Dokumen tersebut membahas tentang berbagai metode untuk menghitung luas permukaan benda yang tidak beraturan, yaitu: (1) planimeter, (2) aturan trapezoidal, (3) aturan mid-ordinate, dan (4) aturan Simpson. Metode-metode tersebut masing-masing memiliki langkah perhitungan luas yang berbeda seperti membagi permukaan menjadi bagian-bagian kecil dan mengukur tinggi ordinatnya. Dokumen tersebut juga memberikan contoh

1. Luas Dan Volume Benda Yang Tidak Beraturan
Luas Dari Bentuk Yang Tidak Beraturan
Luas suatu bidang datar yang bentuknya tidak beraturan pendekatan dalam penentuanya
bisa dilakukan dengan menggunakan (a) planimeter, (b) Aturan trapezoidal, (c) Aturan Mid-
Ordinate-Rule, dan ( d) Aturan Simpson. Contoh : Para insinyur yang memperkirakan luas
permukaan indikator Diagrams mesin uap, surveyors memperkirakan area plot arsitek daratan
atau laut memperkirakan area pesawat air atau bagian melintang kapal.
(a) Planimeter adalah sebuah alat untuk mengukur luas permukaan yang kecil yang
bentuknya tidak beraturan
(b) Aturan Trapezoidal
Untuk menentukan luas daerah PQRS pada gambar 3.52 berikut
Langkah-Langkah menghitung luas :
(i) Membagi bagian dasar PS menjadi beberapa bagian yang sama, dengan lebar
masing-masing sebesar d ( interval angka terbesar, dengan ketepatan tinggi)
(ii) Secara akurat mengukur tinggi ordinat y1, y2, y3, dst
(iii) Luas PQRS 





 65432
71
2
yyyyy
yy
d
Secara umum, aturan trapezoidal dinyatakan dengan
𝑳𝒖𝒂𝒔 = (
𝑳𝒆𝒃𝒂𝒓
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
)[
𝟏
𝟐
(
𝑶𝒓𝒅𝒊𝒏𝒂𝒕
𝑷𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂+ 𝒕𝒆𝒓𝒂𝒌𝒉𝒓
) + (
𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒆𝒍𝒖𝒓𝒖𝒉
𝒐𝒓𝒅𝒊𝒏𝒂𝒕 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒕𝒆𝒓𝒔𝒊𝒔𝒂
)]
(c) Aturan Mid-Ordinate
Gambar 3.52

2. Untuk menentukan luas ABCD pada gambar 3.53 berikut
Langkah – langkah menghitung luas :
(i) Membagi dasar AD menjadi beberapa bagian dengan interval yang sama ( lebar d)
(ii) Tarik garis lurus ( sumbu y) sebagai garis tengah untuk setiap partisi yang sudah dibagi
sebelumnya
(iii) Ukurlah panjang masing masing y dengan teliti y1, y2, y3, dst
(iv) Luas ABCD  654321 yyyyyyd 
Secara umum, aturan mid-ordinate dinyatakan sebagai
𝑳𝒖𝒂𝒔 = ( 𝒍𝒆𝒃𝒂𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍)( 𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒎𝒊𝒅 − 𝒐𝒓𝒅𝒊𝒏𝒂𝒕)
(d) Aturan Simson’s
Untuk menentukan luas daerah PQRS pada gambar 3.54 berikut
Langkah – langkah menghitung luas :
Gambar 3.53
Gambar 3.54

3. (i) Bagi bagian dasar PS menjadi sejumlah bilangan genap bagian, dengan masing-
masing lebarnya d
(ii) (ii) Ukur panjang ordinat y1, y2, y3, dst dengan akurat
(iii) Luas PQRS  )(2)(4)(
3
5364271 yyyyyyy
d

Secara umum , Aturan Simpson’s adalah
𝐿𝑢𝑎𝑠 =
1
3
(
𝐿𝑒𝑏𝑎𝑟
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙
)[(
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
𝑃𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 + 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟
) + 4 (
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
) + 2 (
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡
𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
)]
Grafik kecepatan/ waktu ditunjukkan pada gambar 3.55
(a) Aturan Trapezoidal
Permasalahan 51. Sebuah mobil bergerak dihitung kecepatannya setiap detik dalam 6
seconds.
Waktu t (s) 0 1 2 3 4 5 6
Kec v ( m/s) 0 2,5 5,5 8,75 12,5 17,5 24,0
Tentukan jarak yang ditempuh dalam 6 seconds ( diwakili oleh luas bagian bawah grafik
v/t) dengan menggunakan (a) Aturan Trapezoidal, (b) Aturan Mis-Ordinate, dan (c) Aturan
Simpson’s

4. Bagian dasar ( waktu) dibagi menjadi 6 bagian dengan lebar masing-masing 1 s, selanjutnya
mengukur tinggi ordinat , dengan demikian






 65432
71
2
yyyyy
yy
dLuas
mLuas 75,585,175,1275,85,55,2
2
0,240
)1( 






(b) Aturan Mid-Ordinate
Bagian dasar ( waktu) dibagi menjadi 6 bagian dengan lebar masing-masing 1 s, Mid-Ordinate
selanjutnya mengukur tinggi garis tengah setiap bagian didirikan seperti gambar 25.33 dengan
memutuskan garis. Panjang dari masing-masing mid-ordinate diukur, sehingga
 654321 yyyyyydLuas 
  mLuas 25,5825,200,1575,100,70,425,1)1( 
(c) Aturan Simpson
Bagian dasar ( waktu) dibagi menjadi 6 bagian dengan lebar masing-masing 1 s, selanjutnya
mengukur tinggi ordinat
Gambar 3.55

5.  )(2)(4)(
3
5364271 yyyyyyy
d
Luas 
  mLuas 33,58)5,125,5(2)5,1775,85,2(4)0,240(
3
1
