1. Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan persamaan lingkaran, posisi titik terhadap lingkaran, serta garis singgung pada lingkaran. Dijelaskan bahwa lingkaran adalah tempat titik-titik yang jaraknya dari pusat tetap, dan diberikan rumus-rumus untuk menentukan persamaan lingkaran, posisi titik, dan garis singgungnya.

1. 1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
O
D E F I N I S I
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya .
Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari
lingkaran.
A . PERSAMAAN LINGKARAN
A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah :
222 ryx 
A . 2 . Pusat Titik P (  ,  ) dan Jari-jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
P (  ,  ) dan berjari-jari r adalah :
22
)(
2
)( ryx  
A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : 022  CyBxAyx ,
dengan pusat di titik : )
2
1
,
2
1
( BA  , dan jari-jarinya adalah : CBAr  22
4
1
4
1
y
O
(
x
r
O
P (  , 
)
x
y



2. 2
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Titik terletak pada lingkaran L
, jika :
CONTOH
JAWAB
1 . Tentukan persamaan dengan syarat :
a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan .
b . Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3
2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a . 24)9( 22
 yx
b . 054822
 yxyx
1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : 2522
 yx
b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah :
3)2()6( 22
 yx
2. a . Lingkaran dengan persamaan 24)9( 22
 yx
berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 62 .
b. Lingkaran dengan persamaan : 054822
 yxyx
berpusat di ))4(
2
1
,8
2
1
(   )2,4(  .
Panjang jari-jarinya = )5()4(
4
1
8
4
1 22
 5255416 
B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN
Diketahui lingkaran L ≡ 2
),( ryxf  dan titik ),( baA .
Ada tiga kemungkinan posisi titik ),( baA terhadap lingkaran L ≡ 2
),( ryxf  , yaitu :
Titik ),( baA terletak di dalam lingkaran L ,
jika :
2
),( rbaf 
Titik ),( baA terletak di luar lingkaran L ,
jika : 2
),( rbaf 
Jarak Titik Terhadap Garis
Jarak titik P ( m , n ) terhadap
garis A x + B y + C = 0 , adalah :
Info :
P ( m , n )
A x + B y + C =
0

3. 3
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
CONTOH
JAWAB
1 . Tentukan posisi dari :
a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran 4922
 yx
b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran 90)5()9( 22
 yx
c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran 0210622
 yxyx
2 . Tentukan persamaan lingkaran :
a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9.
b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ).
1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran 4922
 yx , karena : 492543 22

b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran 90)5()9( 22
 yx ,
karena : 90981)52()90( 22

c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran 0210622
 yxyx , karena :
01762904281492)9(.107.6)9(7 22

2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap
garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :
 
 
17
17
17
14
926.4
22



 Jr
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
adalah :     1726
22
 yx .
b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan
dengan cara sbb :
Bentuk umum persamaan lingkaran : 022
 CByAxyx
Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh :     02.3.23 22
 CBA
1323  CBA …………. 1)
Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 03.6.36 22
 CBA
4536  CBA …………. 2)
Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh :     06.4.64 22
 CBA
5264  CBA …………. 3)
Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 .
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : 05451922
 yxyx
1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. 5422
 yx
b. 1212)1(2)12(  yx
c. 64)22()8( 22
 yx
d. 32)1( 22
 yx
e. 72)16( 22
 yx
f. 04914822
 yxyx

4. 4
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
g. 06512322424  yxyx
h. 0261022
 yxyx
i. 05616422
 yxyx
j. 010982222
 yxyx
k. 055122022
 yxyx
l. 0336242822
 yxyx
m. 0391422
 xyx
n. 01072448216216  yxyx
2. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 73
b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13
c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x.
d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y.
e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8
f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ).
3. Diketahui lingkaran 16922
 yx .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 )
4. Diketahui lingkaran 1702)8(2)3(  yx .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 )
5. Diketahui lingkaran 09681222
 yxyx .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 )
6. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 )
b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran 492)7(2)5(  yx
C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran :
1 . Garis tidak
memotong lingkaran.
2 . Garis menyinggung
lingkaran
3 . Garis memotong
lingkaran di dua titik.
C. 1. Garis Singgung Bergradien m.
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran 222
ryx  ,
adalah :
12
 mrxmy

5. 5
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
CONTOH
Garis singgung pada
lingkaran tegaklurus pada
jari-jari yang melalui titik
singgungnya.
Info :
Jika diketahui dua buah garis g
dan l , dengan persamaan garis :
g ≡ y = m1 x + C1 , dan
l ≡ y = m2 x + C2 , maka :
1. Garis g sejajar l , jika :
m1 = m2
2. Garis g tegaklurus l , jika :
m1 × m2 = −1
Info :
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran 22)(2)( ryx   , adalah :
1)( 2
 mrxmy 
Tentukan persamaan garis singgung :
1 . pada lingkaran 922
 yx dengan gradien
−2.
2 . pada lingkaran 362)6(2)2(  yx
dengan gradien 3 .
3 . pada lingkaran 03004022
 xyx
dengan gradien
3
2
.
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran
922
 yx yang bergradien 2 adalah :
1)2(3)2(
1
2
2


xy
mrxmy
532  xy atau 532  xy
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran
362)6(2)2(  yx yang bergradien 3
adalah :
 
612105
12)2(56136)2(56
2


xy
xyxy
285  xy atau 45  xy
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 03004022
 xyx yang bergradien
3
2
adalah :
Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 101003000
4
1
400
4
1

5
3
10
3
40
3
2
9
14
10
3
40
3
2
1
3
2
10)20(
3
2
2










xy
xy
xy
5
3
10
3
40
3
2
 xy atau
5
3
10
3
40
3
2
 xy

6. 6
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Kaidah Membagi Adil :
Digunakan untuk menentukan
persamaan garis singgung pada
lingkaran yang melalui titik
( x1 , y1 ). Penerapannya dengan
cara mengubah variabel pada
persamaan lingkaran dengan
aturan sbb :
x 2 diubah menjadi x1 x
y 2 diubah menjadi y1 y
( x − A ) 2 diubah menjadi
(x1 − A ) ( x − A )
( y − B ) 2 diubah menjadi
(y1 − B ) ( y − B )
x diubah menjadi ½ ( x1 + x )
y diubah menjadi ½ ( y1 + y )
Info :
CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. 19622
 yx , m = 4
2. 4422
 yx , m = 11
3. 1622
 yx , m =
2
1

4. 492)4(2)16(  yx ,m = 3
5. 812)1(2)2(  yx , m =
4
1
6. 502)7(2)6(  yx , m = 2
7. 01561022
 yxyx ,m= 15
8. 0161222
 yxyx dengan m= 7
9. 1962)14(2)4(  yx yang sejajar
dengan garis 82  yx
10. 922
 yx dan tegak lurus terhadap
garis 273  yx
C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1
, y 1
)
Pada Lingkaran .
Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x
1
, y
1
)
pada lingkaran 222
ryx  , adalah :
2.1.1 ryyxx 
Persamaan garis singgung
yang melalui titik (x
1
, y
1
)
pada lingkaran
22)(2)( ryx  
,adalah :
2)()1()()1( ryyxx  
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x
1
, y
1
)
pada lingkaran 022
 CyBxAyx , adalah :
0)(
2
1
)(
2
1
.. 1111  CyyBxxAyyxx
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1 . 9022  yx , di titik ( 9 , 3 )
2 . 682)18(2)4(  yx di titik ( 12 , 16 )
3 . 04221422
 yxyx di titik ( 5 , 3 )
( x
1
, y
1
)

7. 7
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
CONTOH
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 9022  yx , di titik ( 9 , 3 ) , adalah :
90.1.1  yyxx
903)9(  yx
9039  yx
303  yx
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran 682)18(2)4(  yx di titik ( 12 , 16 ) , adalah :
68)()1()()1(   yyxx
68)18()1816()4()412(  yx
68)18(2)4(8  yx
68362328  yx
6428  yx
324  yx
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 04221422
 yxyx di titik ( 5 , 3 ) , adalah :
042)3(2
2
1
)5(14
2
1
3)5(  yxyx
042)3()5(735  yxyx
042335735  yxyx
422  yx
C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1
, y 1
) di Luar Lingkaran
Jika titik ( x
1
, y
1
) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung
yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik
( x
1
, y
1
) , yaitu : 11 )( yxxmy 
Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat
dilakukan dengan dua macam cara, yaitu :
CARA 1 :
Potongkan persamaan garis dengan
lingkaran , kemudian bentuklah persamaan
kuadrat dengan variabel x .
Tentukan nilai m dengan
menentukan nilai D = b 2  4 a c = 0
CARA 2 :
Titik ( x
1
, y
1
) disubstitusikan ke
dalam persamaan garis singgung pada lingkaran
dengan gradien m .
Nilai m yang diperoleh disubstitusikan
ke persamaan garis pada langkah pertama untuk
memperoleh persamaan garis singgung yang
dimaksud .
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2522  yx yang melalui titik ( 11 , 2 )
( x
1
, y
1
)
Persamaan Garis Lurus
1 . Melalui titik dan bergradien m :
2 . Melalui titik dan :
Info :

8. 8
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2522  yx yang melalui titik ( 11 , 2 )
Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : 211)11(2  mxmyxmy
Menentukan nilai gradien :
CARA 1 :
Dipotongkan dengan lingkaran 2522  yx , diperoleh :
021442121)4222(2)12(252)211(2  mmxmmxmmxmx
Syarat D = cab 42
 = 0
021442960)21442121()12(42)4222(  mmmmmmm
192
10044
192
1000044 


 m
24
7
192
56
192
10044


 m atau
4
3
192
144
192
10044


m
Diperoleh :
24
7
m atau
4
3
m
CARA 2 :
Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien
m pada lingkaran 2522  yx yaitu : 15 2
 mxmy
Sehingga diperoleh :
15112 2
 mm
15112 2
 mm
)12(252)112(  mm
252252121444  mmm
02144296  mm
24
7
 m atau
4
3
m .
Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan 211  mxmy
Untuk
24
7
m diperoleh garis singgung
24
125
24
7
 xy
Untuk
4
3
m diperoleh garis singgung
4
25
4
3
 xy
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. 6522  yx di titik ( 7 , 4 )
2. 732)10(2)6(  yx di titik ( 2 , 7 )
3. 202)2(2)8(  yx di titik ( 6 , 2 )
4. 182)7(2)11(  yx di titik ( 9 , 4 )
5. 322)4(2)5(  yx di titik ( 1 , 8 )

9. 9
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
6. 05018622
 yxyx di titik ( 3 , 11 )
7. 07612422
 yxyx di titik ( 8 , 2 )
8. 026322422
 yxyx di titik ( 8 , 20 )
9. 16922  yx melalui titik ( 7 , 17 )
10. 8022  yx melalui titik ( 10 , 0 )