anak yang suka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anak yang tidak suka
keduanya pada diagram Venn. Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing.
Diagram Venn-nya sebagai berikut
b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalam kelompok tersebut = 22 + 23 + 11
+ 6 = 62 anak
G. Rangkuman Materi Himpunan
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat
diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ...,
Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan
pasangan kurung kurawal {...}.
3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi
pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang
memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau
objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.
6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan
dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota
B dan dinotasikan A ⊄ B.
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis A ⊂ A.
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n banyaknya
anggota himpunan tersebut.
7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan
tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota
persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan A ∩ B = {x
| x ∈ A dan x ∈ B}.
9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-
anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan A ∪ B = {x | x
∈ A atau x ∈ B}. Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

BAB III EVALUASI
a. Evalusi Tes Tulis
Uraikan soal berikut sehingga diperoleh jawaban yang benar
1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan notasi himpunan!
a. P adalah himpunan titik pojok kubus ABCD. EFGH
b. K adalah huruf konsonan
c. L adalah himpunan gambar pada sila-sila Pancasila
2. Berikan nama himpunan dari kumpulan obyek dibawah ini berdasarkan sifat-sifat anggotanya agar
disebut dengan himpunan.
a. Tas, penggaris, buku tulis, penghapus, busur, LKS
b. Surabaya, Malang, Jember, Ngawi
c. Maret, Mei
3. Sebutkan dua buah himpunan semesta untuk himpunan-himpunan berikut:
a. {1, 3, 5, 7, 9}
b. {pesawat, kereta api, kapal, mobil}
c. S = {bilangan prima}
4. Jika S = {bilangan bulat}, A = {bilangan asli}, C = {bilangan cacah}, G = {bilangan ganjil}, H =
{bilangan genap}, dan P = {bilangan Prima}. Lukislah diagram Venn dari pasangan himpunan
berikut ini dengan himpunan semesta adalah S
a. A dan P
b. A, P, dan H
c. C, G, H, dan P
5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai:
a. dua anggota d. anggota lebih dari dua
b. tiga anggota e. anggota paling sedikit tiga
c. empat anggota
6. Diberikan diagram Venn yang menyatakan himpunan A, B, dan C. Tentukanlah:
A B
C
S

a. banyaknya himpunan bagian dari B
b. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan himpunan A
dan C
c. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan ketiga
himpunan tersebut
S = {penghuni Pondok Indah}
A = {penghuni yang menyukai teh}
B = {penghuni yang menyukai kopi}
Tentukan:
a. berapa banyak penghuni pondok yang menyukai teh?
b. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai kopi tetapi menyukai teh?
c. berapa banyak penghuni yang menyukai teh dan kopi?
d. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai keduanya?
8. Dari 53 bayi di PUSKESMAS, 30 bayi minum susu kaleng, 13 bayi minum susu ASI, dan 10 bayi
minum keduanya. Berapa jumlah bayi yang hanya minum ASI?
9. Dari 46 siswa yang gemar bahasa inggris ada 26 siswa, gemar bahasa arab ada 32 siswa dan 14
siswa gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar keduanya!
10. Dari sekelompok siswa yang suka tennis meja ada 26 siswa, yang gemar bulu tangkis ada 27 siswa,
yang gemar keduanya ada 9 siswa dan yang tidak gemar keduanya ada 4 siswa. Tentukan
banyaknya siswa dalam kelompok tersebut!
11. Perhatikan himpunan A, B, dan C dalam diagram Venn berikut!
3 13
14
15
12
10
11
9
1
2
4
5 6
8
7 77
c
d
e g
f h
S
A B
a
b
7 9-x
x
8-x
9
S A C
B

S A S
Diberikan S = A∪ B∪ C, dan n(S) = 34, hitunglah:
a. nilai x
b. n(A∩ B∩ C)
b. Jawaban Evalusi Tes Tulis
1. a. P = {A, B, C, D, E, F, G, dan H}
b. K = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
c. L = {Bintang, Beringin, Kepala Banteng, Rantai, Padi dan kapas}
2. a. Himpunan Peralatan Sekolah
b. Himpunan Kota di Jawa Timur
c. Himpunan bulan dengan huruf depan M
3. a. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah
b. himpunan semester yang memenuhi adalah himpunan alat transportasi dan himpunan
kendaraan bermesin
c. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah
4. a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, dan P
5. a. {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}
b. {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}
c. {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e}, {b,c,d,e}
d. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d},
{a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e}
e. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d},
{a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e},{a,b,c,d,e}
P
S A
P H C
P
G H

S I A
S T B
4
6. a. B = {3,4,6,7,10,11,12,13,14,15}, n(B) = 10, maka banyak himpunan bagian dari B = 210
= 1024
b. A C = {6, 7, 8}, n(AC) = 3 maka banyak himpunan bagian dari n(AC) adalah 23
= 8
c. ABC = {6, 7}, n(ABC) = 2, maka banyak himpunan bagian dari n(ABC) adalah 22
= 4
7. a. A = {c, d, e, f} maka n(A) = 4 c. AB = {e, f}, maka n(AB) = 2
b. {c, d} jadi ada 2 d. {a, b} jadi ada 2
8. Misal banyak seluruh bayi adalah n(K ∪ A) = 53, banyak bayi suka susu kaleng n(K) = 30, banyak
bayi suka minum keduanya n(K∩ A) = 10, maka n(K∪ A) = n(K) + n(A) - n(K ∩ A), sehingga jumlah
bayi yang minum ASI adalah: n(A) = n(K ∪ A) + n(K∩ A) – n(K)
= 53 + 10 – 30
= 33
Jumlah bayi yang hanya minum ASI adalah n(A) - n(K ∩ A) = 33 – 10 = 23 anak
9. Banyak siswa, n(S) = 46
Banyak siswa gemar bahasa ingris, n(I) = 26
Banyak siswa gemar bahasa arab, n(A) = 32
Banyak siswa gemar keduanya, n(I ∩ A) = 14
Maka banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah:
n(I∩ A)c
= n(S) – n(I - A) + n(A - I) + n(I ∩ A) = 46 – (26 – 14) - (32 – 14) - 14
= 46 – 12 – 18 – 14 = 46 – 44 ⇒ n(I∩ A)c
= 2
Jadi banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah 2 anak
10. Misal banyak anak yang suka tennis meja n(T) = 26
banyak anak yang suka bulu tangkis n(B) = 27
banyak anak yang suka keduanya n(T ∩ B) = 9
banyak anak yang tidak suka keduanya n(P ∪ C)c
= 4
ditanya banyak siswa dalam kelompok tersebut?:
diagram Venn:
26 - 14 14 32-
26 - 9 9 27 - 9

Banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah:
n(S) = n(T – B) + n(B – T) + n(T∩ B) + n(T∪ B)c
= (26 – 9 ) + ( 27 – 9 ) + 9 + 4
= 17 + 18 + 9 + 4 ⇒ n(S) = 48
jadi banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah 48 siswa
11. a. n(S) = 34
9 – x + x + 8 – x + 7 – x + 7 + 8 + 9 = 34
- 2x + 48 = 34
- 2x = 34 – 48
- 2x = -14
x = 7
b. n(A∩ B∩ C) = x = 7
BAB IV PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah
anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya. Mintalah pada guru untuk melakukan uji kompetensi dengan
sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh madrasah apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari
setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi sebagai
bahan penilaian sesungguhnya. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar
pemenuhan kompetensi.
Pembuatan modul ini tidaklah mudah dan hasilnya sangatlah besar bagi perkembangan keilmuan
matematika sehingga besar harapan kami selaku penyusun agar hasil kerja keras ini perlu segera didaftarkan hak
patennya agar tidak disalah gunakan dan dibajak. Sebagai penulis modul ini, angka kredit dalam hal
pengembangan profesi bukanlah satu-satunya tujuan akhir dari pembuatan modul, melihat tidak kecil manfaat dan
tidak semudah pembuataanya penyusun mengharapkan apresiasi yang besar berupa penghargaan yang layak
demi kesejahteraan bersama. Dari pengalaman penyusun, ternyata masih banyak bidang-bidang pengembangan
profesi yang berpotensi untuk dimanfaatkan baik untuk pembelajaran secara khusus maupun untuk pendidikan dan
bidang-bidang lain yang akan bermanfaat bagi masyarakat. Apalagi saat ini telah berkembang teknologi informasi
hingga ke pelosok-pelosok desa, tentu ini akan sangat membantu rekan-rekan guru dalam mengembangkan
profesi dan kelimuannya. Meski begitu masih banyak bidang-bidang pengembangan profesi yang dibuat oleh guru
namun kurang mendapat tempat di dunianya sendiri atau enggan untuk untuk diakui oleh masyarakat.

DAFTAR PUSTAKA
1. Negoro, ST dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonersia
2. Diktat Soal-soal lomba Matematika Sedunia 1989 – 2002
3. Departemen Pendidikan Nasional, Kurikulum 2006, Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Pelajaran
Matematika SMP – MTs, Jakrta, 2006
4. Sukino, Simangunsong Wilson, 2004, Matematika untuk SMP kelas VII, semester 1 dan 2. Erlangga.
Jakarta.

3 modul-himpunan

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to 3 modul-himpunan

Similar to 3 modul-himpunan (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

3 modul-himpunan